对数计算公式

1、 loga(1)=0 ; loga (a)=1 ; 负数与零无对数 2对数恒等式 aAlogaN=N (a0 , a 1) 3运算法则 loga(MN)=logaM+logaN; loga(M/N)=logaM logaN ; 对logaM中M的n次方有=nlogaM; 如果a=eAm则m为数a的自然对数，即lna=m，e二为自然对数 的底。定义：若 aAn=b(a0且 a 1)贝S n=log(a)(b) 基本性质： 1、aA(log(a)(b)=b 2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 3、log(a)(M - N)=log(a)(M) -log(a)(N);

2、 4、log(a)(MAn)二nlog(a)(M) 5、log(aAn)M=1/nlog(a)(M) 推导： 1、 因为 n=log(a)(b)，代入则 aAn=b，即 aA(log(a)(b)=b 2、MN二MN 由基本性质1(换掉M和N) aAlog(a)(MN) = aAlog(a)(M) x aAlog(a)(N) 由指数的性质 aAlog(a)(MN) = a“log (a)(M) + log( a)(N) 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 3、与(2)类似处理 M/N二叶N 由基本性质1(换掉M和N) aAlog(

3、a)(M - N) = aAlog (a)(M)- aAlog(a)(N) 由指数的性质 aAlog(a)(M 宁 N) = a“log (a)(M) - log (a)(N) 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M - N) = log(a)(M) - log(a)(N) 4、与(2)类似处理 M5二M5 由基本性质 1(换掉 M) aAlog(a)(MAn)= a“log (a) (M/n 由指数的性质 aAlog(a)(MA n) = aAlog (a) (M)* n 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MA n)二 nlog(a) (M) 基本性质4推广 log(a

4、A n)(bAm)二m/n*log (a) (b) 推导如下：由换底公式(换底公式见下面)lnx是log(e)(x), e 称作自然对数的底log(aAn)(bAm)=ln(bAm) ln八n) 换底公式的推导： 设 eAx=bAm,eAy=aAn 则 log(aAn)(bAm)=log(eAy)(eAx)二x/yx=ln(bAm),y=ln(aAn) 得： log(aA n)(bAm)=l n( bAm) In(aAn) 由基本性质 4可得 log(aAn)(bAm) = m x ln(b) n x ln(a)= (mr) x ln(b)In(a) 再由换底公式 log(aAn)(bm)=m - nx log(a)(b) 4换底公式 设b=aAm,a=cA n,贝卩 b=(cAnFm二cA(mn) 对取以a为底的对数，有： log(a)(b)=m 对取以c为底的对数，有： log(c)(b)=mn / ， 得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)二 log(a) (b)=log(c)(b)/log(c)(a) 注：log(a)(b)表示以a为底x的对数。 换底公式拓展： 以e为底数和以a为底数的公式代换： logae=1/ (Ina) 5推导公式 log(1/a)(1/b)=loga(b) Ioga(b)*logb(a)=1 6求导数 (xloga