关于实数完备性的基本定理

1、第七章 实数的完备性1 关于实数完备性的基本定理1. 验证数集有且只有两个聚点和.分析:根据聚点定义,分别找各项互异的收敛数列,使其极限分别为-1和1.再由聚点定义2,用反证法，对,关键在找存在,使u()内含有中有限多个点.解：记则, ,且.由定义知，为的两个聚点. 对，则取， 落在u()内部至多只有有限点, 则不是其聚点.2证明 任何有限数集都没有聚点.分析：由聚点定义2即可证明.证明：由定义2知，聚点的任何邻域内都含有数集的无穷多个点，而对于有限数集，不可能满足此定义，因此，任何有限数集都没有聚点。3设是一个严格开区间套，即满足且.证明：存在唯一的一点，使。分析：构造闭区间套，应用区间套定

2、理得证。证明：i) 设，则（）且 .由区间套定理知，存在唯一的，使得.ii) 若同时存在且 (n=1,2)，则，而，矛盾。故必有.由i)、ii)结论得证. 4.试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立。 分析：有理数集有上确界,而是无理数,也是其聚点,极限.还可用的精确到小数点后一位、二位的不足近似值数列与过剩近似值数列与来解决.解： 取的精确到小数点后一位、二位的不足近似值数列与过剩近似值数列与，即 则均为有理数列；而 i) 由确界原理知，有界数列必有确界，且在实数范围内，。故在有理数范围内有上界但无上确界，有下界但无下确界。ii) 由单调有界定

3、理知，单调增加有上界，单调减少有下界，故均存在。在实数范围内。但由极限的唯一性知，在有理数范围内均不存在。iii) 由聚点定理知，有界无穷数列必有聚点，在实数范围内均有唯一聚点。故在有理数范围内，有界无穷数列均无聚点。iv) 由于在实数范围内，故对于，当时，而在有理数范围内，依然满足柯西准则条件，但无极限。5设, 问（1）h能否覆盖？（2）能否从h中选出有限个开区间覆盖(i) (ii) ?分析: 根据聚点定义,若能覆盖，则关键在于找出针对每个点相对应的开区间；若不能，则关键在找出点，使得它不含于任何一个给定的开区间.解： （1）对于，由阿基米德性质知,只须取，使得,则,由的任意性知,能覆盖(0

4、,1). (2) i) 若在中存在的一个有限开覆盖，则在的有限个开区间中可找到最靠近0点的开区间。记为，则取，由于，故这一点不属于中任一开区间，与为的有限开覆盖矛盾。故不能对有限覆盖。 ii) 取（）,则覆盖了.故能对有限覆盖.6证明：闭区间的全体聚点的集合是本身。分析：根据聚点定义2 ，首先对，中有无穷多个点属于。再对，即或，关键在找到一个确定的，使中不含中无穷多个点。证明：i) 对于，当时，对于的任意邻域，限制:，则中有无穷个点. 当时，对于的任意邻域，限制: ，则中有无穷个点. 当时，对于的任意邻域，限制: ，则中有无穷个点.ii) 若是的聚点，且，当，令，则u是空集. 当，令，则u是空

5、集.综合上述两种情形,则结论成立.7.设为单调数列.证明:若存在聚点,则必是唯一的,且为的确界。分析：不妨设为递增数列（递减数列同理可证）.设聚点，设为任一实数且，关键在找,使中最多含有的有限多个项。用确界与数列极限的定义处理.证明: 设递增数列的聚点,设为任一实数且,不妨设,取,由聚点定义,中含有的无限多个项,设,由的递增性,当,故中最多含有的有限多个项：,所以不可能是的聚点,由的任意性,为的唯一聚点。 现在证明：=,事实上，（1） 为的上界，反之，若存在，则当nn时，有，取则在内最多含有的有限多个项，n=1,2,n-1,与聚点相矛盾。（2）因为对正整数，从而结合（1）便知. 对递减数列类似

6、可证.8试用有限覆盖定理证明聚点定理。分析：设e为有界无穷点集，因此存在,使得。由上述习题6知，的聚点均含于，故e若有聚点，必含于。再利用反证法，对于，必有相应的，使得内至多只有点（若，则中不含e中之点）。所有这些邻域的全体形成的一个无限开覆盖，根据有限覆盖定理，当中有有限个邻域覆盖，也覆盖了e，由构造含意知，这有限个邻域中至多有有限个点属于e，这与e为无穷点集相矛盾。因此，在内一定有e的聚点.证明： 设e为有界无穷点集，因此存在,使得。由上述习题6知，的聚点均含于，故e若有聚点，必含于。 反证法：若e无聚点，即中任何一点都不是e的聚点，则对于，必有相应的，使得内至多只有点（若，则中不含e中之

7、点）。所有这些邻域的全体形成的一个无限开覆盖： 。由有限覆盖定理知，中存在有限个开区间能覆盖。记 。为的一个有限开覆盖，则也覆盖e，由构造含意知，中个邻域内至多有有限个点属于e，这与e为无穷点集相矛盾。因此，在内一定有e的聚点。由此聚点定理得证。9试用聚点定理证明柯西收敛准则。分析：必要性可根据极限的定义和不等式的性质证得； 充分性： 设数列，先说明若对于当时，有则此数列为有界数列；再由聚点定理推论知，有界数列必含有收敛子列，故必有收敛子列。记 。然后由柯西条件和不等式的性质即可证得。证明：必要性：若数列收敛，则对于任给的，使得对有 设由数列极限定义知，对当时，有 ， 因而 充分性： 若对于当时，有，则收敛。i) 对于