(整理)曲线积分与曲面积分补充题20233.

1、精品文档曲线积分与曲面积分补充题1. 设有表示曲面：x2 y2 z2 = 4a2 (z _ 0), Z2表示曲面x2y2 = 2ax(0 込 z 込 2a).(1) 求匕1行2及z二0所围立体的体积；(2 )求11被匕2所截部分的表面积；(3) 求12被匕1所截部分的侧面积；2 2 2(4) 若S表示11被三2所截的部分曲面,求I ：丨丨xy z dS ； S(5) 若S表示12被二所截的部分曲面，求I二 X2 y2 -2ax 3dS ；- S(6) 若匕表示匕1被二2所截曲面的上侧部分，求I二xdydz ydzdx zdxdy；(7) 若丨表示曲面 二二2的交线在第一卦限部分曲线，从z轴正向

2、往下看是逆时针； = 设力F =xi yj 2zk ,求该力沿曲线-从A(2a,0,0)到B(0,0,2a)所做的功. (8)若其他条件同(6),力为F = xi yj zk,此时功为多少？若B点为丨上任点，功又为多少？2. (1)设f(x,y)为连续函数，且对任意平面闭曲线 C都有f(x,y)ds = 0.C试证:f (x, y) = 0 (2) 设f (x, y, z)为连续函数，且对任意空间闭曲面 二都有H, f (x, y, z)d 0.试证:f (x, y, z)三 0 .(3) 设P(x,y),Q(x, y)有连续偏导数，且对任意封闭曲线 C ,有.Pdx，Qdy=0.C试证二Sp

3、dyexRdxdy = 0 .试证：兰卫 M = o. 设P(x, y,z),Q(x, y, z), R(x, y, z)有连续偏导数,且对任意封闭曲面三都有-；:x ；:y ；:z3.设丨为从点A(xi，yi，zj到点B(X2,y2,Z2)的有向光滑曲线弧.函数f (x), g(y), h(z)连续.证明：(x)dx f (x)dx；h(z)d z.精品文档4.设有向光滑曲线弧:在xoy面上的投影曲线为 L,其正向与:的正向相应，且在光滑曲面 z = (x, y)上，函数 P(x, y,z), Q(x, y, z), R(x, y, z)连续.证明:(1) P(x, y,z)dx Q(x,y

4、,z)dy 二 L px,y, (x, y)dx Qx, y, (x,y)dyR(x,y,z)dzLRx,y, ：(x,y)( ：dx：dy)5.设f (x)在(-：)内具有连续导数，求:1 y2f (xy) x 2 dy2f(xy)-1dy， yy答案:-4其中L是从点A(3,2/3)到点B(1,2)的直线段.6. 设函数f(x), g(x)具有二阶连续导数.曲线积分Cy2f(x) 2yex 2yg(x)dx 2yg(x) f(x)dy =0其中C为平面上任一简单封闭曲线.(1)求f(x),g(x)使f (0) =g(0) =0. (2)计算沿任一条曲线从(0,0)到(1,1)的积分.答案:

5、f (x) = (ex _e亠)1 xex, g(x) = -1 (ex _e亠) 1 xex; I = (7e _ e斗)424247. 设 V 有连续导数，对平面上任意一条分段光滑曲线L ,积分I = 2x (yp (y)dx x2 (y) 2xy2 - 2x(y)dy 与路径无关. 当：(0) = -2, (0) =1 时，求 (x), (x)(2)设L是从(0,0)到(二，二/2)的分段光滑曲线,求I .答案：(X)= sin x x2 -2, (x)二 cosx 2x； I =二 2(1 亠 2 / 4)8.设f (x)连续可导，f (1) =1 , G为不含原点的单连通区域.任取M

6、 , N G ,在GN1内曲线积分2(ydx-xdy)与路径无关1 - - 2(1) 求 f (x) ; (2) 求(ydx - xdy),其中为 x3 y3 = a3 取正向12x + f (y) 答案：f(x)二 x2； - 2二.9. 设f (u)为连续函数，C为xoy平面上分段光滑闭曲线，证明：c f (x2 y2)(xdx ydy)二 0 .10. 设曲线L ：x2 y2 x y =0的方向为逆时针，证明：2 2- ysin x dx + xcosy dy 11.若对平面上任何简单闭曲线 C恒有：c2xyf (x2)dx f (x2)x4dy = 0 ,其中f (x)在(-：)上有连

7、续的一阶导数，且f (0) = 2,试求:(1)f(x)； (2)(1,2)2 2 4(0,0)2xyf(x2)dx f(x2) - x4dy .,且e 举 y2)答案:f (x) =4ex_2(x1);8e_10.12.设u(x, y)在圆盘D ：x2y2 1内有二阶连续偏导数u则 巴ds = ：(1-ej . ( n是C的外单位法向量). C ：n13.求|& 型 -（：-y）dy其中c是绕原点两周的正向闭曲线.答案：一4二.Cx + y14. 计算 I = C(y2 _z2)dx (2z2 _x2)dy (3x2 _y2)dz.其中 C是平面x+y+z=2与柱面x+|y =1的交线，从z

8、轴正向看C是逆时针.答案：_24.15. 已知平面区域 D = Xx, y) 0岂x玄恵,0岂y : ?, L为D的边界，试证:sin ysin xsin ysin x(1).: xe dy-ye dx xe dy - ye dx;sin ysin x2Lxedy-ye dx_2二.16. 确定常数,使在右半平面x 0上的向量A(x, y) =2xy(x4y2) i x2(x4y2) j为某二元函数 u(x, y)的梯度，并求 u(x, y).答案：-1； u(x, y) - - arcta n-C.x17. 计算I羊;理菖卜，其中匕:x2y2 z1取外侧.-x cos x cos y zco

9、s z答案:4二 tan 1.1 (x1 fx18. 设f (u)有连续导数 ,计算 I = J- f dydz十一 f dzdx+zdxdy.勺(y丿x 切)其中匕是y=x2，z26,y=8-x2-z2所围立体的外侧.答案：2二.19. 计算曲面积分I = =xz2dydz-sinxdxdy.其中匕是曲线 yz_(X = 0(1_z_2)绕z轴旋转一周而成的曲面，其法向量与z轴的正向夹角为锐角. 答案：I = -128 二.1520.求 I 4xzdydz-2zdzdx (1-z2)dxdy 其中匕为z =ay (0岂y岂2, a0,a =1)绕z轴旋转所成的曲面下侧-a41n答案.牛右-応

10、十时-你-沙2 221.设S为椭球面x y z2 = 1的上半部分，点P x, y,z卢S ,二为S在点P的切2 2平面，r x, y, z为点O 0,0,0到平面二的距离.求Iz一 dS . 答案：主.、SP(x,yz)222. 设C是圆周X-12 y -1 2 -1的正向边界曲线.f(x)为大于零的连续函数.证明：xf(y)dy y dx _2二.cf(x)23. 设函数u(x,y),v(x, y)具有一阶连续偏导数，且满足 =-,闭曲线C包围excy cyex原点，取正向. 证明：J2 - xvyu dx xu yv dy L 2 二 u 0,0c x + y,222224.设二是球面 x y z -2ax -2ay -2az a =0