新高考数学(理)之立体几何与空间向量 专题02 空间几何体的表面积和体积(解析版)

1、新高考数学（理）立体几何与空间向量02空间几何体的表面积和体积【考点讲解】一、具体目标：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.二、知识概述：1.体积公式：柱体：v=sh，圆柱体：v=pr2h。斜棱柱体积：v=sl（其中，s是直截面面积，l是侧棱长）；锥体：v=111sh，圆锥体：v=pr2h,台体：v=h(s+ss+s)333圆台体：v=14ph(r2+rr+r2),球体：v=pr3。33正方体的体积v=a3；正方体的体积v=abc.正棱锥侧面积：s=12.侧面积：直棱柱侧面积：s=ch，斜棱柱侧面积：s=cl；1ch，正棱台侧面积：s=(c+c)h；22圆柱侧面积

2、：s=ch=2prh，圆锥侧面积：s=12cl=prl，圆台侧面积：s=3.几个基本公式：12(c+c)l=p(r+r)l，球的表面积：s=4pr2。弧长公式：l=ar（a是圆心角的弧度数，a0）；扇形面积公式：s=12lr；圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：q=rl2p；圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：q=1r-rl2p；球面上两点间的距离公式：l=qr。4.几何体的表面积：圆柱的表面积s=2pr(r+l)；圆锥的表面积s=pr(r+l)；圆台的表面积s=p(r2+r2+rl+rl)球体的表面积s=4pr2.柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧

3、面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.【温馨提示】1.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理2.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和3.（1）已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解4.求体积的两种方法：割补法：求一

4、些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.5.求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求

5、球的半径；如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心【常考题型】以结合三视图、几何体的结构特征考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系【真题分析】21.【2016高考新课标】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）a.18+365b.54+185c.90d.81【解析】由三视图该几何体

6、是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积是：s=236+233+2335=54+185，故选b【答案】b2.【2018年高考全国i卷文数】在长方体abcd-abcd中，ab=bc=2，ac与平面bbcc所成1111111的角为30，则该长方体的体积为（）a8b62c82d83【解析】在长方体abcd-a1b1c1d1中，连接bc1，根据线面角的定义可知acb=30，因为ab=2，所以bc=23，从而求得cc=22，111所以该长方体的体积为v=2222=82，故选c.【答案】c3【2018年高考全国i卷文数】已知圆柱的上、下底面的中心分别为o，o，过直线oo的平面截该圆1212柱所得的

7、截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）a122b12c82d10【解析】根据题意，可得截面是边长为22的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，所以其表面积为s=2【答案】b2(2)+23222=12，故选b.4.【2019年高考全国卷理数】已知三棱锥pabc的四个顶点在球o的球面上，pa=pb=pcabc是边长为2的正三角形，e，f分别是pa，ab的中点，cef=90，则球o的体积为（）a86pb46pc26pd6p【解析】解法一：qpa=pb=pc,abc为边长为2的等边三角形，p-abc为正三棱锥，pbac，又e，f分别为pa，ab的中点，efpb，e

8、fac，又efce，ceiac=c,ef平面pac，pb平面pac，apb=90,pa=pb=pc=2，,v=pr3=6p，p-abc为正方体的一部分，2r=2+2+2=6，即r=故选d644662338解法二：设pa=pb=pc=2x，e,f分别为pa,ab的中点，efpb，且ef=12qpb=x，abcaec中，由余弦定理可得coseac=x2+4-(3-x2)1为边长为2的等边三角形，cf=3，又cef=90，ce=3-x2,ae=pa=x，222x，作pdac于d，qpa=pc，d为ac的中点，coseac=ad1x2+4-3+x21=，pa2x4x2x，2x2+1=2，x2=，x=1

9、222，pa=pb=pc=2，2r=2+2+2=6，r=6又ab=bc=ac=2，pa,pb,pc两两垂直，4466，v=pr3=p=6p，故选d.23384原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式v柱体sh，其中s是柱体的底面积，h是柱体的高若某柱体【答案】d5.【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅=的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）a158b162c182d324【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下23+36=162.2+6底为6，高为3，

10、另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为4+62【答案】b6.【2018年高考全国卷理数】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为（）a3323323bcd4342【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体abcd-a1b1c1d1中，平面ab1d1与线aa1,a1b1,a1d1所成的角是相等的，所以平面ab1d1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理，平面c1bd也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面ab1d1与c1bd中间，且过棱的中点的正

11、六边形，且边长5为，所以其面积为s=64=223223324，故选a.【答案】a7.【2018年高考全国卷】设a，b，c，d是同一个半径为4的球的球面上四点，abc为等边三角形且其面积为93，则三棱锥d-abc体积的最大值为（）a123b183c243d543【解析】本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当点d在平面abc上的射影为三角形abc的重心时，三棱锥d-abc体积最大很关键，由m为三角形abc的重心，计算得到bm=2be=23，再由勾股定理得到om，进而得到结果，如图所示，设点3m为三角形abc的重心，e为ac中点，当点d在平面abc上

12、的射影为m时，三棱锥d-abc的体积最大，此时，od=ob=r=4，qsabc=342ab2=93，ab=6,q点m为三角形abc的重心，bm=be=23，3(v)obm中，有om=ob2-bm2=2，dm=od+om=4+2=6，1d-abcmax=3936=183，故选b.【答案】b8.【2017年高考全国卷】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）6a10b12c14d16【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内

13、只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为2(24)2112，故选b242dab3113【答案】b9.【2017年高考全国卷理数】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）c4【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示：2由题意可得：ac1,ab，结合勾股定理，底面半径r12，22233由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是vr2h21，故选b.【答案】b2410.【2017年高考浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）2b22d3a133c123【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，

14、所以，几何体的体积为71p121pv=3(+21)=+1，故选a3222【答案】a11.【2019年高考全国卷】学生到工厂劳动实践，利用3d打印技术制作模型.如图，该模型为长方体abcd-abcd挖去四棱锥oefgh后所得的几何体，其中o为长方体的中心，e，f，g，h分别为1111所在棱的中点，ab=bc=6cm,aa1=4cm，3d打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.【解析】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解根.据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即

15、可由题意得，s四边形efgh1=46-423=12cm2，2四棱锥oefgh的高为3cm，vo-efgh1=123=12cm33又长方体abcd-a1b1c1d1的体积为v2=466=144cm3，所以该模型体积为v=v-v2o-efgh=144-12=132cm3，其质量为0.9132=118.8g【答案】118.812.【2019年高考北京卷】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为_【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱mpd1a1-nqc1b1之8后余下的几何体，则几何体的体积v=

16、43-(2+4)24=40.故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为，故圆柱的体积为1=.12【答案】4013.【2019年高考天津卷】已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5若圆柱的一个底面xxk.com的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5，借助勾股定理，可知四棱锥的高为5-1=2.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，112224【答案】4【e142019年高考江苏卷】如图，长方体abcd-abcd的体积是120，为cc的中点，则三棱锥e

17、bcd11111的体积是.所以ce=1cc，由长方体的性质知cc底面abcd，所以ce是三棱锥e-bcd的底面bcd上的2【解析】因为长方体abcd-a1b1c1d1的体积为120，所以abbccc1=120，因为e为cc1的中点，1193232212高，所以三棱锥e-bcd的体积v=111111abbcce=abbccc=120=10.1【答案】1015.【2019年高考全国卷】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、.正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的

18、对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多面体共有_个面，其棱长为_（本题第一空2分，第二空3分）【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18+8=26个面如图，设该半正多面体的棱长为x，则ab=be=x，延长cb与fe的延长线交于点g，延长bc交正方体的棱于h，由半正多面体对称性可知，bge为等腰x,gh=2x+x=(2+1)x=1，x=直角三角形，bg=ge=ch=222212+1=2-1，即该半正多面体的棱长为2-1【答案】26，2-116【2

19、018年高考全国ii卷】已知圆锥的顶点为s，母线sa，sb所成角的余弦值为78，sa与圆锥底面所成角为45，若sab的面积为515，则该圆锥的侧面积为_【解析】本题考查线面角、圆锥的侧面积、三角形面积等知识点，考查学生空间想象与运算能力.先根据三.角形面积公式求出母线长，再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果10因为母线sa，sb所成角的余弦值为7，所以母线sa，sb所成角的正弦值为，因为sab的面积为515，设母线长为l,所以1l2=515,l2=80，因为sa与圆锥底面所成角为45，所以底面半径为r=lcos1588152822=l,因此圆锥的侧面积为rl=l2=4

20、02.422【答案】40217.【2017年高考全国卷文数】已知三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上，sc是球o的直径若平面sca平面scb，sa=ac，sb=bc，三棱锥sabc的体积为9，则球o的表面积为_【解析】本题考查的是求外接球的表面积问题，所以需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的各顶点的距离相等，然后用同样的方法找到另一，个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点）这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，

21、顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球取sc的中点o，连接oa,ob，因为sa=ac,sb=bc，所以oasc,obsc，因为平面sac平面sbc，所以oa平面sbc，设oa=r，33233则va-sbc11111=soa=2rrr=r3，所以r3=9r=3，所以球的表面积为dsbc4r2=36.【答案】36【模拟考场】1.已知a,b是球o的球面上两点，aob=900,c为该球面上的动点，若三棱锥o-abc体积的最大值为36，则球o的表面积为()a36b.64c.144d.256

22、11【解析】如图所示，当点c位于垂直于面aob的直径端点时，三棱锥o-abc=r2r=r3=36，的体积最大，设球o的半径为r，此时vo-abc=vc-aob111326故r=6，则球o的表面积为s=4pr2=144p，故选ccoab【答案】c2.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）a.20pb.24pc.28pd.32p【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为s=2p24=16p，圆锥的侧面积为s=12p24=8p，圆柱122的底面面积为s=p22=4p，故该几何体的表面积为s=s+s+s=28p，故选c.3123【答案】c3.正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，且

23、三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）a4pb8pc12pd16p【解析】因底面边长为3,故底面中心到顶点的距离是1,即球的截面圆的半径为1,所以r=1+1=其表面积为s=4p2=8p,故应选b.【答案】b4.长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球o的球面上，则球o的表面积为.【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以2r=32+22+1=14,s=4r2=14.122,【答案】145.如图，圆形纸片的圆心为o，半径为5cm，该纸片上的等边三角形abc的中心为o.d，e，f为圆o上的点，dbcecafab分别是以bc，ca，ab为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以bc，ca，ab为折痕折起dbcecafab，使得d，e，f重合，得到三棱锥.当abc的边长变化时，所