股指期货最优套期保值比率基于CopulaGARCH模型的实证研究

1、股指期货最优套期保值比率-基于copula-garch模型的实证研究赵家敏 沈一 （暨南大学金融系与金融研究所， 广东 广州 510632） 【摘要】：股指期货的基本功能之一是套期保值。套期保值者可以利用期货合约进行风险管理，降低或转移不利的价格波动风险。股指期货体现在套期保值方面就是最优套期保值比率的计算问题。本文在传统的股指期货套期保值研究的基础上，考虑到金融时间序列本身所呈现的“峰尖厚尾”的特征，引入kendall 秩相关系数，结合copula函数计算尾部相关系数来替代传统的线性相关系数计算韩国kospi200股指期货和现货的套期保值比率，实证表明，运用尾部相关系数比传统的线性相关系数进

2、行计算得到的套期保值比率更为精准。关键词 股指期货 套期保值 garch kendalls copula中图分类号 f830-91 文献标识码a the empirical analysis of the optimal hedge ratio of stock index futures-based on the copula-garch modelabstract：one of the basic functions of stock index futures is hedging. hedgers can use futures contracts to reducing or tra

3、nsferring the risk of price fluctuation in order to do risk management. the optimal hedge ratio calculating is the critical question in the aspect of hedging. based on the traditional way of calculating the optimal hedge ratio and considered the characteristic of fat tail and violation assembly of f

4、inancial time series, this paper resorted to copula theory and its conditional dependence measures, kendallrank correlation parameter to calculate the tail-related correlation. we implement the method to do a empirical study of the data of kospi200 stock index futures in south korea and this empiric

5、al tests shows that the efficiency has been improved and this method to model the optimal hedge ratio is operable.key words：stock index futures；hedge ；garch；kendalls ；copula-【收稿日期】【作者简介】赵家敏（1949- ），女，陕西西安人，教授。主要从事金融工程与金融风险管理研究。 沈 一（1983- ），女，浙江杭州人，硕士，研究生。【基金项目】本文获广东省哲学社会科学“十一五”规划项目（编号07e04）资助。引言创造于1

6、982年的股指期货是市场深化的产物，有助于提高市场效率，给机构投资者提供了对冲风险的工具。它是金融期货的开端，也是金融期货的重头。这也是我国积极筹备股指期货的初衷。股指期货的一大作用是套期保值。根据格利茨的定义，套期保值是指一个已存在风险暴露的实体力图通过持有一种或多种与原有风险头寸相反的套期保值工具来消除该风险。完全的(最佳的)套期保值是指一项套期保值的保值工具在各方面均与最初的风险暴露（风险敞口）完全吻合1 格利茨：金融工程学m，唐旭等译，北京：经济科学出版社，1988。如果存在这样的保值工具，风险可以完全被消除。对于股指期货来说，套期保值具体是指对冲将要发生的现货交易，主要用于所管理的组

7、合在未来有明确的现货交易活动的情况。套期保值通过持有与现有或将要拥有的现货头寸主向相反的期货头寸以消除投资者面临的现货价格风险。在理论上，最优的套期保值被定义为在整个保值交易期间的收益的方差(风险)最小的套期保值组合，并且可以利用回归分析来确定该比率。对套期保值比率的研究源自markowitz（1952）的组合投资理论。markovitz现代投资组合理论是建立在正态分布以及不同资产间的线性相关的假设之上，这限制了其的实际应用。johnson通过最小化期货与现货组合的方差得到了最小方差套期保值比率。这种方法也只计算了期货价格和与现货价格的线性相关系数。ghosh等2 ghosh, ahedgin

8、g with stock index futures: estimation and forecasting with errorcorrection modelj, journal of futures markets, 13：743-752提出利用向量自回归、误差修正模型以及分数协整模型计算最优套期保值比率。该做法是基于残差服从正态分布或者联合正态分布的假设条件，因此计算得出的最优套期保值比率为一常数，而金融时间序列在未来经济条件不确定的情况下，常常呈现出条件方差的时变性。国内对套期保值的研究以定性研究居多，但仍有相当的定量研究。杨春鹏等（1999，2000）对限定亏损概率下期货、期权交易

9、中的最优套期保值比率进行了研究。林孝贵（2000）对在给定有效价格下的最优套期保值策略进行了研究。吴冲锋等（2003）就我国期货套期保值中的铜期货价格协整，以及最优套期策略作了非常系统的理论和实证研究。迟国泰（2006）在最小方差套期保值模型的基础上，提出了最小方差套期保值的期货与现货波动非线性对冲原理，利用非线性相关系数代替传统的线性相关系数进行套期保值效率的计算。但现有研究成果大多建立在参数估计和正态分布的框架下来估计最优套期保值比，而事实上金融时间序列存在着“峰尖厚尾”现象，也不服从正态分布。当极端的情况发生时，现货和期货收益率序列之间的相关关系常常发生结构性变化。同时，国内对套起保值比

10、率的计算大部分集中在对商品期货的实证分析上，对股指期货的研究相对而言较少，因此，本文将通过garch模型来得出股指现货和期货的波动率，通过kendall 值计算得出copula函数的尾部相关系数来代替传统的相关系数r，得出非线性相关系数，进而计算最佳套期保值比率。一、 计量方法概述1. kendall秩相关系数kendall相关分析是非参数相关分析，它对分析的变量不需要基于 正态性假设。具体是指，在随机变量间的相关性分析中，如果一个随机变量取较大值（或较小值），以为着另一个随机变量也取较大（较小）值的趋向，则认为这两个随机变量是正相关的；反之，若存在一个随机变量的较大值（或较小值）总与另一个随

11、机变量的较小（较大）值同时出现的趋势，则认为是负相关的。前者称为和谐，后者称为不和谐的。基于此，和谐度可以捕捉到线性相关性所无法捕捉到的变量间的非线性相关性，可以用来匹配现货和期货之间较大波动性，合理对冲现货风险，提高套期保值比率计算的准确性。设与是独立同分布（i.i.d）随机向量，我们可以给出kendall秩相关系数的一般定义： （1）于是就度量了x和y的一致性程度。=1，表示x的变化与y的变化完全一致，所以正相关；=-1，表示x的变化与y的反向变化完全一致，所以负相关；=0，表示x的变化与y的变化一半是一致的，一半是相反一致的，所以不能判断是否相关。2. copula函数slkar（195

12、9）最早提出了copula函数。他指出，copula函数可以理解为 “连接函数”，它把多维随机变量的联合分布用其一维边际分布连接起来：对于一个具有一元边缘分布的联合分布函数f，一定存在一个copula函数，满足 （2）若连续，则c唯一确定；反之，若为一元分布，那么由（2）式定义的函数f是边缘分布的联合分布函数。由此可见，copula函数不但能够刻画变量间的相关性，并且为求取联合分布函数提供了一条便捷的通道，有利于更好地量化组合风险。自embrechs p（1999）把copula理论引入金融以来，把金融风险分析推向了一个新的阶段。金融时间序列具有“峰尖厚尾”的特征。在风险管理中，往往更注重于下

13、尾相关性。因为在金融市场里，收益率一下降就会导致其他金融资产收益率的下降，所以研究其尾部相关性显得尤为重要。copula函数一个很好的特性就是可以度量尾部相关性，这个方法可以度量两个随机变量在极端情况下的相依状况。对任意向量组，设其对应的边缘分布函数为，令： （3）考虑当时，的极值如果存在，它就反映了这两种金融资产收益率尾部相关性的大小，因此用表示尾部相关性。同样，对于尾部相关系数也可以由copula函数导出。genest和mackay(1986)给出了阿基米德copula函数的定义。对于阿基米德族copula函数3 genest c, mackay jthe joy of copulas:

14、bivariate distributions with uniform marginalsj, american statistician, 1986（40）：280-283有： （4）而相关研究表明，阿基米德族中的gumbel copula能够较好地刻画上尾相关性，并且计算起来比较简单，所以本文选择使用gumbel copula函数对样本数据的相反数进行处理4 肖璨、田益祥、朱东：运用copula方法对债市相关性的测度j，统计与决策，2007年第9期。： （5）其中，是向量组的边缘分布函数，为连续函数参数。但是阿基米德族copula函数本身具有一些较好的性质，可以采用较简便的方法估计参数。

15、若随机变量x和y的copula函数是由生成元q（t）组成的阿基米德族copula，则x和y的一致性相关系数kendalls 为： （6）从公式4我们可以得到和阿基米德族copula函数的单参数q的关系，从而可以通过历史数据求得来确定参数q。特殊的阿基米德copula函数如gumbel copula具体可以表示为： （7）其中，为相关系数。当时，随机变量趋于完全相关；当时，趋向于独立。实证表明，gumbel copula对描述下尾的相关关系更为有效，而且这种相关关系的描述都是非对称的。下文也将通过这个办法进行计算。3. garch模型方差估计engle在1982年首先提出了arch模型，1986

16、年bollerslev将arch模型推广得到garch模型。由于期货和现货收益率会在套期保值之前历史期和套期保值期间有不一样的波动值，因而要求对最小方差套期保值比计算能反映期货和现货收益率波动值变化。实证研究表明，garch类模型特别适合于对金融时间序列数据的波动性和相关性进行建模，估计或预测波动性和相关性。通过garch族模型预测期货收益率方差预测，一方面能很好地解决套期保值比动态预测问题，另一方面由于garch模型能将波动率聚集效应和时变方差效应考虑在预测过程中，提高了预测准确性5 王玉刚、迟国泰、吴姗姗：基于非线性相关的最小方差套期保值比率研究j，价值工程，2006年第10期。garch

17、模型一般由两个方程组成。一个是条件均值方程，另一个是条件方差方程-标准的回归方程。 （8）其中，(保证过程是宽平稳的)。garch更关注条件方差方程，而通常将条件均值方程的形式取得简单。形式最简单的garch（1，1）模型是实际应用中最常用的模型。它只有一个滞后的非预期回报平方项和一个自回归项，本文后面对股指期货收益率序列也将选择garch(1,1)进行回归。 （9）各种garch模型的区别在于条件方差方程采用的形式不同，或者对的分布的假设不同。如果的结构为： （10）其中是一个名义变量，当，则；如果，则，这样的模型称为tarch模型，tarch是一种非对称模型，用来金融市场中坏消息和好消息对

18、波动性产生的不同影响。引入copula函数以后的copula-garch方法不仅可以体现出金融时间序列的条件异方差的特性，又可以从概率的角度反映时间序列间的非线性相关关系。4. 套期保值绩效的衡量所谓套期保值绩效是指套期保值活动是否达到预先制定的目标以及实现的程度。资产组合套期保值理论因其具有现代金融理论的特征，所以本文在进行套期保值比率的计算时，所使用的主要理论依据是资产组合套期保值绩效理论。最小方差套期保值比率的计算公式如下：。根据bailhine和myers6 baillie r t, myers r jbivariate garch estimation of the optional

19、 futures hedgej, journal of applied econometrics, 1991(6)：109-124，没有进行套期保值和进行套期保值时的收益简单表示为： （11） （12）这里分别是没有套期保值和进行套期保值时的方差。和分别是现货和期货的标准差。是现货和期货价格的协方差。lien7 lien d,tse y k,albert k cevaluating the hedging performance of the constant-correlation garch modelj, applied financial economics, 2002(12)：791

20、-799给出了套期保值绩效的衡量指标，即与未参与套期保值时收益方差相比，参与套期保值后收益的减少程度。方差减少程度可以表示为： （13）该指标反映了进行套期保值相对于不进行套期保值风险降低的程度。本文将采用第一种方法对套期保值绩效做比较。二、 实证分析1.数据来源及处理kospi200指数是韩国综合股票价格指数（korean composite stock price index）的缩写。kospi200指数包含韩国股票交易所上市交易的最大且最具流动性的前200只股票。该指数以市值为权重。kospi200指数的推出，是作为股价指数期货和期权的交易对象而开发的股价指数，1994年6月15日开始运

21、行，以1990年1月3日为基期计算。1996年5月3日，韩国证券交易所正式开始kospi200指数期货交易。之所以选取这个指数，是因为在亚洲市场上它相应的指数期货产品推出比较早，成交量比较大，流动性比较高，具有一定的代表性，符合研究的需要。在定义数据时本文采用现货价格和期货价格的自然对数作为分析变量，这样可以有效地消除极端值的影响，保证估计结果的稳健性。数据来源于彭博资讯终端。股指期货的合约存在多个月的合约，这里选取的指数期货合约为最活跃月份的股指期货合约。数据采样区间为2006年4月4日至2007年4月4日。除去缺失数据，样本容量为247个。定义，其中，表示t时间kospi200指数期货的收

22、盘价，而表示前一时期期指的收盘价；表示t时间kospi200指数现货的收盘价，而表示前一时期现指的收盘价。2.统计特征描述及平稳性检验对kospi200指数的现货收益率序列（以ss表示）和期货收益率序列（以fs表示）分别进行统计性描述，得到的结果如表1所示：表1 现货和期货收益率序列统计特征描述fsssmean0.0001120.000114median待添加的隐藏文字内容10.0004810.000360maximum0.0166460.015426minimum-0.016683-0.016334std. dev.0.0052520.004824skewness-0.337275-0.30

23、8770kurtosis3.8375504.027739jarque-bera11.9024014.79532probability0.0026030.000613sum0.0276810.028063sum sq. dev.0.0067850.005726一般而言，期货价格表现比现货价格更强的波动性。表1中现指的和期指的jb统计量都表明收益率序列不是服从正态分布的，其中，现指收益率的偏度为-0.308770，期指收益率的偏度为-0.337275，均为左偏。为了防止虚假回归，我们对这两个时间序列进行单位根检验。检验结果见表2和表3：表2 现货指数收益率序列单位根检验sst-statisticp

24、rob.*augmented dickey-fuller test statistic-15.573680.0000test critical values:1% level-3.4568405% level-2.87309310% level-2.573002表3 期货指数收益率序列单位根检验fst-statisticprob.*augmented dickey-fuller test statistic-16.576420.0000test critical values:1% level-3.4568405% level-2.87309310% level-2.573002检验结果说明无

25、论在1%，5%还是10%的显著性水平下，现货指数收益率序列和期货指数收益率序列都是平稳的。因此可以直接用garch模型进行回归，得到现指和期指的波动率序列。3. garch模型回归为了描述期货和现货收益率序列的条件相关关系，本文采用一元garch模型对现货和期货的收益率序列进行估计。在未知残差的具体形式时，分别假设残差服从正态分布和t分布来拟合单一序列。我们将比较模型的aic和sc值，选取最适合的边际分布估计方法。得出的结果如表4：表4 现货收益率序列的garch模型估计结果ssgarch正态garch-t分布tarch正态tarch-t分布aic-7.899596-7.901591-7.98

26、6679-7.981281sc-7.856972-7.844759-7.929847-7.910240likelihood978.6001979.8465990.3549990.6879表5 期货收益率序列的garch模型估计结果fsgarch正态garch-t分布tarch正态tarch-t分布aic-7.742696-7.741917-7.813590-7.805492sc-7.700072-7.685058-7.756757-7.734452likelihood959.2229960.1268968.9783968.9783通常，garch模型的残差可以服从正态分布和t分布。通过对比ai

27、c和sc的值，我们发觉残差服从正态分布的tarch模型对边际分布进行拟合要优于采用残差服从正态分布的garch模型所估计的结果。从而得出现货收益率和期货收益率的回归方程如下：ss：fs：4.套期保值评价指标接着计算kendall秩相关系数。通过stata10计算得出样本区间内现货和期货收益率之间的kendalls t的估计值为0.8285。由于本文选择的是阿基米德copula族中的gumbel copula函数，具有阿基米德族copula函数的一般性质，所以可以从kendall秩相关系数t来推导出gumbel copula中的单参数q。对特定的gumbel copula函数，从公式6中可以得出

28、： （14）同样也可以从公式4中推导出gumbel copula函数中参数与尾部相关系数的关系如下： （15）运用stata10求得样本区间内现指和期指收益率序列的kendalls 的估计值是0.8285。从而得到q=5.8309，0.8738，代入套期保值比率的计算公式，于是得到=0.7658。根据bailhine和myers的方法对套期保值绩效进行比较。没有进行套期保值时的收益率序列已由公式11给出：，而套期保值以后的收益率序列。将套期保值比率=0.7658代入计算得到序列rh1。rh1与未进行套期保值时的收益率ss的走势如图1： 图1 套期保值前后收益率走势图从图1可以明显地看出，在进行

29、套期保值以前的收益率的波动显著地大于套期保值以后收益率的波动情况。为了进一步考察动态套期保值比率的性质，我们将其与没有进行套期保值前的收益率进行了简单的统计分析，如表6：表6 套期保值前后收益率统计特征描述ssrh1mean0.0001146.07e-05median0.0003600.000142maximum0.0154260.004804minimum-0.016334-0.006264std. dev.0.0048240.001319skewness-0.308770-0.466241kurtosis4.0277395.158664jarque-bera14.7953256.90625probability0.0006130.000000sum0.0280630.014998s