工程力学3.平面任意力系

1、 第三章第三章 平面任意力系平面任意力系 平面任意力系平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不 汇交为一点又不相互平行的力系叫平面任意力系。 例例 力系向一点简化力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变 成已知力系（平面汇交力系和平面力偶系） 第三章第三章 平面任意力系平面任意力系 41 力的平移力的平移 42 平面任意力系向一点简化平面任意力系向一点简化 43 平面任意力系的简化结果平面任意力系的简化结果 合力矩定理合力矩定理 44 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 45 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程 46 静定与静不定问题的概念静定与

2、静不定问题的概念 物体系统的平衡物体系统的平衡 平面一般力系习题课平面一般力系习题课 3-1 3-1 力的平移力的平移 力的平移定理力的平移定理：可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点a的力的力 平行平行 移到任一点移到任一点b，但必须同时附加一个力偶。这个力偶，但必须同时附加一个力偶。这个力偶 的矩等于原来的力的矩等于原来的力 对新作用点对新作用点b的矩。的矩。f f 证证 力力 力系力系)(fff ，力偶力fff , , f 力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力线平移定理揭示了力与力偶的关系： 力力 力力+力偶力偶 力平移的条件是附加一个力偶力平移的条件是附加一个力偶m，且，且m与与d有

3、关，有关， m=fd 力线平移定理是力系简化的理论基础。力线平移定理是力系简化的理论基础。 说明说明： 3-2 3-2 平面任意力系向一点简化平面任意力系向一点简化 一般力系（任意力系）一般力系（任意力系）向一点简化 向一点简化 汇交力系 汇交力系+力偶系力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力 ， r(主矢主矢) ， (作用在简化中心) 力偶系 力偶 ，mo (主矩主矩) ， (作用在该平面上) iffffr321主矢 )()()( 21 321 iooo o fmfmfm mmmm 主矩 大小大小： 主矢主矢 方向方向： 简化中心简化中心 (与简化中心位置无关) 因主矢等于各力的矢

4、量和 r 22 22 )()(yxrrr yx x y r r x y 11 tgtg （移动效应移动效应） 大小大小： 主矩主矩mo 方向方向： 方向规定 + 简化中心简化中心： (与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的 代数和） )( ioo fmm （转动效应转动效应） 固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束在工程中常见的 雨 搭 车 刀 固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束 说明说明 认为认为fi这群力在同一这群力在同一 平面内平面内; 将将fi向向a点简化得一点简化得一 力和一力偶力和一力偶; ra方向不定可用正交方向不定可用正交 分力分力ya, xa表示表示; y

5、a, xa, ma为固定端为固定端 约束反力约束反力; ya, xa限制物体平动限制物体平动, ma为限制转动。为限制转动。 3-3 3-3 平面任意力系的简化结果平面任意力系的简化结果 合力矩定理合力矩定理 简化结果： 主矢 ，主矩 mo ，下面分别讨论。 =0,mo0，即简化结果为一合力偶, mo=m 此时刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可 以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中 心o无关。 r =0， mo =0，则力系平衡,下节专门讨论。 r r 0,mo =0,即简化为一个作用于简化中心的 合力。这时，简化结果就是合力（这个力系的合 力）, 。（。（此时与简化中心有关，换

6、个简化 中心，主矩不为零） r rr r 0，mo 0,为最一般的情况。此种情况还可 以继续简化为一个合力 。 r 合力 的大小等于原力系的主矢 合力 的作用线位置 r m d o r r 结论：结论： )( 1 n i ioo fmm )()(主矩 oo mdrrm )()( 1 n i ioo fmrm 平面任意力系的简化结果平面任意力系的简化结果 ： 合力偶合力偶mo ； 合力合力 合力矩定理合力矩定理：由于主矩 而合力对o点的矩 合力矩定理 由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩 等于力系中各力对于

7、同一点之矩的代数和。等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。 r 3-4 3-4 平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程 所以平面任意力系平衡的充要条件为平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢力系的主矢 和主矩和主矩 mo 都等于零都等于零，即： 0)( 0)()( 22 ioo fmm yxr 由于 =0 为力平衡 mo =0 为力偶也平衡 r r 0x 0)( ia fm 0)( ib fm 二矩式二矩式 条件：条件：x 轴不轴不 ab 连线连线 0)( ia fm 0)( ib fm 0)( ic fm 三矩式三矩式 条件：条件：a,b,c不在不在 同一直线上

8、同一直线上 上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。 0x 0 y 0)( io fm 一矩式一矩式 例例 已知：p, a , 求：a、b两点的支座反力？ 解：选ab梁研究 画受力图（以后注明 解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上） 0)( ia fm由 3 2 , 032 p nanap bb 0x0 a x 0y 3 , 0 p ypny abb 解除约束 设有f1, f2 fn 各平行力 系，向o点简化得： 合力作用线的位置为： 平衡的充要条件为： 主矢 =0，主矩mo =0 f xf r m x iio r frr o 主矢 iiio

9、o xffmm)(主矩 3-5 3-5 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程 平面平行力系平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互 平行的力系叫 。 r 所以 平面平行力系的平衡 方程为： 0)( ia fm 0)( ib fm 二矩式二矩式 条件：条件：ab连线不能平行连线不能平行 于力的作用线于力的作用线 0y 0)( io fm 一矩式一矩式 实质上是各力在x 轴上的 投影恒等于零，即 恒成立，所以只有两个独 立方程，只能求解两个独 立的未知数。 0x 0, 0 a xx由 02 2 ; 0)( apm a aqar fm b a 0y0pqary ba )kn(12202

10、8 . 0 16 2 8 . 020 2 2 p a mqa rb )kn(24128 . 02020 ba rqapy 例例 已知：p=20kn, m=16knm, q=20kn/m, a=0.8m 求：a、b的支反力。 解：研究ab梁 解得： 3-6 3-6 静定与静不定问题的概念静定与静不定问题的概念 物体系统的平衡物体系统的平衡 一、静定与静不定问题的概念一、静定与静不定问题的概念 我们学过： 平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个 独未知数。 一个独立方程，只能求一个独立未 知数。 三个独立方程，只能求三 个独立未知数。 0x 0y 0 i m 0x 0y 0)( io fm 力偶系

11、 平面任意力系 独立方程数目独立方程数目未知数数目时，是静定问题未知数数目时，是静定问题 独立方程数目独立方程数目 =未知力数目为静定 独立方程数 未知力数目为静不定 五、物系平衡五、物系平衡 物系平衡时，物系中每个构件都平衡， 解物系问题的方法：由整体由整体 局部局部 单体单体 六、解题步骤与技巧六、解题步骤与技巧 解题步骤解题步骤 选研究对象选研究对象 画受力图（受力分析）画受力图（受力分析） 选坐标、取矩点、选坐标、取矩点、 列平衡方程列平衡方程 解方程求出未知数解方程求出未知数 七、注意问题七、注意问题 力偶在坐标轴上投影不存在；力偶在坐标轴上投影不存在； 力偶矩力偶矩m =常数，它与

12、坐标轴与取矩点的选择无关。常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。 解题技巧解题技巧 选坐标轴最好是未知选坐标轴最好是未知 力投影轴；力投影轴； 取矩点最好选在未知取矩点最好选在未知 力的交叉点上；力的交叉点上； 充分发挥二力杆的直充分发挥二力杆的直 观性；观性； 灵活使用合力矩定理。灵活使用合力矩定理。 )mn(100011000 b m 解解： 选整体研究 受力如图 选坐标、取矩点、bxy, b点列方程为: 解方程得 0x ; 0 b x 0 b m0depmb 0y; 0py b pyb 例例1 已知各杆均铰接，b端插入地内，p=1000n， ae=be=ce=de=1m，杆重不计。 求ac

13、 杆内力？b 点的反力？ 八、例题分析八、例题分析 受力如图 取e为矩心，列方程 解方程求未知数 045sin, 0 edpcesm o cae )n(1414 1707. 0 11000 45sin ce edp s o ca 再研究cd杆 例例2 已知已知:p=100n，ac=1.6m，bc=0.9m，cd= ec =1.2m，ad=2m且ab水平，ed铅垂，bd垂直于 斜面； 求求 ?和a点的支座反力？ 解解：研究整体，画受力图， 选坐标列方程 bd s 02 . 15 . 2, 0 pym ab 0sincossin , 0 pyx x aa 5 3 2 2 . 1 cos ; 5 4 2 6 . 1 sin ad cd ad ac 而 n48 ;n136 : aa yx解得 再研究ab杆，受力如图 0sin , 0 acycbsm abc 由 n7 .106 5 4 9 . 0 6 . 1)48( sin : bc acy s a b 解得 例例3 已知：连续梁上，p=10kn,