二项式定理十大典型例题配套练习

1、精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号：年 级：高二课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 教学内容 1 二项式定理： (a b)n C0an Clan1b 川 C；anrbr 川 cX(n N ), 2 .基本概念： 二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。 二项式系数：展开式中各项的系数 C； (r 0,1,2,n). 项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式 通项：展开式中的第 r 1项C；a； rbr叫做二项式展开式的通项。用Tr 1 C；an rbr表示。 3 .注意关键点： 项数：展开式中总共有 (n 1)项。 顺序：注意正确选择 a,b,其顺序不能更改。

2、(a b)；与(b a)；是不同的。 指数：a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。b的指数从0逐项减到n，是升幕排列。各项的次数和等于n. 012rn 系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn, ,Cn, ,Cn.项的系数是a与b的系 数(包括二项式系数)。 4 .常用的结论： 令 a1,bx,(1x)；C0C：xC；x2川C；x川 C；x；(n N) 令 a1,b x,(1x)；CC；xC；2x2川C；x川(1)nC：xn(n N ) 5.性质： 二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn Cn，C： C： 1 二项式系数和：令a b

3、1,则二项式系数的和为CC：C；2川C；川C；2；, 变形式 C； C； III C； III C：2；1。 奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中，令 a 1,b1， 则 c cn c： c；川 1)nCnn (1 1)n0， 从而得到：C C2 42r Cn Cn cn c； I” Cnr 奇数项的系数和与偶数项的系数和: (a (X 令X 令X n X) a) 1, o 一 n_ _0 n C；a 则ao C1 na x 0 n X 1,则 ao ai 得,a。 a2 C：an1x C：an C：axn 1 C：a2 III an (a 1)n (a 1)0 (a

4、 1)0(奇数项的系数和 a?a； a2 a3 a4 川 an 得,a1 a3 a5|an 2 2 X n 2 X Cn 0 n na X C：anx0 an (a 1)n ao a1x 2 a?x 2 a?x 1(1 a1x n anX 1 a。 2 (a 1)A (a 1)A(偶数项的系数和 二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数 n是偶数时，则中间一项的二项式系数 n Cn2取得最大值。 1 n 1 如果二项式的幕指数 n是奇数时，则中间两项的二项式系数Cn2 ,Cn2同时取得最大值。 系数的最大项：求(a bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别 为A1,A

5、2,An 1，设第r 1项系数最大，应有 Ar 1 Ar 1 A ，从而解出r来。 Ar 2 专题一 题型一：二项式定理的逆用； 例: cn Cn 6 C； 62C； 6n1 解: (1 6)n c0 c n c： 6 Cn2 62 c； 6； Cn 6与已知的有 些差距， cn c： 6 C； 62 III c： 6n 1諮 6 6 C :62 HI C： 6n) (C： 6 c1 cn 6 Cn 62 III c； 6n 1) 1 (1 6 6)n 1 1 1(7n 1) 6 练： c 1 2 n3Cn 9C 3 n Hl ；n1 c； 解：设Sn 1 2 Cn 3Cn 9C；川 3n1C

6、：，则 3Sn 1 2 2 Cn3 Cn3 c：3n Cn C：3 Cn32 C；33 HI C：3n 1(1 3)n Sn (1 3)n 1 3 4n 1 题型二：利用通项公式求 xn的系数; 例: 在二项式（4 x vx）n 的展开式中倒数第 3项的系数为 45 , 3 求含有X的项的系数? 解: 由条件知C： 245 ,即C245 , n2 n 900, 解得 9（舍去）或n 10， 1 2 Tr 1C1r0(x 4)10 r(x3)r C；0X 10 r 4 2 r 3，由题意 10 4 3,解得r 6， x 210 x3,系数为 210。 363 则含有x的项是第7项T6 1 C10

7、X 练: 求(x2 1 ）9展开式中x 2x 的系数? 解: Tr 1 C；(X2)9r( J )r 2x 故X9的系数为Cg(1 )3 2 C9x182r( 2)rx c9( 1、r 2)X 18 3r 令 18 3r 9,则 r 21 o 2 求二项式（X2 10 的展开式中的常数项? 解: r C；0 r 2 10 r Tr 1 G(X ) 5 20 5 r r 2 X 令20 5r 0， 8 1 8 r 8，所以 T9C10() 2 45 256 题型三：利用通项公式求常数项; 例: 练: 解: r6 rr,1、rr r6r,1、r6 Tr1 C6(2X) ( 1) (2x)( 1)C

8、62 (2) X 2r ，令6 2r 0 ,得r 3，所以T4 (1)3c； 20 1 6 求二项式（2x）6的展开式中的常数项? 2x 练: 若（x21）n的二项展开式中第5项为常数项，则n x 42、n4 y1、44 2n12 解: T5 Cn(x )( ) Cnx ，令 2n 120,得 n 6. 题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项; 例：求二项式（、X 3 X）9展开式中的有理项? 1 1 解：Tr 1 C；(X2)9 r( x3)r 27 r (1)rc9x_6一，令 27 r z,(0 6 9)得 r 3 或 r9， 27 r 所以当r 3时， 6 27 r 当r 9时，

9、3， 6 3344 4，T4 ( 1) C9X84 x， 0( 1)3C：x3X3。 题型五：奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和; 例: n展开式中偶数项系数和为 256，求 n . 解: 设（、.x2 n展开式中各项系数依次设为 a0,a1,an 练: 解: 令x 1,则有a。a1an 0,，令x 将-得：2（印a3 a5 有题意得，2 若(3 256 1，则有a。 ai a2 a3 (1)nan2n, n )2 ,a1 28，n 9。 a3a5 2n 2）n的展开式中, Cn2 Cn C；r 所有的奇数项的系数和为 1024，求它的中间项。 所以中间两个项分别为n 6,n 题型六

10、：最大系数，最大项； 1 已知（2x）n，若展开式中第 2 的系数是多少？ :C： C 2C；, n221n 例: 解: 练: 解: 练: 2r 1 小Cn 2n 1，2n 11024，解得 n 11 5项, 98 叽）6（；） 5 462 x 4，T61462 x：5 第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项 0,解出n 7或n 14，当n 7时, 展开式中二项式系数最大的项是 T4和T5 T4的系数C73（2）423貪，T5的系数C74 的项是T8，T8的系数C；4 727 3432。 在（a b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少? 32470,当 二项式的

11、幕指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大，即T2n 1 Tn 2 n 14时，展开式中二项式系数最大 1，也就是第n 1项。 在（扌訴）n的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少? x 解: 只有第5项的二项式最大，则n 1 5，即n 8,所以展开式中常数项为第七项等于C1)2 7 2 2 练: 写出在(a b)7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项? 解: 因为二项式的幕指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有 T4 C；a4b3的系数最小，T5 C；a3b4系数最大。 练: 解: 1 若展开式前三项的二项式系数和等于79，

12、求(2x)n的展开式中系数最大的项？ 2 79,解出 n 12,假设 Tr 1 项最大，(1 2x)12 (丄)12(1 4x)12 1 2 2 Ar 1Ar Ar 1Ar 2 rr 1 , r 1 C12 4 C12412 ，化简得到9.4 r 10.4，又0 r 12， r 10，展开式中系数最 C；24rC1214r 1 练: 解: 大的项为Tn ,有T11 1 12 10 10 10 10 ()12C112)410 x1016896x10 2 在(12x)10的展开式中系数最大的项是多少? 假设Tr 1项最大, UTr 1 C；0 2rxr Ar 1Ar Ar 1Ar 2 r rr 1

13、 r C102C10 2 C；2rC；012r 1 1解得 2(11 r 1 r) r )，化简得到6.3 k 7.3，又 Or 10， 2(10 r) r 7，展开式中系数最大的项为 8 C10 27x7 15360 x7. 例：求当 解法: (x2 3x 2)5 (x2 2) 3x5，TnC；( x2 2)5 r(3x)r，当且仅当r 1时，Tr 1的展开式中才有x 的一次项，此时Tr 1 T2 C5(x2 2)43x，所以 144 X得一次项为C5C4 2 3x 它的系数为C；C：243240 。 解法: 2555 (x 3x 2) (x 1) (x 2) (Cx5 C；x4 50514

14、 C5XC5XC5X 2 C；25) 故展开式中含x的项为CsxC525 C；x24240 x， 故展开式中x的系数为 240. 练：求式子(x 12)3的常数项? 题型七：含有三项变两项 ； 25 解：(X r 1项为常数项, 则Tr 1 rr C6( 1) x (1)6c；ix6 2r，得 (x 3x 2)的展开式中x的一次项的系数? 33 6 2r 0,r 3,T31 ( 1) CQ20. 题型八：两个二项式相乘; 例: 求(1 2x) (1 x)展开式中x的系数. 解: 片(1 2x)3的展开式的通项是 Cm (2x)m cm 2m xm, (1 x)4的展开式的通项是 C4 ( x)

15、n C4 1n xn,其中 m 0,123, n 0,1,2,3,4, 令m n 2,则 m 0且 n2,m1且n 1,m2且n0,因此(12x)3(1 x)4 的展开式中 X2的系数等于C0 20 c2( 1)2c3 21c4 ( 1)1c| 22 C0 (1)06. 练： 求(1vx)6(1丄)10展开式中的常数项. Tx .mn4m 3n 解: (1 3 x)6(14-)10展开式的通项为 c6mx3 G0 x 4cj G0 x 12 Vx 其中m 0,1,2, ,6,n 0,1,2,10,当且仅当 4m 3n,即 m 0,或 m 3,或 m 6, n 0,n 4,n 8, 时得展开式中

16、的常数项为C； C10 C3 C10 C； Cw 4246. 练： 已知(1 x x2)(x丄)“的展开式中没有常数项，n N且2 n 8,则n. x 解: (x3 )n展开式的通项为cn xnr x3r cn xn4r,通项分别与前面的三项相乘可得 x cn xn4r,cn xn4r1,cn xn4r2,；展开式中不含常数项，2 n 8 n 4r且n 4r 1且n 4r 2,即 n 4,8且n 3,7且n 2,6, n 5. 题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和 例: 在(x Q 2006的二项展开式中，含x的奇次幕的项之和为 S,当x 占时,S. 解: 20061232006 设(x2)

17、=a axa?xa3Xa2006 x (x2)一玄 qxa?xasX| a26X 得 2(qx 盼3a5x 11 a200sx2005)(x、2) 2006 (x、：2)2006 (x 2 ) 2006展开式的奇次幕项之和为S(x) 1 (x2 ) 2006 (x ； 2)2006 2 3 2006 当x扬寸,S(阳1 (血 72) 2006 (込 血20062 22 3008 2 2 题型十：赋值法; 例: S,若 1 设二项式（33.x ）n的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为 x p s 272，则n等于多少? 解: 若(33 x 1) x 2 aaxa2X anXn，有 P

18、 a a1 an , S Cn C： 2n， 4n，又 p s 272，即 4n 2n272(2n 17)(2n 16) 0解得2n 16或2n 17（舍去）, n 4. 练: n 的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为多少? 解: n 的展开式中各项系数之和为2 64，所以 则展开式的常数项为 练: 解: 练: 解: C；(3x) ( 3 540. 若(1 2x)2009a。 1 令x 2,可得a0 在令x 0可得a。 若(x 55 2)a5X a1 a2a3 a1x1a2x2 2 22 1,因而 4 a4x 32,令 x a4 a5 ai 3 a3X 31. 3 a3X a20

19、09 2 2009 a2 22 2 a2x III 0, 2009 a2009 x (x R),则 a1 2 a2 22 22009的值为 ai a2 22 a2009 22009 a。 a2009 2 2009 1 a1x a2a3 1. a,则 a1 a?a3 a4 a5 a4a5 1, 题型十一：整除性; 例：证明: 32n 2 8n 9( n N ）能被64整除 证：32n 2 8n 8n 9(8 n 1 1) 8n C01 8n 1 18n Cnn182 Cn 181 C：； 8n C018n1 18n Cnn182 8(n 1) 18n 9 C018n C118n c： 182 由

20、于各项均能被64整除 32n 2 8n 9（nN*）能被64整除 1、 1、 (x- 1)11展开式中x的偶次项系数之和是 f(1) fT1 设f(x)=(x-1) 11,偶次项系数之和是 11 (2)/21024 0 1 2 2 Cn 3Cn 3 Cn 3ncn 2、 4n 3、(35 20 的展开式中的有理项是展开式的第 项. 3、3,9,15,21 4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是 4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35 5、求(1+x+x 2)(1-x)10展开式中x4的系数. 5、(1 x x2)(1 x)10(1 x3)(1 x)9，要得到含x4的项，必须第一个因式中的 1与(1-x)9展开式中的项C9( x)4作 积，第一个因式中的一x3与(1-x)9展开式中的项C1( x)作积，故x4的系数是C9 C4135. 6、求(1+x)+(1+x) 2+(1+x)10展开式中 x3的系数- 2 6、(1 x) (1 x) 10 (1 x) (1x)1(1 X)10(X 1)11 (x 1) x 1(1 x) 原式中x3实为这分子中的x4,则所 求系数为cj 7、若 f(x) (1 x)m