数学建模 电力生产问题[图表相关]

1、电力生产问题摘要对于该电力生产问题，在解决发电机的发电量能满足每日的电力需求的条件下，为了使每日的总成本达到最低。我们通过对发动机工作合理安排问题的探究和讨论，通过数学规划，建立了非线性的动态规划模型。 问题一，首先我们根据题意运用非线性规划方法列出目标函数即四种型号的发电机的总的固定成本、总的边际成本、总的启动成本的和函数，根据表一和表二所给的数据要求，列出模型约束条件，编出相应的程序，对建立的模型进行求解，最终得出每天最低总成本为1465840元 问题二，将第一个问题中的发电机的输出功率变为原来的80%，分析方法和问题一类似。最终求得发电机的工作安排，运行成本为1532952元关键词：固定

2、成本、边际成本、启动成本、动态规划、最低总成本一、 问题重述为满足每日电力需求（单位为兆瓦（MW），可以选用四种不同类型的发电机。每日电力需求如下表1。 表1：每日用电需求（兆瓦）时段（0-24）0-66-99-1212-1414-1818-2222-24需求11000330002500036000250003000018000每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于某一最小输出功率。所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。这些数据均列于表2中。表2：发电

3、机情况可用数量最小输出功率（MW）最大输出功率（MW）固定成本（元/小时）每兆瓦边际成本（元/小时）启动成本型号110800180022002.75000型号251000150018002.21600型号381200200038001.82400型号441800350048003.81200只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。问题（1） 在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？问题（2） 如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。那么每个时段又应分别使用哪些发电机才

4、能使每天的总成本最小，此时最小总成本又为多少？二、 模型的假设（1） 发动机的实际功率为最大输出功率（2） 所有发动机在运行过程无故障出现（3） 启动发动机的一瞬间就达到最大输出功率三、 符号的说明符号说明m不同时间段序号Tm发动机在不同时段的运行时间Nii型号发动机的数量Nmi第m的时间段i型号发动机的数量I发动机的型号Pmaxii型号发动机的最大输出功率Pminii型号发动机的最小输出功率W发电机工作时的总运行成本W1所用发电机的固定成本W2所用发电机的边际成本W3所用发电机的启动成本Pm每个时段所需要的总功率Pmi同种型号的所有发电机在m时间段的功率总和Gi一台i型号的发动机的固定成本B

5、i一台i型号的发动机的边际成本Qi一台i型号的发动机的启动成本Qmi第m个时间段i型号发动机的启动成本四、 问题分析此题解决的是在不同时间段应如何选择不同发电机的型号使总成本最低的优化模型问题。要使所选择的发电机的总成本最低应该需要建立合理的模型。总成本是由各个时间段的总的固定成本、总的边际成本和总的启动成本构成，即W=W1+W2+W3。总的固定成本W1由每台发动机的固定成本和发动机的工作时间及发动机数量的乘积求出。总的边际成本W2是通过先求出当前型号发动机的功率与其相同型号发动机最小功率的差，再将差值与一台该型号的发动机的边际成本及其工作时间相乘，得到的乘积即为总的边际成本。总的启动成本W3

6、，在不同时间段中，上一阶段的电机运行情况将影响下一阶段的启动成本，这样就会进接影响总成本，因此在考虑电机的运行费用时应该把下一阶段电机的运行状况和上一阶段的运行状况联系起来，最后得到总的启动成本。在解决此问题的同时，除了考虑满足每天的用电需求外，还应该使每天电机的运行费用尽可能的小。对于问题二要在任何时候，使正在工作的发电机必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升，我们只需要在第一问的基础上，把各时段电机最大输出功率总和的80%作为各时段电机输出功率总和的最大值。再根据第一问的模型思想，通过非线性规划，得到最低总成本。五、 数据分析根据题目的表1，将一天分为时间分为七个时间段，列出相关

7、的数据运行时间及需求功率表（表一）,功率（MW），时间（小时）时间段m1234567运行时间Tm6332442需求功率Pm11000330002500036000250003000018000根据题目中的表2，将数据中发电机的情况表列出（表二），功率（MW），固定成本、边际成本（元/小时），启动成本（元）。型号i1234台数Ni10584最大功率Pmaxi1800150020003500最小功率Pmini800100012001800固定成本Gi2200180038004800边际成本Bi2.72.21.23.8启动成本Qi5000160024001200六、 模型的建立与求解问题一由表中数据

8、可得，总的固定成本W1由每台发动机的固定成本和发动机的工作时间及发动机数量的乘积求出W1=m=17i=14Ni Gi Tm而总的边际成本W2是通过先求出当前型号发动机的功率与其相同型号发动机最小功率的差，再将差值与一台该型号的发动机的边际成本及其工作时间相乘，得到的乘积即为总的边际成本W2=i=14t=17(Pti-Ni Pmini)Bi Tm再者，求总的启动成本W3，由于上一阶段的电机运行情况将影响下一阶段的启动成本，其值与上阶段启动的发动机数量及下阶段新启动的发动机数量有关，再根据不同型号的发动机启动成本就得出总的启动成本W3=i=14(N1i-N7i)Q1i+m=27i=14Nmi-N(

9、m-1)iQmi约束条件如下PtiPm0N1100N250N380N44最后由总的固定成本W1，总的固定成本W2，总的启动成本W3，得到最小总成本W=W1+W2+W3具体结果如下表（表三）型号 时段 台数型号一型号二型号三型号四各时段的总成本实际输出功率台数实际输出功率台数实际输出功率台数实际输出功率台数0 - 6360027500500001458006 - 93600275005160008700022878209 - 1236002750051400070018294012 - 1480005750051600083500120296014 - 188000560004100005002

10、4920018 - 2280005750051000053500130864022 - 248000575005200010088480合计46800026510003468000341400041465840问题二 由于问题二与问题一的的模型思路类似，由表中数据可得，总的固定成本W1由每台发动机的固定成本和发动机的工作时间及发动机数量的乘积求出W1=m=17i=14Ni Gi Tm而总的边际成本W2是通过先求出当前型号发动机的功率与其相同型号发动机最小功率的差，再将差值与一台该型号的发动机的边际成本及其工作时间相乘，得到的乘积即为总的边际成本W2=i=14t=17(80%Pti-Ni Pmi

11、ni)Bi Tm再者，求总的启动成本W3，由于上一阶段的电机运行情况将影响下一阶段的启动成本，其值与上阶段启动的发动机数量及下阶段新启动的发动机数量有关，再根据不同型号的发动机启动成本就得出总的启动成本W3=i=14(N1i-N7i)Q1i+m=27i=14Nmi-N(m-1)iQmi约束条件如下PtiPm0N1100N250N380N44最后由总的固定成本W1，总的固定成本W2，总的启动成本W3，得到最小总成本W=W1+W2+W具体结果如下表（表四）型号 时段 台数型号一型号二型号三型号四各时段的总成本实际输出功率台数实际输出功率台数实际输出功率台数实际输出功率台数0 - 657604600

12、0500001614716 - 9144001060005128008003091209 - 12144001060005480030019212012 - 141440010600054800311200420768014 - 18144001060005480030025616018 - 22144001060005960060031760022 - 247200560005480030088800合计8496059420003541600261120041532952七、 模型误差分析1. 模型过于理想化，在实际操作中发动机的输出功率不可能达到最大输出功率2. 通过lingo软件的计算得

13、到了较为准确的数值，使结果更为精确3. 发动机在实际工作中功率是缓慢增加，不可能一瞬间达到，所以实际中的结果与理想化的模型也会有一定的偏差八、 模型评价1 该模型在求最低成本的问题上思路明确，从固定成本、边际成本、启动成本三个因素开始计算，通过其总和求出最低成本，步骤及思路清晰。2 将一天作为一个整体进行求解，考虑到了各个时段间的关联，考虑到前段时间的启动成本与后一阶段的启动成本可能存在的发动机启动重复性，通过合理的分析，排除前阶段启动后阶段仍然启动的发动机的启动成本，使结果更为精确。3 本模型忽略了一些实际问题中的问题，是较为理想化的模型，存在误差。九、 模型的推广和改进在实际操作中，需要计

14、算发动机工作时，从最小功率上升到最大功率的时间和在这期间的输出功率。发动机在工作中会产生热量，这就代表发动机不可能一直以最大功率进行输出。这需要考虑到发动机随工作时间增长其实际输出功率的变化，从而进行。十、 参考文献1司守奎 数学建模算法与应用习题解答 北京：国防工业出版社，2013.12焦云芳 数学建模入门 北京：冶金工业出版社，2012.43姜启源 谢金星 叶俊 数学模型(3版) 北京：高等教育出版社.2十一、附录问题一NMI( 1, 1) 2.000000/所用（时间段，型号）台数 NMI( 1, 2) 5.000000 NMI( 1, 3) 0.000000 NMI( 1, 4) 0.

15、000000 NMI( 2, 1) 2.000000 NMI( 2, 2) 5.000000 NMI( 2, 3) 8.000000 NMI( 2, 4) 2.000000 NMI( 3, 1) 2.000000 NMI( 3, 2) 5.000000 NMI( 3, 3) 7.000000 NMI( 3, 4) 0.000000 NMI( 4, 1) 5.000000 NMI( 4, 2) 5.000000 NMI( 4, 3) 8.000000 NMI( 4, 4) 1.000000 NMI( 5, 1) 5.000000 NMI( 5, 2) 4.000000 NMI( 5, 3) 5.

16、000000 NMI( 5, 4) 0.000000 NMI( 6, 1) 5.000000 NMI( 6, 2) 5.000000 NMI( 6, 3) 5.000000 NMI( 6, 4) 1.000000 NMI( 7, 1) 5.000000 NMI( 7, 2) 5.000000 NMI( 7, 3) 1.000000 NMI( 7, 4) 0.000000W( 1, 1) 58800.00/总成本（时间段，型号） W( 1, 2) 87000.00 W( 1, 3) 0.000000 W( 1, 4) 0.000000 W( 2, 1) 29400.00 W( 2, 2) 435

17、00.00 W( 2, 3) 144960.0 W( 2, 4) 69960.00 W( 3, 1) 29400.00 W( 3, 2) 43500.00 W( 3, 3) 110040.0 W( 3, 4) 0.000000 W( 4, 1) 64000.00 W( 4, 2) 29000.00 W( 4, 3) 86240.00 W( 4, 4) 23720.00 W( 5, 1) 98000.00 W( 5, 2) 46400.00 W( 5, 3) 104800.0 W( 5, 4) 0.000000 W( 6, 1) 98000.00 W( 6, 2) 59600.00 W( 6,

18、3) 104800.0 W( 6, 4) 46240.00 W( 7, 1) 49000.00 W( 7, 2) 29000.00 W( 7, 3) 10480.00 W( 7, 4) 0.000000问题二NMI( 1, 1) 4.000000 18568.00 NMI( 1, 2) 5.000000 11839.98 NMI( 1, 3) 0.000000 24720.00 NMI( 1, 4) 0.000000 0.000000 NMI( 2, 1) 10.00000 11784.00 NMI( 2, 2) 5.000000 6720.000 NMI( 2, 3) 8.000000 15

19、960.00 NMI( 2, 4) 0.000000 0.000000 NMI( 3, 1) 10.00000 11784.00 NMI( 3, 2) 5.000000 6720.000 NMI( 3, 3) 3.000000 11160.00 NMI( 3, 4) 0.000000 25800.00 NMI( 4, 1) 10.00000 7856.000 NMI( 4, 2) 5.000000 4480.000 NMI( 4, 3) 3.000000 9040.000 NMI( 4, 4) 4.000000 18400.00 NMI( 5, 1) 10.00000 15712.00 NMI

20、( 5, 2) 5.000000 8959.981 NMI( 5, 3) 3.000000 18080.00 NMI( 5, 4) 0.000000 33199.99 NMI( 6, 1) 10.00000 2280.000 NMI( 6, 2) 5.000000 0.000000 NMI( 6, 3) 6.000000 0.000000 NMI( 6, 4) 0.000000 -239.9721 NMI( 7, 1) 5.000000 -280.0000 NMI( 7, 2) 5.000000 0.000000 NMI( 7, 3) 3.000000 0.000000 NMI( 7, 4) 0.000000 0.000000W( 1, 1) 94272.00 0.000000 W( 1, 2) 67200.00 0.000000 W( 1, 3) 0.000000 0.000000 W( 1,