基本初等函数

1、 基本初等函数一、知识梳理1.指数与对数的概念 b = log n（ a 0，a 1）bnaa2.指数与对数的性质指数运算性质a a = a (a 0,r s q+r s、），rs(a ) = a (a 0,r、 sq），rsrs(a b) = a b (a 0,b 0,r q）rrr（注）上述性质对 r、 s r 均适用.对数运算性质mn log m + log nloglogaaamn= log m - log naaalog m = nlog m（m、n0, a 0, a 1）naanlog m = log m推广：nmmaalog nlog n = （ a ，b 0，a 1，b 1）换

2、底公式：blog aab3.指数函数、对数函数的概念形如 y x（a 0 且 a 1， x 0）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 r.alog x形如 y （a 0 且a 1， x 0）的函数，叫做对数函数.a（1） 指数函数、对数函数的定义是一个形式定义，注意指数函数与幂函数的区别；（2） 注意底数的取值范围.4.指数函数、对数函数的图像和性质（略）.5.幂函数= xa ( )（1）幂函数定义：一般地，形如 ya r 的函数称为幂函数，其中 为常数.a第 1 页 共 11 页 （2）幂函数性质： 所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；a 0时，幂函数的图象

3、通过原点，并且在区间0,+)a 1时，上是增函数.特别地，当0 1时，幂函数的图象上凸；幂函数的图象下凸；当aa 0 时，幂函数的图象在区间(0,+)x上是减函数.在第一象限内，当 从右边趋向原点时，yy+ 图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 x 趋于 时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.二、方法归纳1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1 还是小于 1，要注意对底数的讨论；3.比较几个数（幂或对数值）的大小的常用方法有：以0 和1 为桥梁；利用函数的单调性；作差.4.指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与

4、其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径.三、典型例题精讲121333 5 log 0.35, lg 25, lg15, 23 【例 1】比较下列各数的大小：5 2log 0.3 5log 0.3 5解析：0 ，其他各数都大于零，故最小；22又lg10 1，lg 1002， 1lg15 lg 252 2 8，3121333 对于与，首先，它们都属于区间（0,1），且是同底的幂，5 5 12133 3 3 x考虑函数 为减函数，.y5 55 121333 5 log 0.35 lg15 lg 25 1- a11+ a + ba.b.d.babb( ) ( )( ) ( )a

5、b1- a 1- ab11- a - bc.b2( ) ( )1- b1- a解析：01，为减函数， y x 在（0,1）上为增函数，又函数 y (1-b)xa( ) ( ) ( )a1- b1- b1- a ，故选 d.ba0技巧提示：利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性，同时充分利用 和1 为桥梁，能使比较大小的问题得到解决.+ 2a -1【例 2】已知函数 y a（a ，a 1）在区间1，1上的最大值为 ，求a 的值.0142xx(a +1) - 2 (u +1) - 2x ，-1 1解析： y 22，又x1 ,a u -1 ( +1) - 2当 a 1 时，u，u2为 的增函数.ua

6、14 = a + 2a -1 a = 3或a = -5(舍)函数的最大值为21a, u -1 ( +1) - 2当 0a 1 时，u，u2为 的增函数.ua1 2111 函数的最大值为14 =+ 2-1 a = 或a = - (舍） 35a a 1= 或a = 3综上得，a.3技巧提示：指数函数与二次函数的复合函数，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径log (2x + 3- x )2 .求(x)又例：已知 f(x)4（1） f的单调区间；(x)（2）求函数 f的最大值及对应的 x 的值.2x + 3 - x 0( ) (-1,3)，得 f x 的定义域为 ，解析：（1）由22x + 3

7、- x2记u （ x 1） 4，对称轴为 x 1.2(x) f的增区间为（1，1】，减为区间【1，3）.第 3 页 共 11 页 2（2）u （ x 1） 44，当 x 1 时有最大值 1.y1 2 -1x= 1- 【例 3】函数 y的定义域是（）3 11 ,+)(-, a.b.c.(-,+)d.(-,122111 2x-11 ( )3 2x-1 2x-11- 0 1，即 解析：由 ，得 ，03 3 3 112( )为减函数，2x -1 0.故所求定义域为x 由.选 a.x3技巧提示：这里充分利用指数函数的单调性，通过解简单的指数不等式得到所求定义域.同样，可以充分利用对数函数的单调性，通过解

8、简单的对数不等式得到某些问题的解.2log 1又例：若解析：由，则 a 的取值范围是.3a22log 1log 当 a 时，是增函数，于是 a，a .a22，a .3log x当 a 时，是减函数，于是 a3a2综上可知a 的取值范围是a 或a .3log (a - 2(ab) - b +1) 0b再例：解不等式22x（a 0， 0）.xx12log (a - 2(ab) - b +1) 0.a20，即xx b b a a xx1+ 2 log (1+ 2)当 a b 时, x；abx log (1+ 2)当 a b 时，；ab第 4 页 共 11 页 当 a 时，不等式无解.b= log (

9、-x + 2x)【例 4】函数 y2的单调递增区间是.12解析：由而函数u即u 在( 0,1) 上是增函数，在(1, 2)，得0 x 02= -x + 2x =1- (x -1)22 ，上是减函数.= log u=log (-x + 2x)单调递增区间是(1, 2).又 y是减函数， y21122技巧提示：对于复合函数的单调性，一要注意在定义域内研究问题；二是对组成复合函数的每一个函数的单调性作出判断；最后根据复合函数的单调性原则做出结论.1 -x2 +3 -9x=又例：求函数 y 的单调递减区间.2 1 -x2 +3 -9x=解析：显然 y 的定义域是.r2 3274= -(x - ) -=

10、 -x + 3x - 9 ，则u设uu有 y y2.223(-, )= -x + 3x - 9的单调递增区间为2211 -x2 +3x-9 u=u 是 的减函数，22 13 -x2 +3 -9x(-, ) .的单调递减区间为22 f (x) = log x再例：已知a 0 且 a 1,函数在定义域2,3上的最大值比最小值大 1 ,则a 的值a为.322 3，a ， .3 2log 3- log 2 =1log，即= 1解析：由题意，有aaaa +1x(x)【例 5】当 a 1 时，证明函数 f是奇函数.a -1x解析：由a 10 得 x 0.x故函数定义域 x x 0是关于原点对称的点集.第

11、5 页 共 11 页 a +1 (a +1)a1+ a1- aa +1a +1-x-xxxxxxx(-x)(-x)= - f (x) =， 又 f f，a -1 (a -1)aa -1a -1-x-xxxa +1xf (x)f (x).所以函数是奇函数.a -1x(-x)f (x)关系时，也可采用如下技巧提示：对于指数形式的复合函数的奇偶性的证明，在判定 f等价证法.与f (-x)f (x)f (-x)f (x)f (-x) = f (x) = 1（f (-x) = - f (x) (x) ），= -1 f (x)（）.f如本题可另证如下：f (-x) a +1 a -1 a - a-xxx-

12、x= -1，即 f ( )-x( )f x，f (x) a -1 a +1 a - a-xx-xxa +1x(x)所以函数 f是奇函数.a -1x2(x)又例：设 a 是实数， fa （ x r）2 +1x(x)（1）试证明对于任意a ， f(x)为增函数；（2）试确定a 值，使 f为奇函数.解析：（1）设 x ， x r，且 x x ，121222222(2 - 2 )xx(x ) - f (x )-) - (a -) =-=12则 f（a2 +12 +1 2 +1 2 +1 (2 +1)(2 +1)12xxxxxx122112= 22222 0，x2由于指数函数 yx在 r 上是增函数，且

13、 x ，所以，即xx1x2x11222f (x ) - f (x )f (x ) log (x +1)又例：解不等式382+ + 3 0x3 xx +1 0， 即等价于x +1 0解析：原不等式可化为，3x + 2x - 2 (x +1)3x -1-1+ 7-1- 7-1+ 7-1 即 ，解得：x， x 3 33-1+ 7-1 x 0,a 1)g(x) 0( ) =，则 f x a x+1 是（6.已知 g在b.在d.在）a( )( )-,0- ,0a.在c.在上是增加的上是减少的( )( )-,-1-,-1上是增加的上是减少的(x) = (a -1)7.函数 f2是减函数，则实数a 的取值范

14、围是.xlg 5 + lg2lg 50 + 4=8.计算2log 3.21- mx(x) = log是奇函数 （其中a 0,a 1)，9.已知 f-1a x（1）求m 的值；(x)（2）讨论 f的单调性；的反函数 -1(x)；(x)f（3）求 f(x) 定义域区间为(1, a - 2)f (x) 的值域为(1,+)（4）当 f时，求 的值.a(x) = log (x - 2ax + 3)10.对于函数 f2，解答下述问题：12（1）若函数的定义域为 r，求实数 a 的取值范围；（2）若函数的值域为 r，求实数 a 的取值范围；（3）若函数在-1,+)内有意义，求实数 a 的取值范围；（4）若函

15、数的定义域为(-,1) (3,+)，求实数 a 的值；（5）若函数的值域为(-,-1，求实数 a 的值；第 9 页 共 11 页 （6）若函数在(-,1内为增函数，求实数 a 的取值范围.五、参考答案1.c.2.c.3.a.4.c.8.105.d.6.c.(- 2,-1) u (1, 2)7.1+ mx- x -11- mx1- m x22f (-x) + f (x) = log+ log= log= 09.解析：（1）qx -11-xaaa2对定义域内的任意 恒成立，x1- m x22= 1 (m -1)x = 0 m = 122，1- x2当 m=1， f(x)无意义，舍去，m = -1，

16、x +1(x) = log（2） f， 定义域为(-,-1) u (1,+)，x -1aax +1x -12f (x) = log= log (1+)，而x -1a当 a1时， f在上都是减函数；(x)(-,-1)与(1,+)当0 a 0且a 1)ay-1 0，y 0.，-1a -1x（4）q1 x 3, f (x)在(1,a - 2)上为减函数，a -1(a - 2) = 1，即log= 1 a - 4a +1 = 0，命题等价于 f2a - 3aa = 2 + 3 .解得= g(x) = x - 2ax + 3 = (x - a) + 3- a10.解析：记u222 ， 0对x r恒成立， u= 3 -a a ， 0 - 3 0对x -1,+)( )= a分类，命题等价于“u恒成立”，应按的对称轴，x0g x -1aa -1 -1 0412 0a -2d = a2 - a- 3 0（4）由定义域的概念知，命题等价于不等式的解集为x | x 3，2x x = 1, x = 3的两根，ax- 2 + 3 = 0是方程2x12 + =x x2a a = 2, a即 的值为 2；12x x =