考点14 基本不等式及其应用(1)-2020年高考数学二轮优化提升专题训练(解析版)

1、 考点 14 基本不等式及其应用（1）【知识框图】1、（2019 年苏州学情调研） 若正实数x，y【答案】、8【解析】、因为正实数x，yy 4xy 4 y 4(x + y) y 4x 2 + 4 = 4 + 4 = 8，当且仅当 =+ 4+ = +x y xyxyx y12332 3a b_【答案】 2 63x最小值为_【答案】. 813【解析】、解法 1 因为实数 x，y 满足 xy3x30 ，所以 y 3(y3)，xx31y31y31y3所以 y3 x y1 1y33731且仅当 y3，即 y4 时取等号，此时 x ，所以 的最小值为 8.x y3133解法 2 因为实数 x，y 满足 x

2、y3x30 ，所以 y 3(y3)，y3 x2xx60，31331311 3所以 66268，当且仅x yx3x3xx6x6x6313731当 6，即 x 时取等号，此时 y4，所以 的最小值为 8.x33x yx6解后反思 从消元的角度看，可以利用等式 xy3x3 消“实数 x”或消“实数 y”，无论用哪种消元方式，消元后的式子结构特征明显，利用基本不等式的条件成熟4、(2015 苏北四市期末） 已知 a，b 为正数，且直线 axby60 与直线 2x(b3)y50 互相平行，则 2a3b 的最小值为_【答案】25【解析】、由于直线 axby60 与直线 2x(b3)y50 互相平行，所以

3、a(b2 32 3b a3)2b，即 1(a，b 均为正数)，所以 2a3b(2a3b) 136 a bb aa ba bb a1362 25(当且仅当 即 5 时取等号)a ba ba bsin5、(2017 南京、盐城、徐州二模） 已知 ， 均为锐角，且 cos()sin，则 tan 的最大值是_24【答案】【解析】、思路分析 注意研究目标，故先要将cos()应用两角和的余弦公式展开，然后利用同角三角函数式将 tan 表示为 的函数形式，利用求函数的最值方法可得到结果sinsinsinsin由 cos( ) 得 coscos sinsin ， 即 coscos 1sinsincoscoss

4、insin，由 ， 均为锐角得 cos0，tan0，所以 tan1sinsin2 112 22222根据所求的目标，将所求的目标转化为相关的变量的函数，是研2223 ab2，即(ab) 4，所以2 2，所以( ) 2.2 a b a b4max2222222u22a22 b2a最小值为_2 2【答案】231比较常规了a22 b22b1aac12 1132 1122c3 【答案】 4 5思路分析先根据一元二次不等式的解集，确定a0，以及 ， ， 的关系，再a b cc 52将所求运用消元法，统一成单变量 a 的函数问题，运用基本不等式求最值abba 7，b7a，则依题意得 a0)，所以(m222

5、25125121)x ny 1，令 1 ，与mn m1 联立解得 ，n，从而22mn1512x2y 2.5124 【问题探究，变式训练】题型一、利用基本不等式求最值问题知识点拨：利用基本不等式求最值的问题，关键是对复杂的代数式进行合理的代数变形，配凑出使用基本不等式的条件，再利用基本不等式进行求解 .解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！2a +1 2b + 422例 1、(2019 苏锡常镇调研）已知正实数 a，b 满足 ab1，则+ab的最小值为【答案】、.11.【解析】、思路分析：由于目标式比较复杂，不能直接求最小值，需要对该式子进行变形，配凑出使用基本不等式的条件，

6、转化为熟悉的问题，然后利用基本不等式求解2a +1 2b + 4141 4b 4ab 4a22+= 2a + + 2b + = 2(a + b) + ( + )(a + b) = + + 7 2 + 7 =11ababa ba ba b1a =b4a322a2+1 2b2+ 4当且仅当 =a b，即时取“ ”，所以+的最小值为11.=abb =3yx1 xx y【变式 1】、(2019 常州期末）已知正数 x，y 满足 x 1，则 的最小值为_【答案】、4思路分析【解析】、多元条件等式下的最值问题通常可以考虑消元之后利用基本不等式或函数知识求解yx1 x 1x y x x x x 1 xx11

7、解法 1(直接消元 ) 由 x 1 得 yxx ，故 2211121 x4，当且仅当 x1x，即 x 时取“”故 的最x yx（1x）2x1x2小值为 4.5 yxyx1 x 1解法 2(直接消元) 由 x 1 得 1x，故 x y x 1 x1，以下同解法 1.1 x 1x y x 1 x11xx 1xx解法3(消元，分离常数凑定值) 同解法 1，2得 x1x1xx1x1xx1x121 xx y2为 4.4，当且仅当，即 x 时取“”故 的最小值xxyx1 x 1 xyy x2解法 4(“1”的代换) 因为 x 1，所以 x 2 4，x y x y xx y212x ，y x 1 x2当且仅

8、当 ，即时取“”故 的最小值为 4.x yx y2 1y41 4【变式 2】、(2019 镇江期末）已知 x0，y0，xy ，则 xy 的最小值x y为_【答案】、3【解析】、思路分析本题既可用权方和不等式也可运用“1”的代换求解1 2 （12）222解法 1 因为 x0，y0，所以 xy ，得 xy3，当且仅当 xx yxy1，y2 时取等号1 4y 4xx y解法 2 xy （xy） （xy） 5 52 43，当2x yy 4x且仅当 ，即 x1，y2 时取等号x y1 1【变式 3】、(2019 苏北三市期末）已知 a0，b0，且 a3b ，则 b 的最大b a值为_13【答案】、1 1

9、b a1b1a1b1a【解析】、由 a3b ，得 3ba .又 a0，所以 3ba 2(当且仅1b1313当 a1 时取等号)，即 3b2，又 b0，解得 0b ，所以 b 的最大值为 .14a3b【变式 4】、(2019 宿迁期末） 已知正实数 a，b 满足 a2b2，则最小值为_.的ab6 252【答案】、【解析】、解法 1(消元法) 由 a2b2 得 a22b0，所以 0b1，令 f(b)14a3b 95b，ab2b2b210b 36b18 2（5b3）（b3）2f(b).（2b2b ）2（2b2b ）222335当 b0， 时，f(b)0，f(b)递增，5353 255 2 所以当 b

10、 时，f(b)有唯一的极小值，也是最小值 f .1ab4a3b14a3b 29a8b解法 2(齐次化 ) 因为 a2b2，所以abab2ab（9a8b）（a2b） 9a 4b 13 29a 4b 13 254b a 2 24535 ，当且仅当 a ，b 时4ab4b a 225取等号，所以所求的最小值为 .2解后反思求互相制约的双变元问题的最值，最直接的方法就是消元后转化为一元问题，如解法 1；对于分式的最值问题也常常通过齐次化后用基本不等式求解，如解法 2.解法 2 用到了“1”的代换( )【变式 5】、(2018 苏锡常镇调研（二） 已知a，b 为正实数，且 a -b = 4(ab) ，2

11、31 1则 + 的最小值为 a b【答案】、2 2【解析】、解题过程：因为(a + b) = (a - b) + 4ab = 4(ab) + 4ab223，所以1 1a + b4(ab) + 4ab41 13( + ) = () =2= 4ab + 8ab+ 2 22， 故， 当 且 仅 当a bab(ab)2a b=1a = 2 +1，即 ab1 1的最小值为 2 2.= 2 -1时取得等号，所以 +(a -b) = 42ba b题型二 利用基本不等式解决多元问题知识点拨：多元最值问题是最典型的代数问题，代数问题要注重结构的观察和7 变形，变形恰当后，直接可以构造几何意义也可以使问题明朗化，

12、具体归纳如下：(1)多元最值首选消元：三元问题二元问题一元问题(2)二元最值考查频率高，解决策略如下：策略一：消元策略二：不好消元 用基本不等式及其变形式，线性规划，三角换元(3) 多元问题不好消元的时候可以减元，常见的减元策略：策略一：齐次式同除减元策略二：整体思想代入消元或者减元策略三：局部思想锁定主元(本题就是)例 2、(2019 南京、盐城一模）若正实数 a，b，c 满足 aba2b，abca2bc，则 c 的最大值为_87【答案】、【解析】、思路分析1注意到求 的最大值，所以将参数 c 进行分离，为此，c可以利用 abca2bc 进行分离得 ca2ba2bab1 a2b111，从而a

13、2b1将问题转化为求 a2b 的最小值；思路分析2结合 abca2bc 与 aba2b 化简得abcabc 来进行分离abab11得 c1，进而求 ab 的最小值ab1思路分析3由于所求解的 c 与 a，b 有关，而 ， 不对称，因此，将 看a b2b作一个整体，则它与 a 就是对称的，根据对称原理可以猜想得到问题的答案解法 1 由 abca2bc 得，ca2ba2bab1 a2b111，由 aba2ba2b11 2b a1 2 a 4ba 4b 448，b a得， 1，所以 a2b(a2b) 4 42b ab a8故 c .7abab1解法 2 因为 abca2bc，aba2b，所以 abc

14、abc，故 c11，由 aba2b 利用基本不等式得 ab2 2ab，故 ab8，当且仅当 a4，bab18 1182 时等号成立，故 c11 .81 7ab11212解法 3(对等性猜测) 因为已知条件可以改写为“ a 2ba2b， a 2b ca2b8787c”，故 a 与 2b 对等，不妨设 a2b，解得 a2b4，c ，故 c 的最大值为 .解后反思解法 1，2 都是应用了分离参数的方法，即将所求的参数 用 ， 表c a b示出来，从而将问题转化为求与 a，b 有关的代数式的最值问题来加以解决，其中解法 2 更容易把握这是两种基础的解法而解法 3 则是将“非对称式”应用整体转化的方法转

15、化为“对称式”来加以处理，对思维能力的要求很高【变式 1】、(2019 苏北三市期末） 已知 x0，y0，z0，且 x 3yz6，则x y 3z 的最小值为_32374【答案】、【解析】、思路分析本题消元后转化为二元问题研究解法 1(配方导数求函数最值) x y 3zx y 3(6x 3y)x 3xy3232322 3 3 453 3y18x 3xy4543 32 x 3x ，当且仅当 y时取等3324号设 g(x)x 3x，g(x)3x 3.令 g(x)0 得 x1，得 g(x)在(0，1)上单调32递减，在(1，)上单调递增，从而 g(x) g(1)2，所以(x y 3z) 32minmi

16、n45 372 ，即所求最小值为 ，当且仅当 x1，y4 43743 3212，z 时取等号274解法 2(基本不等式配凑) 由 x 113x(当且仅当 x1，取等号)，y 3 3323 32274y当且仅当y取等号，得 x y 3z2 3(x 3yz)18，x y32323743 32123z (当且仅当 x1，y，z 取等)【变式 2】、(2018 南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 已知 a，b，c 均为正数，且 abc4(ab)，则 abc 的最小值为_【答案】、84 4【解析】、由 a，b，c 均为正数，abc4(ab)，得 c ，代入得 abcaa b9 4 4444a4

17、b b a b 2 a 2 b 8，当且仅当 ab2 时，等号a b a b成立，所以 abc 的最小值为 8.解后反思 1.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握 “一正，二定，三相等”的内涵：一正是：参数是否为正；二定是：和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；三相等是：最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点：一是相等时参数是否在定义域内；二是多次用“”或“”时等号能否同时成立)2. 研究多变量问题的基本方法是简化问题，即进行减元处理，而减元的基本策略就是消元，这一点要高度重视1 1a b11【变式 3】、(2018 苏州期末）已知正实数 a，b，c 满足 1， 1，a b c

18、则 c 的取值范围是_4【答案】、1， 3【解析】、思路分析 由第二个等式知，要求出 的取值范围，只要先求出 ca b的取值范围，而这可由第一个等式求得1 1a b解法 1 因为 ab(ab) 2 4，)，所以a b b a1140， ，ab 1c134从而 1 ，1，得 c1， .a b 4 3解法 2 由题两等式得 abab，c(ab)c(ab)，所以 cabc(ab)，abab111即 c1.因为 abab2 ab，所以 ab4，所以 c1ab1ab141， .3【变式 4】、(2018 南京、盐城一模）若不等式 ksin bsinasinc19sinbsinc 对任2意abc 都成立，

19、则实数 k 的最小值为_【答案】、 100【解析】、 思路分析本题首先用正弦定理将三角函数转化为边，然后再利用三角形中的边的不等关系，消元后转化为二元问题研究二元问题的最值问题，可以用基本不等式来处理解法 1(函数的最值) 因为 ksin bsinasinc19sinbsinc，所以由正弦定理可219bcac得 kb ac19bc，即 k.因为abc 为任意三角形，所以 a|bc|，即2b210 19bcac 19bc|bc|cb2b22cb c cb 18 ， 0 1，b 2cbcccbc 当 01 时， b b b 2cc b c1.b 20 ，b 2cb 19bc|bc|c 20 100，即的最大值为 100，所以 k100，即实数 k 的最小值b2为 100.解法 2(基本不等式) 因为 ksin bsinasinc19sinbsinc，所以由正弦定理可219bcac 19bcac cabcb得 kb ac19bc，即 k.又 19 .因为 cab，所以 12b2b2b2aa 1 19 abcaaa b bab ，即 19 y0，且 xy2，21则的最小值为_x3y xy11 32 2【答案】、4m3nx，4m nx3ym，【解析】、设解得所以 xym n2，即 4.2 x y n. mny.4212 12 1m n2n m设 t