优品课件之第二章2.22.2.1向量加法运算及其几何意义讲义

1、优品课件 第二章2.2 2 . 2.1向量加法运算及其几何意义讲义 平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义 预习课 本P80-83,思考并完成以下问题(1)向量的加法如何定义？ (2)在 求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？ (3)向量加法的运算律 有哪两条？ (4)|a + b| , |a| + |b| , |a| - |b|三者之间的大小有何关 系？ 新知初探1.向量加法的定义及运算法则 定义 求两个向量和的运 算，叫做向量的加法 法则三角形法则前提已知非零向量a, b作 法在平面内任取一点A,作=a,= b,再作向量 结论向量叫做a与b的和，记作a+b,即a + b=

2、+ = 图形 法则 平行四边形法则 前提 已知不共线的两个向量a, b作法 在平 面内任取一点Q以同一点0为起点的两个已知向量a, b为邻边作 ? QACB结论对角线就是a与b的和 图形 规定 零向量与任一向量a的和都有a+ 0= 0 + a = a. 2.向量加法的运算律 运算律 交换律a + b= b+ a结合律(a + b) + c=a + (b + c)小试身手1.判断下列命题是否正确.(正确的打 “”，错误的打“X”) (1)两个向量相加结果可能是一个数 量.( )(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.( ) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线. ( )答案：

3、(1) X (2) X (3) X 2 .对任意四边形ABCD下列式子中不等于 的 是()A.+B.+ + C.+ + D.+ + 答案：C 3.边长为1的正方形ABCD中| + | = () A . 2 B. 2 C. 1 D. 22 答案：B 4 .+ + + =.答案：0 向量加法及其几何意义 典例如图1,图2,图3所示，求作向量和.解如图中， 所示，首先作=a,然后作AB= b,贝S = a+ b.如图所示，作 =a,= b,贝卩=a+b,再作=c,贝卩=+ = (a + b) + c,即卩=a + b+ c. 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可 以推广到n个

4、向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连 的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点 的向量.(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要 求两个向量的起点重合.(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三 角形法则更简单. 活学活用如图，已知a, b, c,求作向量a + b + c.解：作法：在 平面内任取一点Q如图所示，作 =a,= b,= c,则=a + b+ c. 向量加法运算 例 2化简或计算：(1)+ + ; (2)+ + + + .解(1) + + = ( + ) + = + = . (2) + + + + = ( + ) + ( + ) + =

5、+ + = + = 0.解决向量加法运算时应关注两点(1)可以 利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算.(2)要灵活应用向 量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺 序，特别注意勿将0写成0. 活学活用如图，在正六边形ABCDE中，Q是其中心.则+ = ; + + =;+ + =.解析： + = + =. + + = + = + =. + + = + + =.答案： 层级一学业水平达标1 .下列等式错误 的是( )A . a+ 0= 0+ a = aB . + + = 0 C. + = 0 D.+ = + +解析：选B由向量加法可知 + + = + = 2 . 2. (

6、 + ) + ( + ) + 等于( )A. B . C. D.解析：选 C 原 式=+ + + + =( + ) + (+ ) =+ 0= . 3 .下列各式 不一定成立的是( )A. a + b=b + a B. 0+ a= a C. + = D . |a + b| = |a| + |b|解析：选D A成立，为向量加法交换律；B成立， 这是规定；C成立，即三角形法则；D不一定成立，只有a, b同向或 有一者为零向量时，才有|a + b| = |a| + |b|. 4.在矩形ABCD中| | =4, | | = 2,则向量+ +的长度等于()A . 25 B. 45 C. 12 D. 6解析

7、：选B因为+ =，所以+ +的长度 为的模的2倍，故答案是45. 5.已知平行四边形ABCD设+ + + =a,且b是一非零向量，则下列结论：a/ b;a+b=a;a+b =b;|a + b| v|a| + |b|.其中正确的是（）A .B . C.D. 解析：选A T在平行四边形ABCD中, + = 0, + = 0,a为零向量，T零向量和任意向量都平行，零向量和任意 向量的和等于这个向量本身， 正确，错误.6 . + + + =.解析：原式= + + + = + + =.答案：7 . .已 知正方形ABCD勺边长为1, a, =c, = b,则 |a + b+ c| = 解析：|a + b

8、+ c| = | + + | =| + | = 2| | = 22.答案: :22 8. 如 图，在平行四边形ABCE中, 1) + =； (2) + + = ； (3)+ + = ；(4)+ + = .解 析： （1）由平行四边形法则可知为 . + + = + =. + + =+ = . (4)+ + = + + =+ = 0.答案：（1） (2) (3)(4)0 9.如图，E, F, G H分别是梯形ABCD勺边AB ,BC, CD DA的中点，化简下列各式： ）+ + ; + + + . 解: 1 + + = + + = + + = + = . + + + = + + + = + + =

9、 + = 0. 10 .如图所示，中心为 0的正八边形A1A2-A7A8 中，ai = （i = 1,2，7） , bj = （j = 1,2，8），试化简 a2+ a5+b2+b5+ b7.解：因为 + = 0, 所以 a2+a5+b2+b5+ b7 = + + + + = （ + ） + （ + ） + = = b6.层级一二 应试能力达 标1.已知D, E, F分别是 ABC的边AB BC CA的中点，则下列等 式中不正确的是（）A. + = B. + + = 0 C. , + = D. + =解析：选D由向量加法的平行四边形法则可知，+ =. 2.下 列命题错误的是（）A .两个向量的

10、和仍是一个向量 B .当向量a 与向量b不共线时，a+ b的方向与a, b都不同向，且|a + b| |b|)，故D选项不正确.5 .如果| = 8, | = 5,那 么|的取值范围为.解析：根据公式|a| - |b| |a + b| |a| + |b|直接来计算.答案：3,13 6.若a等于“向东走8 km”， b等于“向北走8 km”，则|a + b| =, a+ b的方向是 .解析：如图所示，设 =a, = b,贝卩=8+匕，且厶ABC 为等腰直角三角形，则| = 82,/ BAC= 45 .答案：82 km 北偏 东45 7.如图所示，P, Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP= QC. 求证： + = + . 证明：=+ , = + ,+ = + + + . T与大小相等，方向相反，二+ = 0,故+ = + + 0= + AQ. 8.如图，已知向量 a, b, c, d. (1)求作 a+b+c+ d. (2)设|a| =2, e为单位向量，求|a + e|的最大值.解：(1)在平面内任取一 点 Q 作=a