圆的切线性质定理[教学文书]

1、1上课教育 直线和圆相交直线和圆相交 复习回顾复习回顾 nd d r;r; nd d r;r; n 直线和圆相切直线和圆相切 n 直线和圆相离直线和圆相离 nd d r;r; 直线与直线与圆圆的位置关系的位置关系量化量化揭密揭密 O O 相交相交 O 相切相切 相离相离 rrr d d d 2上课教育 切线的性质：切线的性质： 1、圆的切线与圆只有一个公共点。、圆的切线与圆只有一个公共点。 2、切线与圆心的距离等于半径、切线与圆心的距离等于半径(d=r)。 切线还有什么性质呢？ CD B O A 3上课教育 探索探索切线切线性质性质 如图如图, ,直线直线CDCD与与O O相切于点相切于点A,

2、 A, 半径半径OAOA与直线与直线 CDCD有怎样的位置关系有怎样的位置关系? ?说说你的理由说说你的理由. . 半径半径OAOA垂直于直线垂直于直线CD.CD. 议一议议一议 驶向胜利 的彼岸 n老师期望老师期望: n圆的对称性已经在你心中落地生根圆的对称性已经在你心中落地生根. n小颖小颖的理由是的理由是: : n右图是轴对称图形右图是轴对称图形,OA,OA所在直线所在直线 是对称轴是对称轴, , n沿它沿它对折图形时对折图形时,AC,AC与与ADAD重合重合, , 因此因此,BAC=BAD=90,BAC=BAD=90. . CD O A 4上课教育 探索切线性质探索切线性质 小亮小亮的

3、理由是的理由是:OA:OA与与CDCD要么垂直要么垂直, ,要么不垂直要么不垂直. . 假设假设OAOA与与CDCD不垂直不垂直, ,过点过点O O作一条直径垂直于作一条直径垂直于 CD,CD,垂足为垂足为M,M, 议一议议一议 驶向胜利 的彼岸 n老师期望老师期望: n你能看明白你能看明白(或掌握或掌握)用反证法说理的过程用反证法说理的过程. n则则OMOA,OMOA,即圆心到直线即圆心到直线CDCD的距离的距离 小于小于O O的半径的半径, ,因此因此,CD,CD与与O O相相 交交. .这与已知条件这与已知条件“直线与直线与O O相相 切切”相矛盾相矛盾. . CD O A n所以所以O

4、 OA A与与CDCD垂直垂直. . M 5上课教育 切线切线的性质定理的性质定理 参考小颖和小亮的说理过程参考小颖和小亮的说理过程, ,请你写出这个命题请你写出这个命题 定理定理 圆切直线垂直于过切点的半径圆切直线垂直于过切点的半径. . 议一议议一议 驶向胜 利彼岸 n老师提示老师提示: n切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据;作作 过切点的半径是常用经验辅助线之一过切点的半径是常用经验辅助线之一.(连半径，连半径， 得垂直）得垂直） n如图如图 nCDCD是是O O的切线的切线,A,A是切点是切点,OA,OA 是是O O的半径的半径, ,CDOA.

5、CDOA. CD B O A 6上课教育 一、切线的性质：一、切线的性质： 1、圆的切线与圆只有一个公共点。、圆的切线与圆只有一个公共点。 2、切线与圆心的距离等于半径、切线与圆心的距离等于半径(d=r)。 3、圆的切线垂直于过切点的半径。、圆的切线垂直于过切点的半径。 二、辅助线的作法二、辅助线的作法 作过切点的半径作过切点的半径 (连半径，得垂直）连半径，得垂直） 7上课教育 切线切线的性质定理的应用的性质定理的应用 例题欣赏例题欣赏 8上课教育 切线切线的性质定理的应用的性质定理的应用 1.1.直线直线BCBC与半径为与半径为r r的的O O相交相交, ,且点且点O O到直线到直线BCB

6、C的距的距 离为离为5,5,求求r r的取值范围的取值范围. 随堂练习随堂练习 2.2.一枚直径为一枚直径为d d的硬币沿直线滚动一圈的硬币沿直线滚动一圈. .圆心经过的距离圆心经过的距离 是多少是多少?.?. 老师提示老师提示: :硬币滚动一圈硬币滚动一圈, ,圆心经过的路经是与直线平行的圆心经过的路经是与直线平行的 一条线段一条线段, ,其长度等于圆的周长其长度等于圆的周长. . r BC O 9上课教育 切线的判定：切线的判定： 1、直线与圆公共点的个数：、直线与圆公共点的个数：只有只有一个公共点。一个公共点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即、圆心到直线的距离与半径的大小关系，

7、即d=r。 还有其它方法吗？ 10上课教育 直线何时变为直线何时变为切线切线 如图如图,AB,AB是是O O的直径的直径, ,直线直线CDCD经过点经过点A,CDA,CD与与ABAB的夹角的夹角 为为,当当CDCD绕点绕点A A旋转时旋转时, , 你能写出一个命题来表述这个事实吗你能写出一个命题来表述这个事实吗? 议一议议一议 n1.1.随着随着的变化的变化, ,点点O O到到CDCD的距离的距离 如何变化如何变化? ?直线直线CDCD与与O O的位置关系如的位置关系如 何变化何变化? ? n2.2.当当等于多少度时等于多少度时, ,点点O O到到CDCD 的距离等于半径的距离等于半径? ?此

8、时此时, ,直线直线CDCD与与 O O有的位置关系有的位置关系? ?有为什么有为什么? ? B O A CD d d d 11上课教育 切线的切线的判定判定定理定理 定理定理 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线经过半径的外端且垂直于这条半径的直线 是圆的切线是圆的切线. . 老师提示老师提示: 切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根 据据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一作过切点的半径是常用经验辅助线之一. 议一议议一议 CD B O A n如图如图 nOAOA是是O O的半径的半径, ,直线直线CDCD经过经过A A 点点, ,且且

9、CDOACDOA, , n CD CD是是O O的切线的切线. . 12上课教育 切线的判定：切线的判定： 1、直线与圆公共点的个数：、直线与圆公共点的个数：只有只有一个公共点。一个公共点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。 3、经过半径外端且垂直于、经过半径外端且垂直于这条半径这条半径的直线是圆的切线。的直线是圆的切线。 13上课教育 切线切线判定判定定理的应用定理的应用 1.已知已知O O上有一点上有一点A,A,你能过点你能过点A A点作出点作出O O的切线吗的切线吗? ? 做一做做一做 n老师提示老师提示: : n根据根据“经过半径的

10、外端且垂直于这条半径的直线是圆的经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线切线”只要连结只要连结OA,OA,过点过点A A作作OAOA的垂线即可的垂线即可. . O A n2.已知已知O O外有一点外有一点P,P,你还能过点你还能过点P P点作出点作出O O的切线吗的切线吗? ? O P 14上课教育 练习与巩固：练习与巩固： 2、如图如图,在在ABC中中,AB=AC,BAC=120, A与与BC相切于相切于 点点D,与与AB相交于点相交于点E,则则ADE等于等于_ _度度. 1、如图，如图，A、B是是 O上的两点，上的两点，AC是是 O的切线，的切线，B=70， 则则BAC等于（等于（

11、 ） A. 70 B. 35 C. 20 D. 10 ? E ? C ? D ? B ? A O A B C （2）（1） 3、如图如图,在在OAB中中,OB：AB=3：2 , 0B=6， O与与AB相切相切 于点于点A, 则则 O的直径为的直径为 。 O A B （3） 15上课教育 4、如图如图,PA、PB是是 O的切线的切线,切点分别为切点分别为A、B,且且APB=50, 点点C是优弧上的一点是优弧上的一点,则则ACB=_. ? P ? O ? C ? B ? A 5、如图，如图， O的直径的直径AB与弦与弦AC的夹角为的夹角为30，过，过C点的切线点的切线 PC与与AB的延长线交于的延

12、长线交于P，PC=5，则，则 O的半径为（的半径为（ ） A. B. C. 10D. 5 P A B C O （5） （4） 3 35 6 35 辅助线的作法：辅助线的作法：作过切点的半径作过切点的半径 16上课教育 变式一：变式一：在在ABC中，中，AB=2，AC= ，以，以A为圆心，为圆心，1为半为半 径的圆与边径的圆与边BC相切相切 ，则，则BC的长为的长为 。 A BC 6、在在ABC中，中，AB=2，以，以A为圆心，为圆心，1为半径的圆与边为半径的圆与边BC 相切于点相切于点D ，则，则BD的长为的长为 。 A BC D 变式二：变式二：如图，点如图，点A是圆是圆O外一点，外一点，O

13、A=4，AB与圆相切于点与圆相切于点 B，且，且AB=2 ，弦，弦BCOA，则，则BC的长为的长为 。 A O B C 17上课教育 7、如图如图,AB为为 O的直径，的直径，C为为 O上一点，上一点，AD和过和过C点的切点的切 线互相垂直，垂足为线互相垂直，垂足为D，求证：，求证：AC平分平分DAB。 A O B C D （7） 8、如图如图,AB为为 O的直径，的直径，BC是是 O的切线，切点为的切线，切点为B，OC 平行于弦平行于弦AD，求证：，求证：CD是是 O的切线。的切线。 A O B C D （8） 18上课教育 1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？、确定一个圆的位置与大小的

14、条件是什么？ 圆心与半径圆心与半径 2、角平分线的性质定理与判定定理、角平分线的性质定理与判定定理 性质：在一个角的内部，角平分线上的点到这个角的两边的性质：在一个角的内部，角平分线上的点到这个角的两边的 距离相等。距离相等。 判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 19上课教育 1.1.经过三角形三个顶点可以作一个圆。经过三角形三个顶点可以作一个圆。 2.2.经过三角形各顶点的圆叫做经过三角形各顶点的圆叫做 三角形的外接圆三角形的外接圆。 3.3.三角形三角形外接圆的圆心是三角形三边垂外接圆的圆心是三角形三边垂 直平分线的交点

15、，叫做直平分线的交点，叫做三角形的外心三角形的外心， 这个三角形叫做这个三角形叫做这个圆的内接三角形这个圆的内接三角形。 三角形与三角形与圆圆的位置关系（回顾）的位置关系（回顾） B C O A 性质:三角形的外心到三角形三三角形的外心到三角形三 个顶点的距离相等个顶点的距离相等 20上课教育 如图是一块三角形木料，木工师傅要如图是一块三角形木料，木工师傅要 从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢？的圆的面积尽可能大呢？ A BC A BC 三角形的外接圆在实际中很有用三角形的外接圆在实际中很有用,但还但还 有用它不能解决的问题有用它不能

16、解决的问题.如如 21上课教育 C B A D F E O r 22上课教育 思考下列问题思考下列问题： 1如图，若如图，若 O与与ABC 的两边相切，那么圆心的两边相切，那么圆心O的的 位置有什么特点？位置有什么特点？ 圆心圆心0在在ABC的平分线上。的平分线上。 2如图如图2，如果，如果 O与与 ABC的内角的内角ABC的两边的两边 相切，且与内角相切，且与内角ACB的两的两 边也相切，那么此边也相切，那么此 O的圆的圆 心在什么位置？心在什么位置？ 圆心圆心0在在BAC,ABC与与ACB的三个角的三个角 的角平分线的交点上。的角平分线的交点上。 O M A B C N O 图图2 A B

17、 C 探究：三角形内切圆的作法探究：三角形内切圆的作法 23上课教育 作法：作法： A B C 1、作、作B、C的平分线的平分线 BM和和CN，交点为，交点为I。 I 2过点过点I作作IDBC，垂足为，垂足为D。 3以以I为圆心，为圆心，ID为为 半径作半径作 I. I就是所求的圆。就是所求的圆。 MN D 试一试试一试: 你能画出一个三角形的内切圆吗你能画出一个三角形的内切圆吗? 24上课教育 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内内 切圆切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交 点，叫做三角形的点，叫做三角

18、形的内心内心，这个三角形叫做圆的，这个三角形叫做圆的外外 切三角形切三角形。 1.1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；三角形的内心到三角形各边的距离相等； 性质性质： C B A D F E O r 2.2.三角形的内心在三角形的角平分线上；三角形的内心在三角形的角平分线上； 25上课教育 1.如图如图1，ABC是是 O的的 三角形。三角形。 O是是ABC的的 圆，圆， 点点O叫叫ABC的的 ， 它是三角形它是三角形 的交点。的交点。 外接外接 内接内接 外心外心 三边中垂线三边中垂线 2.如图如图2，DEF是是 I的的 三角形，三角形， I是是DEF的的 圆，圆， 点点I是是 DEF的的

19、 心，心， 它是三角形它是三角形 的交点。的交点。 A B C O 图图1 I D EF 图2 外切外切 内切内切 内内 三条角平分线三条角平分线 3. 三角形的内切圆能作三角形的内切圆能作_个个,圆的外切三角形有圆的外切三角形有 _ 个个,三角形的内心在三角形的三角形的内心在三角形的_. 26上课教育 思考下列问题思考下列问题： 1如图，若如图，若 O与与ABC 的两边相切，那么圆心的两边相切，那么圆心O的的 位置有什么特点？位置有什么特点？ 圆心圆心0在在ABC的平分线上。的平分线上。 2如图如图2，如果，如果 O与与 ABC的内角的内角ABC的两边的两边 相切，且与内角相切，且与内角AC

20、B的两的两 边也相切，那么此边也相切，那么此 O的圆的圆 心在什么位置？心在什么位置？ 圆心圆心0在在BAC,ABC与与ACB的三个角的三个角 的角平分线的交点上。的角平分线的交点上。 O M A B C N O 图图2 A B C 探究：三角形内切圆的作法探究：三角形内切圆的作法 27上课教育 作法：作法： A B C 1、作、作B、C的平分线的平分线 BE和和CF，交点为，交点为I。 I 2过点过点I作作IDBC，垂足为，垂足为D。 3以以I为圆心，为圆心，ID为为 半径作半径作 I. I就是所求的圆。就是所求的圆。 EF D 试一试试一试: 你能画出一个三角形的内切圆吗你能画出一个三角形

21、的内切圆吗? 这样的圆可以作出几个呢这样的圆可以作出几个呢? ?为什么为什么?.?. 28上课教育 n直线直线BEBE和和CFCF只有一个交点只有一个交点I,I, 并且点并且点I I到到ABCABC三边的距离相三边的距离相 等等( (为什么为什么?),?), n因此因此和和ABCABC三边都相切的三边都相切的 圆可以作出一个圆可以作出一个, ,并且只能并且只能 作一个作一个. . I EF D A B C 29上课教育 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内内 切圆切圆，内切圆的圆心叫做三角形的，内切圆的圆心叫做三角形的内心内心，这个三，这个三 角形

22、叫做圆的角形叫做圆的外切三角形外切三角形。 1.1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；三角形的内心到三角形各边的距离相等；性质性质： C B A D F E O r 2.2.三角形的内心在三角形的角平分线上；三角形的内心在三角形的角平分线上； 30上课教育 n分别作出锐角三角形分别作出锐角三角形, ,直角三直角三 角形角形, ,钝角三角形的内切圆钝角三角形的内切圆, ,并说并说 明与它们内心的位置情况明与它们内心的位置情况? ? n提示提示: :先确定圆心和半径先确定圆心和半径, ,尺规尺规 作图要保留作图痕迹作图要保留作图痕迹. . A B C A B C C A B 31上课教育 1.如图如图1，ABC是是 O的的 三角形。三角形。 O是是ABC的的 圆，圆， 点点O叫叫ABC的的 ， 它是三角形它是三角形 的交点。的交点。 外接外接 内接内接 外心外心 三边中垂线三边中垂线 2.如图如图2，DEF是是 I的的 三角形，三角形， I是是DEF的的 圆，圆， 点点I是是 DEF的的 心，心， 它是三角形它是三角形 的交点。的交点。 A B C O 图图1 I D EF 图