第2章质点运动定律

1、1 第章第章 质点动力学质点动力学 2 2-1 力对质点的瞬时效应力对质点的瞬时效应牛顿定律牛顿定律 1.牛顿三大定律牛顿三大定律 （1）牛顿第一定律（惯性定律）牛顿第一定律（惯性定律） 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态,直到直到 外力迫使它改变运动状态为止。外力迫使它改变运动状态为止。 牛顿第一定律包含了两个重要的物理概念：牛顿第一定律包含了两个重要的物理概念： 惯性惯性任何物体都具有保持其运动状态不变的性质。任何物体都具有保持其运动状态不变的性质。 力力是使物体改变其运动状态是使物体改变其运动状态,或是使物体获得加或是使物体获得加 速度的一种

2、作用。速度的一种作用。 （2）牛顿第二定律牛顿第二定律 一个物体的动量对时间的变化率正比于这个物体所一个物体的动量对时间的变化率正比于这个物体所 受的合外力受的合外力,其方向与所受的合外力的方向相同。其数其方向与所受的合外力的方向相同。其数 学表达式为学表达式为 3 如果物体的质量不随时间而变如果物体的质量不随时间而变,则第二定律可以写成则第二定律可以写成 式式()是牛顿第二定律的普遍形式是牛顿第二定律的普遍形式,式式(2)则是定律在质量则是定律在质量 保持不变条件下的特殊形式。保持不变条件下的特殊形式。 在国际单位制在国际单位制(SI)中中,质量的单位是质量的单位是kg,加速度的单位是加速度

3、的单位是 m/s2,力的单位是力的单位是N。 牛顿第二定律是物体的加速度和它所受的合外力之间牛顿第二定律是物体的加速度和它所受的合外力之间 的瞬时关系的瞬时关系,也是一个矢量等式。也是一个矢量等式。 在直角坐标系中在直角坐标系中,第二定律写成如下分量式第二定律写成如下分量式: dt mvd dt dp F )( () ma dt dv mF() 4 在研究物体作圆周运动和平面曲线运动的问在研究物体作圆周运动和平面曲线运动的问 题时题时,常采用自然坐标系，此时第二定律沿轨道常采用自然坐标系，此时第二定律沿轨道 法向和切向的分量式可写成如下形式法向和切向的分量式可写成如下形式: 式中式中, Fn、

4、Ft分别代表物体所受分别代表物体所受 的沿的沿 轨道法向和切向方向的合外力。轨道法向和切向方向的合外力。 dt dv mmaF v mmaF tt nn 2 （）（） zz yy xx maF maF maF (3） 5 （3）牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）牛顿第三定律（作用力与反作用力定律） 两物体之间的作用力和反作用力，大小相等、方两物体之间的作用力和反作用力，大小相等、方 向相反向相反,且在同一直线上。且在同一直线上。 6 1.惯性参考系惯性参考系 从运动的描述来说从运动的描述来说,参考系的选择是任意的参考系的选择是任意的 ，这主要由研究问题的方便而定。但是，如，这主要由研究问题的

5、方便而定。但是，如 果问题涉及运动和力的关系，即要应用牛顿果问题涉及运动和力的关系，即要应用牛顿 定律时定律时,参考系是否也能任意选择呢参考系是否也能任意选择呢?我们用我们用 下面的例子来说明这个问题。下面的例子来说明这个问题。 惯性系惯性系 如图所示，车厢如图所示，车厢A在地面上在地面上 以以 加速度加速度a向右运动。车厢内的向右运动。车厢内的 光滑桌光滑桌 面上有一与弹簧相连的质量面上有一与弹簧相连的质量m 的小球的小球, 弹簧的另一端系在该车厢壁弹簧的另一端系在该车厢壁 上。现在上。现在 来分析这个来分析这个 弹簧、小球弹簧、小球 力学力学 系统的系统的 运动情况。运动情况。 A m k

6、 乙 甲 a 7 这样我们就知道，牛顿定律并不是对所有参这样我们就知道，牛顿定律并不是对所有参 考系都成立的。我们把考系都成立的。我们把牛顿定律牛顿定律 成立的参考系称作惯性参成立的参考系称作惯性参 考系考系(简称惯性系简称惯性系),而牛顿而牛顿 定律不成立的参考系称作定律不成立的参考系称作 非惯性系非惯性系。一个参考系是。一个参考系是 不是惯性系不是惯性系,只能由实验确定。只能由实验确定。 A m k 乙 甲 a 从地面上的观察者甲来说从地面上的观察者甲来说,他看到小球他看到小球m受到受到 已伸长的弹簧的拉力已伸长的弹簧的拉力F作用作用,且正以加速度且正以加速度a向向 右运动右运动,F=ma

7、,这显然是符合牛顿定律的。然而这显然是符合牛顿定律的。然而 对在车厢对在车厢A内的观察者乙来说，只看到弹簧施内的观察者乙来说，只看到弹簧施 力力F于小球于小球(因为弹簧确实已伸长因为弹簧确实已伸长),却不见小球却不见小球 有加速度。显然这是违背牛顿定律的。这个例有加速度。显然这是违背牛顿定律的。这个例 子说明子说明,以加速度以加速度a 运动的车厢运动的车厢A为参考系为参考系,牛顿牛顿 定律是不成立的。定律是不成立的。 8 如果我们选择的参考如果我们选择的参考 系系,以太阳中心为原点以太阳中心为原点,以指向某些恒星的直线以指向某些恒星的直线 为坐标轴为坐标轴,则所观察到的天文现象都与则所观察到的

8、天文现象都与 牛顿定牛顿定 律和万有引力定律推出的结论相符合律和万有引力定律推出的结论相符合,因此因此,这这 样的参考系是惯性系。在研究地球表面附近样的参考系是惯性系。在研究地球表面附近( 高度不太高、距离不太远高度不太高、距离不太远)物体的运动时物体的运动时,地面地面( 或固定在地面上的物体或固定在地面上的物体)就是近似程度相当好就是近似程度相当好 的惯性系。的惯性系。在大学物理的学习中，我们基本上在大学物理的学习中，我们基本上 就是采用这种地面参考系。就是采用这种地面参考系。 惯性系有一个重要性质：惯性系有一个重要性质：一切相对于惯性系一切相对于惯性系 作匀速直线运动的参考系也是惯性系。作

9、匀速直线运动的参考系也是惯性系。 天体运动的研究指天体运动的研究指 出出: 相互作用力相互作用力 9 力学几种常见的力力学几种常见的力 （1）弹簧的弹性力弹簧的弹性力 在弹性限度内在弹性限度内,弹性力弹性力 f = -kx 式中式中,k是弹簧的倔强系数是弹簧的倔强系数, x表示弹簧的伸长量表示弹簧的伸长量 。上式又叫胡克定律。上式又叫胡克定律。 滑动摩擦力滑动摩擦力f 的大小与正压力的大小与正压力N成正比成正比,即即 f = kN 式中式中, k为滑动摩擦系数为滑动摩擦系数,其数值由两接触物体其数值由两接触物体 的材料性质和接触面的粗糙程度决定。的材料性质和接触面的粗糙程度决定。 静摩擦力静摩

10、擦力 两接触物体间虽未发生相对运动两接触物体间虽未发生相对运动,但存在但存在 着相对运动趋势时着相对运动趋势时,就产生静摩擦力。静摩擦就产生静摩擦力。静摩擦 力力f是个变力：是个变力： 0 f s N (最大静摩擦力）最大静摩擦力） 式中式中, s为静摩擦系数。对于同样的两个物体为静摩擦系数。对于同样的两个物体 , kmg, m是否会上升呢是否会上升呢? g R 在图在图(B)中：中：N=mR 2, Nmg, 解得解得 例例 讨讨 论：论： 在两个图中物体在两个图中物体m都受三个力作用都受三个力作用:N, mg, Fs= N。 在图在图(A)中：中：N=ma, N=mg, 解得解得 a=g/

11、。 17 例题例题2-2 一条轻绳跨过摩擦可被忽略的轻滑轮一条轻绳跨过摩擦可被忽略的轻滑轮 ，绳的一端挂有质量为，绳的一端挂有质量为m1的物体，绳的另一端的物体，绳的另一端 穿过一质量为穿过一质量为m2的环，求当环相对于绳以恒定的环，求当环相对于绳以恒定 的加速度的加速度a0沿绳向下滑动时，物体和环相对于地沿绳向下滑动时，物体和环相对于地 面的加速度各是多少？环与绳间的摩擦力多大？面的加速度各是多少？环与绳间的摩擦力多大？ 解解 在图在图2-2中，已经画出了各物体的受力情况，中，已经画出了各物体的受力情况， 并规定并规定(ox轴轴)向上为各量的正方向。向上为各量的正方向。 m1: T- m1g

12、=-m1a1 (1) m2： ： T-m2g =m2 a2 (2) 21 0221 1 )( mm amgmm a 解得：解得： a环对地=a环对绳+a绳对地 T m1 m1g a 1 f a 0 m2 m2g a2 m1 m2 o x 图2- 2 绳 m Tf ： 即即102 aaa (3) 18 21 0121 2 )( mm amgmm a 21 210 )2( mm mmag Tf 19 4.应用牛顿定律解题应用牛顿定律解题 例例1、水平面上有一质量为水平面上有一质量为51kg的小车的小车D，其上有一其上有一 定滑轮定滑轮C，通过绳在滑轮两侧分别连有质量通过绳在滑轮两侧分别连有质量m1

13、=5kg 和和m2=4kg的物体的物体A 和和B。其中物体其中物体A在小车的水平面在小车的水平面 上，物体上，物体B被绳悬挂，系统处于静止瞬间，如图所示被绳悬挂，系统处于静止瞬间，如图所示 。各接触面和滑轮轴均光滑，求以多大。各接触面和滑轮轴均光滑，求以多大水平水平力作用力作用 在小车上，才能使物体在小车上，才能使物体A与小车与小车D之间无相对滑动。之间无相对滑动。 （滑轮和绳的质量均不计，绳与滑轮间无滑动）（滑轮和绳的质量均不计，绳与滑轮间无滑动） D C B A 20 解：解：建立坐标系并作受力分析图：建立坐标系并作受力分析图： X Y O 列方程列方程 ： 解出：解出： x x x Ma

14、TTF gmT amT amT sin cos sin 2 2 1 A : B : D: A m1g N1 T D Mg N2 F T T B m2g T 2 2 2 1 21 mm gmm T 2 22 12 x m g a mm 122 22 12 () 784 mmM m g FN mm 21 例例2 2、质量为质量为m m的小球，在水中受的浮力为常力的小球，在水中受的浮力为常力 F F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻 力为力为f=kvf=kv( (k k为常数），证明小球在水中竖直沉为常数），证明小球在水中竖直沉 降的速度降的速度v v与时间与

15、时间t t的关系为的关系为 f F mg a x )1 ( m kt e k Fmg v 式中式中t t为从沉降开始计算的为从沉降开始计算的 时间时间 证明：证明：取坐标，作受力图取坐标，作受力图 。 dt dv mmaFkvmg 根据牛顿第二定律，根据牛顿第二定律， 有有 22 初始条件：初始条件：t=0 时时 v=0 keFmgv dt mFkvmg dv m kt tv /)1)( /)( 00 得证。得证。 例例3、在倾角为在倾角为 的圆锥体的侧面的圆锥体的侧面 放一质量为放一质量为m的小物体，圆锥体的小物体，圆锥体以以 角速度角速度 绕竖直轴匀速转动。轴与绕竖直轴匀速转动。轴与 物体

16、间的距离为物体间的距离为R，为了使物体能为了使物体能 在锥体该处保持静止不动，物体在锥体该处保持静止不动，物体 与锥面间的静摩擦系数至少为多与锥面间的静摩擦系数至少为多 少？并简单讨论所得到的结果。少？并简单讨论所得到的结果。 R 23 0cossin : sincos : 2 mgNNy RmNNx 对给定的对给定的、R和和，不能小于不能小于 此值否则最大静摩擦力不足以维此值否则最大静摩擦力不足以维 持持m在斜面上不动。在斜面上不动。 g R 2 cossin sincos sincossincos 22 RRgg sincos cossin 2 2 Rg Rg Nf s R mg N fs

17、 x y 24 讨论：由讨论：由0,可得：可得：gcos- 2 Rsin0 R g 2 tan 所以：所以： 时，物体不可能在时，物体不可能在 锥面上静止不动锥面上静止不动 当当 R g 2 tan sincos cossin 2 2 Rg Rg 25 在实际问题中常常需要在非惯性系中观察和分析物在实际问题中常常需要在非惯性系中观察和分析物 体的运动。然而在非惯性系中牛顿定律是不成立。体的运动。然而在非惯性系中牛顿定律是不成立。 非惯性系非惯性系 惯性力惯性力 A m k 乙 甲 a (只要求只要求 平动系平动系。 转动系转动系 不要求不要求) 1. 平动系平动系 26 于是引进惯性力后，在非

18、惯性系中就有了下述牛于是引进惯性力后，在非惯性系中就有了下述牛 顿第二定律的形式：顿第二定律的形式： F+Fi=ma () 式中式中a是物体是物体m相对于非惯性系的加速度。相对于非惯性系的加速度。 惯性力惯性力-ma与物体之间相互作用的那种真实力不同与物体之间相互作用的那种真实力不同 ，惯性力是虚拟、假想的力，惯性力是虚拟、假想的力,不遵从牛顿第三定律。不遵从牛顿第三定律。 如果在相对于某惯性系以加速度如果在相对于某惯性系以加速度a作直线运动的非作直线运动的非 惯性系中惯性系中,假定每个质量为假定每个质量为m的物体除了受到真实的外的物体除了受到真实的外 力力F作用外，还受到一个附加的、假想的力作用外，还受到一个附加的、假想的力Fi=-ma的的 作用作用,那么我们就可以在非惯性系中形式地利用牛顿那么我们就可以在非惯性系中形式地利用牛顿 定律来解决力学问题了。定律来解决力学问题了。 新书新书P49 2. 转动系转动系 P4954 不要求不要求 Fma 这一这一假