(整理)第二章向量组和向量空间(20210430205008)

1、精品文档第二章 向量组和向量空间教学安排说明章节题目： 2.1 n 维向量及其线性运算； 2.2 向量组的线性相关性； 2.3 向 量组的秩学时分配： 共 6 学时。2.1 n 维向量及其线性运算 2 学时2.2 向量组的线性相关性 2 学时2.3 向量组的秩 2 学时 本章教学目的与要求： ：目的：使学生掌握向量的线性运算及线性相关性的判定，为下一章理解线性 方程组解的结构打基础。要求：1、理解 n 维向量的概念和运算。2、深刻理解向量的线性组合、向量组线性相关与线性无关的概念（本章的难 点）。3、深刻理解向量组的极大无关组和向量组秩的概念。会求向量组的秩和极大 无关组（本章的难点） 。4、

2、掌握向量组线性相关性的判定精品文档课堂教学方案课程名称： 2.1 n维向量及其线性运算授课时数：2学时授课类型：理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：掌握向量的定义及其线性运算满足的规律，掌握向量内积、夹 角、正交等概念教学重点、难点：重点是向量内积、夹角、正交等概念教学内容 2.1 n维向量及其线性运算、n维向量的概念定义1所谓一个n维向量就是由n个数组成的有序数组(1)(ai, a2, ,an )ai称为向量（1）的第i分量.通常用小写希腊字母：,，来代表向量.向量通常是写成一行：=（ai，a2,，an） 有时也可以写成一列:g丿为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只

3、是写法上的不同分量全为零的向量（0,0，,0）称为零向量，记为0全体n维实向量的集合记作Rn例1 线性方程组ai1X1 ai2X2ainn = b1，821X1 822X2HIa2nXn = b2.川Illi川III川III川IIam1X1 - am2X2- amnXn =bm中的每一个方程都可以用一个“+1维向量(ai1,ai2,|j,an,bi )表示例2、例3见教材 二、向量的线性运算 如果n维向量、=(a1,a2,，a.)、匕 rQb,bn)的对应分量都相等，即ai - bi(i 1,2, n) 就称这两个向量是相等的，记作 - - 1. 向量的加法定义 2 已知向量:-=(a1,a2

4、,an) , ： = b，b2,，bn)，向量咐二佝 bna2 b2, ,an bn)称为向量:=(a1,a2,an)=(b1,b2, , bn)的和，记为=談亠2. 数乘向量定义3设k为数，向量(ka“ka2,kan)称为向量：一忌,q)与数k的数 量乘积，记为k：向量(-a1，-a?,，-a.)称为向量-二?,，a.)的负向量，记为-.3. 向量的减法已知向量=(a1,a2,，an) , ： =(b1,b2,bn)，定义向量-=鬼b2, | H , an )称为向量-(ai,a2, ,an) ,7 =(d,b2, , bn)的减法，记为二二4.向量的转置称(a1,a2|, an)为向量o

5、= ?的转置，记作a或ctTr卡(5)显然向量的运算满足以下运算规律交换律结合律:丄-)=(、；、卜).a + 0 = a .二(-)=0 .k (、)二 k：k：,(k 丨)：=也-l,k(l：) =(kl)：,(8)1：= ： (9)一(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由一(9)或由定义不难推出：0： =0,(10)(T)：-：,(11)k0=0.(12)如果k = 0 ,鳥屮0，那么k： =0.(13)补充例题例1 计算11(i) 丄(2, 0, -1) + (-1, -1, 2) + 丄(0, 1, -1);321(ii) 5 (0, 1, -1) -3 (1,丄,2) + (1

6、, -3, 1).3例2.证明：如果a (2, 1, 3) + b (0,1,2) + c (1, -1, 4) = (0, 0, 0),那么 a = b = c = 0.三、向量的内积定义4 在Rn中，设向量=佝月2|,| an ) b(b 211 bn ,称)实数a1bi - a2b2 lil anbn 为向量:-的内积，记作 L：j 向量的内积具有以下性质：1) =;2) ，-J - k L：/ 1；3) -, = L,丨，1；4) 匕_0,当且仅有二=0寸匕，=0定义5非负实数I称为向量的长度，记作卜|显然向量的长度满足非负性、齐次性和三角形法则。向量的长度一般是正数， 只有零向量的长

7、度才是零。长度为1的向量叫做单位向量如果，口 H 0 ,向量冷口就是一个单位向量 用向llall量的长度去除向量，得到一个与成比例的单位向量，通常称为把:单位化.两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量与成比例就是说有一数k命题1设向量aRn，则有血,0勻叫口即,且等号成立当且仅当两向量对应分量成比例定义6非零向量:-/的夹角：:-规定为=丘P = arccs创眉，0，門S定义7如果向量。,B的内积为零，即（a,B） = o，那么G严称为正交或互相两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为.2只有零向量才与自己正交.课后作业P56 1； 2； 3课堂教学方案课程名称： 2.2向量组的线性相关性

8、授课时数：2学时授课类型：理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：掌握向量组的线性相关、无关的定义，掌握有关定理及推论教学重点、难点：重点是判别向量组的线性相关性；难点是定理的证明教学内容 2.2向量组的线性相关性一、 向量组的线性组合定义8 向量称为向量组冷21一t的一个线性组合，如果有数:=kvik22 f kmm其中ki,k2,|,km叫做这个线性组合的系数.当向量:是向量组i,2l(,m的一个线性组合时，也说：可以经向量组1,2,川，m线性表出.例 4 设 q 二 1,0,0，二 0,1,0七二 0,0,1 ,亠 3,-2,1 ,则:二 3e/2qe3再如，任一个n维向量Naa?,

9、an)都是下面向量组的一个线性组合乜=(1,0，0),；2 = (, ,0),.；n =(0,0,1)向量1, ；2,，；n称为n维单位向量.零向量是任意向量组的线性组合.例5设：是向量组：m之中的一个向量，证明：是向量组 的一个线性组合例6证明：是向量组仆2,11 (,t的一个线性组合，则：也是向量组1,2,川，t,t 1,(l(m的一个线性组合。例7判断=4,3,-1,11是否是=1,2,-1,5，心二2,-1,1,1的线性组合？例8判断1；=4,3,0,11是否是 打二1,2,-1,5,：2二2,-1,1,1的线性组合？命题2如果可由向量组r,2l(,m线性表出，而l2l(,m中每一个向

10、 量可以经向量组1, 2,川，s线性表出，那么可由1, 2l(, s线性表出、线性相关定义10设向量组a0(2，am (m2),如果其中存在一个向量是其余m-1个向量的线性组合，则称向量组1, 2,m线性相关定理1向量组：-1/-2 -m (m2)线性相关的充分必要条件是存在不全为零 的数 k1,k2,|l(,km，使k1 k2： 2 |l( km： m =0如果当且仅当k1,k2H,km=0时上式成立，则称向量组1,2,im线性无关。定义10设向量组码,。2，am ( m2)，如果存在不全为零的数k1,k2|, km， 使k1-1 k2： 2 山 km： m =0那么称向量组：二亠,：韦(m

11、2)线性相关，否则称线性无关。从定义可以看出，单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组：-12线性相关就表示1=2或者2二ki（这两个式子不一定能同时成立）.在P为实数域，并且是二 维时，就表示向量:-1与2共线三个向量1,2,3线性相关的几何意义就是它们 共面.并且如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关 特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定 不能包含两个成比例的向量.不难看出，由门维单位向量；i,；2厂，；n组成的向量组是线性无关的.例9判断= 2,-1,3 ,2二4厂2,5、:

12、沁二2,1,4是否线性相关?例10冷二1,0,0八2丄0,1,0,3丄0,0,1是否线性相关?命题3若向量冷，2,川宀的部分组亠宀,川，sS：m）线性相关 =UdJlLm线性相关。反之， UJlljm线性无关=线性无关。证：因为 （山亠线性相关，则存在不全为零的k1,k2l（,ks，使kr 1k22 山 ks： s =0=k1： 1 M ks： s 0： s 1(1(0： m 二 0则九2,川，冷线性相关。若:亠川,命题4记/ 、*baj =*rarj北J,(j =1,，m)1,2,Mm线性无关=5匕川，帀线性无关。反之，若 5匕山，m线性相关=1,2,川，m线性相关。即如果向量组线性无关，那

13、么在每一个向量上添 个分量所得到的n 1维的向量组也线性无关证：1 记 A,： 2 川：；m B,= ,川厂m ,显然 r( A)m r( B),因为九2,川Cm线性无关，知r(A)=m，因而r(B)_m.2因为B只有m列，所以r(B)乞m.由1和2知r(B)=m，知r2，m，：m 线性无关。定理2设向量组 q2lm线性无关，宀，川Cm,：线性相关=一：可由 1,2l(m表示，且表示法唯一。证：记 A = (G1,a2,ilMm), B =(%,口2,1 山,B)，显然 r(A)兰 r(B).1因为九：2山，：十线性无关，知r(A) = m2因为：1宀1(宀线性相关，知r(B:：m 1因此r(

14、B) =m，知,Ax十仆律川宀以=b有解且唯一。二可由 nl(m 表示，且表示法唯一 0 补充知识：定理：设B =b*，向量ai =a2jrr卡(j =1,2|,n )，贝U向量P可由向量组g 1逗mj丿1,2川(，n线性表示的充要条件是：以1,2,川n为列向量的矩阵与以1,2,川，n，-为列向量的矩阵有相同的秩定理：向量组：二诂山，n，其中W = ? j =1,21, n， I lamj J则1,2,|l(,n线性相关的充要条件是：以1,2,|l(,n为列向量的矩阵的秩小于向 量的个数n。定理：m个n维向量组成的向量组 九21(匸m，当n：m时-九线 性相关。证记 Anxm = (% Jll

15、/m)因为 n cmn r (An；m)兰 nvm 则线性相关。具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题 向量组qdlhn线性相关二齐次线性方程组XErXz/JIXn有非零 解。或者说齐次线性方程组 “1飞:川只有零解二2川八n线性 无关。推论 设n个向量冷二划忌,|l,anj ( j =1,2,Hl,n ),向量组r,2l(n线性相关的充要条件是:*11a21ai2 IH*22 HIain*2n二0*n1為2川ann注：这里把九彷川宀应理解为列向量。补充例题 例 1 向量组 a 二 1, -2,0,3 , a 二 2,5,-1,0 , a 二 3,4,1,2 是

16、否线性相关.例2判断向量-=(1,-2,3),： 2 =(2,1,0),：乜=(1,一7,9)是否线性相关。例3证明：若向量组：二:工:乜线性无关，则向量组2：心22 &3,43 3：也 线性无关.课后作业：P61 1 , 2, 3, 4课堂教学方案课程名称： 2.3向量组的秩授课时数：2学时授课类型：理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：理解向量组的秩的概念，掌握有关定理及推论教学重点、难点：极大无关组的判定教学内容定义11：设两个向量组（ 1）I, -2/ , s（ 2）如果向量组（1 ）中的每个r都可以由向量组（2 ）线性表示，那么称向量组 1,2,川Ct可由匚2S线性表示。如果向

17、量组（2）中的每个向量L也可以 由向量组（1）线性表示，那么向量组（1）与（2）称为等价。例如：1 =（1,2,3），2 =（1,0,2）与向量组 r =（3,4,8）， 2 =（2,2,5）， 3 = （0,2,1）=2：等价。因为向量组的等价关系具有如下性质：1）反身性：每一个向量组都与它自身等价；2）对称性：如果向量组（1）与向量组（2）等价，那么向量组（2）也与向 量组（1）等价；3）传递性：如果向量组（1）与向量组（2）等价，而向量组（2）又与向量 组1, 2ll m等价，那么向量组（1）与向量1, 2,川m也等价。定义12 n维向量组12,/ s的一个部分组称为一个极大线性无关组，

18、如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身.极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.例11 n个n维单位向量就是Rn的一个极大无关组.例 12 R3的向量组宀=(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(1,1,0)，在这里i，2线性无关，而3=1 *2，所以1=2是一个极大线性无关组另一方面，1,3 ,2,3 也都是向量组 ：1/2/-3 的极大线性无关组上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组一般不是唯一的定理3：设1, 2,11

19、(,与-1, 21, ：s是两个向量组如果向量组-1, 21 , ：s可以经1,2,|l(,m线性表出，且S m，那么向量组：1, ：2,|l(,：s必线性相关推论1如果向量组 j, ：2,山，：s可以经向量组1,2,IH,m线性表出，且刁，：2,川,:s线性无关，那么s辽m.推论2任意n 1个n维向量必线性相关推论3两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量 .因此，极大线性无关组所 含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质 .因 此有定义13向量组1,2,，亠的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量 组的秩一向

20、量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同每一向量组都与它的极大线性无关组等价由等价的传递性可知，任意两个等 价向量组的极大线性无关组也等价所以，等价的向量组必有相同的秩含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的部分向 量都能扩充成一极大线性无关组全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关 组.规定这样的向量组的秩为零例13,矩阵广1130 214A =0 005卫 000的行向量组是：“ =(1,1,3,1),： 2 =(0,2,-1,4),：七=(0,0,0,5),： 4 =(0,0,0,0)它的秩是3.它的列向量组是X =(1,0,0,0)2 =(1,2,0,0

21、)3 = (3,-1,0,0) 4 =(1,4 ,5,0)它的秩也是3.定义14矩阵A的列向量组成的向量组的秩称为矩阵 A的列秩；矩阵A的行 向量组成的向量组的秩称为矩阵 A的行秩。定理：A的列秩与行秩相等。(因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的 秩.)补充例题例1( 1)设1,2,3线性无关，证明1,1 *2,1二2 *3也线性无关；对n个线性无关向量组：-1/-2/ / n，以上命题是否成立？(2)当:1,2,3线性无关，证明U二込，空二-2叱33二1叱3也线性无 关，当1,2：线性无关时，1 *2,2 *3，,n*n,n *1是否也线性无 关？解：令X1 ：1 - X2 ” X3飞=0,代入整理得：(X1 X3)： 1 (X1 X2)