数学思想与方法教学辅导

1、第一章 数学思想方法的两个源头一、数学思想方法的两个源头内容概括本章的学习主要是希望学员通过学习两个经典数学著作-古希腊的几何原本和中国古代的九章算术，来认识和理解数学中最早体现出来的基本思想和方法的特点和意义。因此，本章的主要内容有以下几个方面： 几何原本的基本内容、特点和意义； 九章算术的基本内容、特点和意义； 几何原本和九章算术之比较。下面我们就从这三个方面进行讲解和分析：1.几何原本的基本内容、特点和意义 原本产生的背景在早期的数学中，我们可以看到两种不同的也是基本的数学思想的体现：演绎的公理化体系和构造的算法体系。几何原本和九章算术就是这两种思想的代表。 演绎的公理化体系演绎的公理化

2、体系是从有限的不加证明公理和定义出发，通过严格的逻辑推理推演出所有其他命题的一个有序的理论整体。几何原本是历史上最早建立的演绎的公理化的体系。约公元前300年，古希腊数学家欧几里得（Eucild）将希腊当时最为发达的数学-几何用公理化的思想和严格的演绎推理的逻辑方法整理在一个体系之中。几何原本的原名为原本（“Elements”），17世纪初，翻译成中文时冠以几何原本沿用至今。几何原本中的素材并非是欧几里得所独创，它是对欧几里得之前希腊数学的一个总结。欧几里得几何原本的出现，是数学史上一个伟大的里程碑，它不仅是几何学建立的标志，同时也是公理体系在具体学科中应用成功的标志。 基本内容欧几里得的几何

3、原本是一本极具生命力的经典著作。全书共十三卷，总共有475个命题（包括5个公设（Postulate）和5个公理（Axiom）。除几何外，还包括初等数论，比例理论等内容。第一篇有5个公设、5个公理和48个命题，讨论全等形，平行线，毕达哥拉斯（Pythagoras）定理，初等作图法，等价形（有等面积的图形）和平行四边形。所有图形都是由直线段组成的。欧几里得在这篇中给出了23个定义提出了点、线、面、圆和平行线等概念。接着是五个公设：（I）从任意一点到任意一点可作直线。（II）有限直线可以继续延长。（III）以任意一点为中心及任意的距离（为半径）可以画圆。（IV）所有直角都相等。（V）同一平面内一条直

4、线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。其中第五个公设称为欧几里得平行公设，简称第五公设。公设之后是五个公理：（I）和同一量相等的诸量彼此相等。（II）等量加等量，总量仍相等。（III）等量减等量，余量仍相等。（IV）可以重合的量，彼此相等。（V）整体大于部分。现代数学把“公设”和“公理”看作同义词，使用时不加区别。但是欧几里得采纳了古希腊哲学家兼逻辑家亚里士多德（Aristotle）的观点，即公理是适用于一切研究领域的原始假设，而公设则仅仅是适用于正在考虑的这一特定学科的原始假设。例如我们熟悉的毕达哥拉斯定理（即勾股定理）就是本篇的命题4

5、7和命题48。第二篇有14个命题，利用线段代替数来研究数运算的几何代数法。比如，两数的乘积变成两边长等于两数的矩形的面积。第三篇有37个命题，讨论圆以及与之有关的线和角等。第四篇有16个命题，讨论圆的内接和外切多边形。第五篇有25个命题，讨论量和量之比的比例理论。第六篇有33个命题，利用比例理论讨论相似形。第七、八、九篇共有102个命题，讲述数论，即讲述关于整数和整数之比的性质。本篇把数看成线段，但论证并不依赖于几何。第十篇有115个命题，对于给定量不可公度的量进行分类。第十一篇有39个命题，讨论空间直线与平面的各种位置关系。第十二篇有18个命题，讨论面积和体积。第十三篇有18个命题，主要讨论

6、五种正多面体。 特点（1）封闭的演绎体系几何原本是数学中最早形成的演绎体系。在形式上，它是以少数原始概念（不定义概念），如点、线、面（虽然几何原本中“定义”了这三个概念，但后来的推演中却没有利用这些定义，而且这些定义只是几何形象的直观描述，严格他说并不能算作定义。因此一般仍将这三个概念看作几何原本中的不定义概念）等等，和不证明的公设和公理为基础，运用亚里士多德所创立的逻辑学，把当时所知的几何学中的主要命题（定理）全部推演出来，从而形成一个井然有序的整体。在这个整体中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本

7、上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此，几何原本是一个封闭的体系。当然，几何原本在证明某些命题时确实运用了除公设、公理和逻辑之外的“直观”。但是那只是个别现象，并不影响整个体系。另外，从几何原本与当时的社会生产、生活的关系看，它的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。所以，几何原本是一个比较完整的、相对封闭的演绎体系。（2）抽象化的内容希腊人在研究几何方面的功绩之一是把数学变成抽象化的科学。他们竭力主张寻找事物的普遍性，想从自然界和人的思想的千变万化的过程中，分离抽象出某些共同点，这对数学方法和科学方法是非常重要

8、的。他们追求理性、讲究逻辑的哲学思想对使数学形成一门科学有着巨大的影响。从而使几何不再停留在经验的数量变化上，而逐步提高到理性阶段，使对数学的认识从感性阶段提高到理性阶段。因此，几何原本中研究的都是一般的、抽象的概念和命题，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，从一些给定的概念和命题出发演绎出另一些概念和命题。它不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。在几何原本中研究了所有的矩形（即抽象的矩形概念）的性质，但是从未讨论一个具体的矩形实物的大小。几何原本探讨了数（自然数）的若干性质，却不涉及具体的数的计算及其应用。它排斥各种理论的实际应用，对抽象的

9、尺规（无刻度的直尺和圆规）作图却推崇备至。重视抽象理论、而不注重数学理论的现实原型及其具体应用，乃是该著作的显著特点。（3）公理化的方法古希腊时期的数学主要是研究几何。他们不仅把几何形成了系统的理论，而且创造了研究数学的方法。作为现代数学的一种基本表述方法和发展方式的公理化方法，在数学上就是以欧几里得几何原本为开端的。根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从初始原理中演绎出的结论。欧几里得几何原本恰恰体现了这一想法，欧几里得用尽可能少的原始概念和一组不证自明的命题（公设和公理），利用逻辑推理法则，对当时的几何知识重新组织，建成一个演绎系统。具体地看，在第一篇

10、中开头的5个公设和5个公理，是全书其它命题证明的基本前提，接着给出23个定义，然后再逐步引入和证明定理。定理的引入是有序的，在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公设和公理外也都照此办理。这种处理知识体系与表述方法就是公理化方法。 意义（1）几何原本的内容几乎概括了古希腊当时所有的理论-数论及几何学，成为近代西方数学的主要源泉。（2）几何原本的数学观念是对数学认识的一个飞跃。根据几何材料的内在联系，用概念作为判断和推理的基础逐步形成了数学证明的观念，这是对数学认识的一个质的飞跃。（3）几何原本是古希腊数学思想的集中表现，它把古希腊数学的特点

11、、数学思想方法的特点发扬光大了，可以说是古希腊数学的最高成就。几何原本的思想方法使得数学理论成为一个严谨的系统性理论。它使得人们能够在一定程度上超越当时的实践，充分发挥自己的主观能动性，得到意义深远的理论结果，再利用这些成果指导人们的实践，提高人们认识世界、改造世界的能力。几何原本的成功是希腊数学的成功，是公理演绎体系的成功。它被奉为数学教育的依据，人们正是从这本书里认识到数学是什么，证明是什么。有志于数学的人更把它作为必修经典，从中吸收丰富的营养得到莫大的效益和鼓舞。几何原本自成书之后，在数学界产生巨大而深远的影响。正如斯威克（J. Swick）所说：“几何原本对于职业数学家，这书常常有着一

12、种不可逃避的迷惑力，而它的逻辑结构大概比世界上任何其他著作更大地影响了科学思想。”它曾经统治几何学的学习，在世界各地以各种不同的文字，共出了千余版，仅次于圣经，大约成为西方世界历史中翻版和研究最广的书，称得上是世界上最杰出的课本。我国在明清两代也有过译本。多少年来，千千万万人通过欧几里得几何的学习得到了逻辑的训练，从而步入科学的殿堂。几何原本所开创的公理化方法不仅成为一种数学陈述模式而且还被移植到其它学科，并且促进它们的发展。物理学家兼数学家牛顿（I. Newton）在其名著自然哲学之数学原理的序中写道：“从那么少的几条外来的原理就能够取得那么多的成果，这是几何学的光荣”。斯宾诺莎（B. Sp

13、inoza）的伦理学也采用几何原本的体例。2九章算术的基本内容、特点和意义 九章算术产生的背景秦始皇建立统一的封建帝国之后，统一了文字和度量衡制度；到了西汉，社会经济和文化得到迅速发展，因此有必要，也有可能对先秦时期已经积累起来的、丰富的数学知识，进行较为系统的整理，形成专门的数学理论。据史书记载，秦时掌管过国家图书的张仓，西汉时的大司农耿寿昌以及许商、杜忠等人都编写过，或校订过算书，杜忠算术和许商算术都已经失传。他们大多是执管天文历法、农业、水利等方面的官员，所编的算书也大多为了培养行政官吏，或教习官家子弟。因此，这些算书都是采取问题集的形式，对提出的问题，给出一种具体算法和答案。虽然秦和西

14、汉时算书大多失传，但从算数书中仍可以看到一个大概情形。算数书是1983年在湖北江陵张家山出土的西汉早年（约前180）的竹简算书，无具名。它已初具问题集形式，并按算法将问题分类。分类的小标题为“分乘”、“增减分”等60多个，其中大部分算法术语，都出现在以后的九章算术之中，它很可能是九章算术的取材来源之一。九章算术就是在这些算书的基础上，系统总结了先秦和东汉初年我国数学成就，经历代名家补充、修改、增订而逐步形成的。至迟在1世纪时，已有了现传本的内容。现传世的九章算术是三国时魏晋数学家刘徽于263年注释的版本。 基本内容九章算术是中国古代的一本著名数学著作。“算”指算筹，简称“筹”，“术”指解题的方

15、法，因而“算术”是指用筹演算的原理和方法，包括现在所说的算术、代数和几何的各种算法。又因其分九章，故由此得名。九章算术每一章都包括若干道问题，数目不等，大致从简到繁排列，全书共有246道题，每道问题后给出答案，一些问题后还给出“术”。现将各章内容简介如下：第一章“方田”，列题38个，立术21条。着重介绍各种形状地亩面积的计算与分数的运算。“方”有单位面积的意思，“方田”则是计算一块田含多少个单位面积的方法。分数的运算包括分数的四则运算、约分、大小比较和求几个分数的算术平均数等。第二章“粟米”，列题46个，立术33条，讨论各种粮食之间互相兑换的问题。“粟”是谷类。这类问题都通过比例来解决。第三章

16、“衰分”，列题20个，立术22条，涉及的内容比较杂，其算法大体上多属于比例配分问题。“衰（音崔cui）”是按比例，“分”是分配。第四章“少广”，列题24个，立术16条，专讲开平方、开立方问题。“少”是多少，“广”宽广。“少广”是由已知面（体）积，求其一边的宽广是多少的问题。本章给出了“开方术”、“开圆术”、“开立方术”和“开立圆术”这四种重要算法。第五章“商功”，列题28个，立术24条，专讲各种土木工程中所提出的各类几何体体积的求解。“商”是商量或度量，“功”是工程。第六章“均输”，列题28个，立术28条，主要讲处理行程和合理解决征税的问题。第七章“盈不足”，列题20个，立术17条，主要讲运用

17、“盈不足术”解应用问题，涉及的内容多与商业有关。第八章“方程”，列题18个，立术19条，专讲线性方程组的解法。“方”就是把一个算题用算筹列成方阵的形式，“程”是度量总名，程式之意。另外本章还提出了正负数的不同表示法和加减运算法则。第九章“勾股”，列题24个，立术19条，主要研究勾股定理及其应用。本章继承和发展了商高提出的勾股定理，并且开创了直角三角形相似法和出入相补原理。 特点（1）开放的归纳体系从九章算术的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。从篇章的名称来看，方田、粟米、衰分、少广、商功、均输各章都属当时社会生产和生活方面需要解决

18、的数学问题。书中所涉及的具体问题，如，田亩测量、工程建设、交通运输、税收商业等，几乎包括了当时社会生产和生活的各个领域。通过这些篇章中给出的算法，解决了当时社会生产和生活所提出的各种计算问题。还有盈不足、方程、勾股三章，则分别研究了三种常用的数学模型及其用法，是为在以上各个领域中的应用服务的。因此，九章算术的全部理论是以寻求各种应用问题的普遍解法为中心的，是一个具有浓厚的“应用数学”色彩的开放性理论体系，这与几何原本追求逻辑的完美形成了鲜明的对照。另外，九章算术的表述体系是按照由个别到一般的推导方式建立起来的。书中通常是先举出某一社会生活领域中的一个或几个个别问题，从中归纳出某一类问题的一般解

19、法，即算法（术）；再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法，从而构成一章；最后，把解决社会生产生活各领域中问题的数学方法全部综合起来，就得到整个九章算术。该书的归纳特点还有另一层含意，即按照解决问题的不同数学方法进行归纳。许多不同领域的实际问题可能需用相同的计算方法，从这些方法中提炼出数学模型，最后再以数学模型立章写入九章算术。盈不足、方程、勾股三章就是如此。因此，综观全书，九章算术是一个开放的归纳体系。（2）算法化的内容九章算术在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。以后遇到其它同类问题，只要按“术”，给出的程序去做就一定

20、能求出问题的答案。历代数学家受到追求实用、讲究算法的传统思想的影响，使他们对九章算术的注、校，主要集中在对“术”进行研究，即不断改进算法。因此我们说，内容的算法化是九章算术思想方法上的特点之一。以下列举九章算术中约分术加以说明。约分术（第一章中的一个算法）是在假设读者已具备正整数四则运算方法的基础上展开的，其术文是：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”这也就是说：分母、分子若都是偶数，先同被2除；若不都是偶数，则用“更相减损”术求其“等数”，即最大公约数，再用最大公约数去同除分母、分子。所谓“更相减损”就是辗转相减，与辗转相除原理相同。如九章算

21、术第一章中第6题,有九十一分之四十九，问约之得几何?此问题关键是求91与49的最大公约数（等数），其方法如下：于是 。九章算术中的多数“术”都与“约分术”相似，它们是这部著作的主要内容，问题是为了引出术或作为术的应用而给出的。由于九章算术的主要内容为算法，因而促进了对各种算法的研究，取得了诸如方程术、正负术、开方术、割圆术等著名算法和一大批与之有关的数学成果。（3）模型化的方法从数学方法论的角度看，九章算术普遍使用了数学模型方法。各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转化成数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程，即先给出数学模

22、型，然后再举出可以应用的原型，例如，“勾股”、“方程”等章，其标题就是数学模型的名称。 意义（1）九章算术的成书标志着中国传统数学体系的形成。其问题及思想方法对后世的影响巨大而深远。九章算术从问世起，人们便由它来学习数学。到隋唐时期开始建立国立学校，其中有算学科，该书被列为重要的教科书。在民间此书也广泛流传，所以，古代研究数学的人大都是从九章算术开始，有些人正是通过对它的研究取得重要成就，成为历史上杰出的数学家，其中最著名的有刘徽、祖冲之父子、贾宪等。也就是说，九章算术不但在普及数学知识方面起过巨大作用，而且还在培养和造就数学家方面起到了促进作用。九章算术在我国的影响还表现在著作体例方面。九章

23、算术以后的许多数学著作都按其格式编写，注重实用，不注意逻辑结构，采用“问题一答案一算法”的体例。甚至一些著作的书名都沿用“九章”两字，如数书九章、详解九章算法等。（2）九章算术中的数学成就是多方面的。它是世界上最早系统叙述分数运算的著作；关于负数的论述也是世界上最早的。印度发现负数的记录最早见于7世纪。表示负数的梵文，与汉人的“负”字相同，这证明我国负数概念对印度数学是有影响的。至于西欧，直到17世纪才认识负数。当九章算术中的各种比例算法传到欧洲时，引起了欧洲人的极大兴趣，他们称之为“黄金算法”，认为它是各种算法中最宝贵的算法。我国古代叫这种算法为“今有术”，它早于印度数学书籍所载的“三率法”

24、。九章算术用“盈不足术”来解决算术中的难题。这种算法约在9世纪传入阿拉伯，13世纪转传入欧洲后，得到广泛的运用和发展。阿拉伯人把盈不足术叫做“契丹算法”，从这个名称演变出“震旦”（中国）一词，可见它确系由我国传播出去的。（3）九章算术对中国周边国家数学及社会的发展也有一定的作用。在隋唐时期九章算术就已传入朝鲜、日本。对日本、朝鲜等东方诸国的数学发展有过很大作用。人们现在越来越认识到九章算术不仅对我国古代数学影响极大，而且对世界数学的发展也起着重要的作用，因而引起各国学者、专家的重视，前苏联、日本、德国、英国等国都有九章算术译本。（4）九章算术的思想方法不仅对古代数学的发展产生了重大影响，而且也

25、是现代数学思想发展的源泉。在现代数学的发展过程中，一再重现这种思想。如在17世纪微积分产生初期，就不是靠理论的严格，而是靠实际应用的成功来保证其“可靠性”的。现代应用数学是按应用方向或主要应用的数学模型来分类的。现代数学是一个开放的系统，成为各门科学的方法或工具。随着电子计算机的蓬勃兴起，更进一步肯定了以发展算法和计算技术为中心的中国传统数学的长处。中国科学院院士、著名数学家吴义俊教授在几何定理的机器证明领域所取得的成就，正是以九章算术为代表的中国传统数学特色在现代条件下的发扬光大。二、学习重点、难点解析重点为几何原本和九章算术思想方法的特点和意义。理解几何原本与九章算术思想方法的特点可能是本

26、章较为困难的内容，为此我们补充下面的内容来加深对它们的理解。1古希腊数学与中国古代数学的比较解释古希腊数学和中国古代数学有许多共同之处。但是，由于希腊和中国这两个文明古国的社会制度、数学和哲学的关系、文化背景及统治阶级对数学的态度等方面的差异又决定了希腊与中国古代数学的很大不同。首先，从内容上，古希腊数学以定性研究为主，以几何研究为中心；中国数学则以定量研究为主，以算法研究为中心。其次，希腊数学不是用来解决实际问题的，他们所研究的内容都是离开具体应用对象的相当抽象的性质。相反，中国古代数学的目的就是实际应用，并在应用中发展。离开实际应用的纯理论数学在中国未占主流。第三，从形式上说，希腊数学都包

27、括命题的证明，并试图构成一个演绎体系。与此不同，中国传统数学的特色是构造性、计算性和机械化。中国古代数学著作则采取应用问题集的形式。第四，由于中国古代数学家追求实际应用的效果，而古希腊数学家强调逻辑的严密，因此中国古代数学家没有像希腊人那样受悖论困扰。几何原本是古希腊数学的代表，而中国古代数学以九章算术为代表。几章算术确立了中国古代数学应用题的形式，以算法为中心的特点，理论联系实际的风格，构筑了中国古代数学的基本框架。在中国和东方影响深远。今天，电子计算机的广泛应用使人们重新认识到中国算法的重要意义。2模型化的方法、开放性的归纳体系及算法化的内容之间的关系解释。模型化的方法与开放性的归纳体系及

28、算法化的内容之间是互相适应并且互相促进的。虽然，各个数学模型之间也有一定的联系，但是它们更具有相对独立性。一个数学模型的建立与其它数学模型之间并不存在逻辑依赖关系。正因为如此，所以可以根据需要随时从社会实践中提炼出新的数学模型。而一定的算法必与一定的数学模型相匹配。因此，开放性的归纳体系和算法化的内容为模型化方法的发展提供了可能和需要。另一方面，由于运用模型化的方法研究数学，新的数学模型从何产生？只有寻找现实原型、立足于现实问题的研究，这就不可能产生封闭式的演绎体系。解决实际问题还提出了这样的要求：对由模型化方法求得的结果必须能够检验其正确性和合理性，为了能够求得实际可用的结果，于是算法化的内

29、容也就应运而生。三、学习方法辅导和习题解答认真阅读教材，还可以阅读几何原本和九章算术原著和相关的著作或文章，以达到认识理解古典数学思想的目的。1简单叙说几何原本的体例。2简单叙说九章算术的体例。3简单叙说叙说几何原本思想方法的特点。4简单叙说九章算术思想方法的特点。第二章 数学思想方法的几次重要突破一、数学思想方法的几次重要突破内容概述从数学思想方法的角度来认识数学的发展是理解数学的重要方面。数学思想方法这门课程的第二章主要从思想方法的角度分析了从算术到代数、从常量数学到变量数学、从确定性数学到随机数学转变的背景、原因、过程和意义。从数学发展的角度来看，认真理解数学上的这几次突破对于我们学员从

30、整体上理解数学思想方法都是十分必要的。因此，本章的主要内容有： 算术、算术的局限性和代数的产生、意义； 常量数学局限性，变量数学的产生、发展和意义； 确定性数学的局限性、随机数学的产生、发展和意义。下面分别从这三个方面来分析：1. 算术、算术的局限性、代数的产生和意义 算术算术是我们每一个人开始学习数学时必须学习的、不可回避的内容，也是一门古老的、原始的数学。而算术式的思维是一个人数学思维发展的基础，离开了算术思维和直观几何思维来理解数学是十分困难的。那么什么是算术呢？ 古代算术的主要研究的内容是正整数、零和正分数的性质与四则运算。算术理论的形成标明人类在现实世界数量关系认识上迈出了具有决定性

31、意义的第一步。算术作为重要的数学工具之一，在人类社会中有着广泛的应用。通过它，人类能够行之有效地解决在社会实践中遇到的大量问题，如行程问题，工程问题，流水问题，分配问题和盈亏问题等。 算术的局限性但是随着社会的发展，人类认识到算术在理论上限制了其自身的发展，在应用上面临了不能满足社会实践的需要。这主要表现在它限制抽象的未知数参与运算，只允许具体的、已知的数进行运算。因而导致其在解决问题的方法上存在局限性。这是因为算术解题方法的基本思想是：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出用已知数据表示所求数量的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。这种方法的关键之处是列算式。

32、但是面临具有较为复杂数量关系的实际问题时，列算式是非常困难的，因此这种方法比较笨拙，甚至无法解决问题。 代数的产生以上谈到的关于算术的这种局限性，在很大程度上限制了其应用范围。但却由此促使新的数学分支代数的产生。此处我们讨论的代数主要是指初等代数。代数的产生我们可以从以下几点来认识：（1）“代数”术语的来源“代数”（algebra）一词虽不如被它所命名的那个学科本身一样古老。有一种比较广泛的说法认为，它是来自于830年阿拉伯数学家阿尔花拉子米（Mohammed ibn Musa al-Khowrizm）著作还原和对消的科学（al-Jabr wal Muqbala）的书名。这个题名有两个词组成，

33、在数学上，“还原”（al-Jabr）是指是在方程的一边去掉一项就必须在另一边加上这一项，这样才能把方程的平衡还原，它就是现代代数术语“移项”。而“对消”（al Muqbala）是指，在方程两边消去相同的项或合并同类项，它就是现代代数术语 “化简”或“合并同类项”。中世纪时欧洲人从阿拉伯学习数学，翻译阿拉伯数学著作时，就采用了阿拉伯字“al-Jabr”作为这门数学分支的术语。而在19世纪末在翻译一些近代数学著作成中文时，使用了“代数”这一名称作为Algebra的中文对称词。（2）数学符号的诞生和发展数学符号是代数的基本特征，数学符号的诞生和发展在一定程度上体现了初等代数的产生和发展历程。在数学符

34、号的诞生和发展中，具有代表性的数学家有古希腊数学家丢番图（Diophantus）、16世纪的法国数学家韦达（F. Vite）和笛卡尔（R. Descartes）、欧拉、莱布尼兹等。在丢番图时代（约250）以前的一切代数学都是用文字表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的代数学几乎都是用文字表示。丢番图对于代数学发展的重大贡献之一，就是简写了希腊代数学，开始了用符号表示数学。丢番图的符号实际是语言文字的缩写符号，不同于今天代数学中的符号。但缩写的符号毕竟比文字的表示有进步。因此，人们认为丢番图的代数是从早期的文字代数发展到以后的符号代数的中间环节。尽管这些仅仅是代数向符号化迈进的最初几步，但这标志着文

35、字代数开始向简写代数转变，它的影响深远。丢番图的算术是数学史上的一个里程碑。十六世纪时，韦达将符号系统地引进到数学中。例如韦达用元音字母表示未知量，用辅音字母表示已知量。在韦达以前，通常使用不同的字母或符号来表示一个量的各次幂。韦达则使用同一个字母，再加以适当的说明，来表示这些幂。如韦达把我们现在所写的x，x2，x3分别记为A，A quadratum，A cubum。后来，笛卡尔、莱布尼兹和欧拉改进和创设了一些新的数学符号，使数学符号成为数学的基本特征。例如，笛卡尔在1637年用字母表中后几个字母表示未知量，如x，y，z，而用前几个字母表示已知量，如a，b，c等，这就是现在我们仍然采用的惯例。

36、对于一个量的各次幂，笛卡尔还引入了现在仍然采用的指数的统一写法：x，x2，x3等。笛卡尔提出和使用的许多符号基本上现在一直在沿用。笛卡尔等人对抽象符号的普遍使用，标明初等代数已开始进入成熟时期。需要指出的是，在十九世纪，代数学内部有发生了变革，产生了以研究抽象的代数运算和结构为主的抽象代数。2常量数学局限性，变量数学的产生、发展和意义 常量数学局限性在建立了太阳中心理论后，17世纪的人们面临了如何改进计算行星位置，以及如何解释地球上静止的物体保持不动、下降的物体还落在地球上等之类的问题。这类问题的核心是物体的运动。面对这类带有运动特征的问题，人们已有的数学知识：算术、初等代数、初等几何和三角等

37、构成的初等数学，显得无效。这是因为初等数学都是以不变的数量（即常量）和固定的图形为其研究对象（因此这部分内容也称为常量数学）。运用这些知识可以有效地描述和解释相对稳定的事物和现象。可是，对于这些运动变化的事物和现象，它们显然无能为力。但是数学在自然科学研究中的成功，使得科学家不遗余力地去寻求一种有效的数学知识来解释这类自然现象，因为他们相信理论科学与数学是密切相关的，甚至有人认为自然界是用数学设计的，科学的本质就是数学。 变量数学的产生和发展变量数学产生的数学基础应该是解析几何，标志是微积分。文艺复兴之后，欧洲人继承和发展了希腊数学观，认为数学是自然科学研究的有力工具。正是这种数学观为数学方法

38、论开辟道路。（1）解析几何的产生解析几何的产生主要归功于两位法国数学家笛卡尔和费尔马（Pierre de Fermat）。费尔马和笛卡尔有一共同的愿望就是研究几何，但他们研究的目的不同，费尔马研究几何是为了再现失传已久的阿波罗尼斯（Apollonius）著作论平面轨迹，而笛卡尔研究几何则希望说明其所提出的一般科学方法的正确性。他们都注意到数量方法的重要性，以及代数在量化上的作用。费尔马认为代数方法是一种研究几何的普遍方法。他的方法是在平面上建立了一组参照物：射线OP和与OP不平行的直线l （图2-2-1）。然后考虑任意曲线C和它上面的任意一点J，过点J作平行于l的直线交OP于Z。这样J的位置就

39、可以用两个字母A和E确定，其中A表示点Z到点O的距离，E表示点Z到点J的距离。他认为：“只要在最后的方程里出现了两个未知量，我们就得到一个轨迹，这两个量之一，其末端就描绘出一条直线或曲线。” 费尔马所用的坐标即是我们所说的斜坐标系，他所说的量实质还是线段，因此有“其末端”之说，即图2-2-1中对于不同的E，其相应的末端J的轨迹就是曲线C。费尔马通过引进坐标成功地把阿波罗尼斯所发现的圆锥曲线译成了代数的语言方程，在他的平面与立体的轨迹论著中记载了这些工作。费尔马还利用代数方程定义了一些新的曲线，例如， 和 。笛卡尔在l637年发表的著名的一般科学哲学论著更好地指导推理和寻求科学真理的方法论。这本

40、书有三个用来说明其提出的方法具有普遍性的附录，其中最后一个附录的标题是几何学，它是解析几何产生的标志。希腊人把一个量看作是某线段的长度，两个量的乘积就是某个矩形的面积，而三个量的乘积则是某个长方体的体积。但是三个以上的量的乘积，希腊人就无法用几何知识来处理了。笛卡尔认为：与其把x2看作面积，不如把它看作比例式1：xx：x2中的第四项，从而x2就可以用一个适当的线段来表示，只要x是已知的，就不难作出这条线段。这样只要给定一个单位线段，我们就能用一个线段的长度来表示一个量的任何次幂或任意多个量的乘积。如果用y表示x2，则上述的比例式就变成y=x2，在几何学中，笛卡尔在一个取定的直线上标出x，在与该

41、直线成固定角的直线上标出长度y，这样便可作出使得值x和y满足给定的关系式的点（x,y）（见图2-2-2）。这样就建立了坐标系，这是现在称之为斜坐标系的第一象限。当我们取无穷多个值x，就得到无穷多个值y，从而得到无穷多个点C（x,y），所有这些点C的轨迹就是方程y=x2所表示的曲线。显然，笛卡尔和费尔马的坐标系本质上是一致的，但是出发点恰巧相反，费尔马从方程出发来研究轨迹，而笛卡尔更多地从一个轨迹出发来寻找它的方程。但是这却恰好是解析几何基本原理两个相反的方面。（2）函数概念的出现从16世纪开始，自然科学研究的中心问题是运动，科学家认为物质运动是一个最基本的物理现象。实践的需要和各门科学本身的发

42、展使自然科学转向对运动的研究，对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究。因为科学家们相信运动可以用数学来描述。作为变化着的量的一般性质及各个数量之间存在着相依而变的规律，引出了数学的一个基本概念函数，这一概念在以后的二百年中几乎是所有数学研究的中心，它的定义直到19世纪才形成，但是函数概念本身的发展直到现在还在继续。在还没有充分认识函数概念时，人们常常把函数当作曲线来研究，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等均被作为曲线来研究。当曲线被看作是动点的轨迹时，人们逐步从解析几何中认识到一个量对另一个量的依赖关系，比如格雷戈里（James Gregory）在论圆和双曲线的求积中定义函数为一

43、个从一些其他的量经过一系列代数运算而得到的，或者经过任何其他可以想象到的运算而得到的量。这种认识尽管离确切的函数定义还有距离，但是它为微积分的产生起着非常重要的过渡。（3）微积分的产生促使微积分产生的因素很多，但是最主要的因素是为了处理17世纪的科学问题。这些问题归结到数学上主要有如下四类情况。第一类是：已知物体移动的距离为时间的函数，求物体瞬时速度和加速度；反过来，已知物体的加速度为时间的函数，求速度和距离。第二类是：求曲线切线的斜率和方程。第三类是：求函数的最大值与最小值。第四类是：求曲线的长度，曲边梯形的面积，曲面围成的物体的重心。这四类问题的核心是求一个常量无法确定的量变量问题。牛顿和

44、德国数学家莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz）分别以物理学和几何为背景用无穷小量方法建立微积分。牛顿认为曲线是由点的连续运动生成的。因此，一般来说这些点的横坐标和纵坐标都是变化着的量。他把这些变化着的量称为流（即流动的量），而把流的变化率称为流数（即现代的导数）。如果一个流用y来表示，则它的流数就用 表示。而 的流数用 表示，对于高阶的流数可以此类推。牛顿把无穷小量的增量称为流的瞬（即现代的微分）。如果用o 表示无穷小的时间间隔，那么流x的瞬就是 o。牛顿在他1671年完成而于1736年出版的流数法和无穷级数一书中明确地陈述了微积分的基本问题：已知两个流之间的关系，求

45、它们的流数之间的关系，以及它的逆问题。牛顿指出，我们在任何问题中都可消去那些用o的两次幂或高次幂相乘的项，从而得到一个只含曲线生成点坐标x和y以及它们的流数 和 的方程。例如，牛顿考虑一个三次曲线 。用 和 分别代替x和y，得 等式两边除以o，然后略去所有含o的项，得 。牛顿充分认识到他的流数法具有的普遍意义，他指出流数法“不仅可以用来作出任何曲线和切线而且可以用来解出其他关于曲度（曲率）、面积、曲线长度、重心等深奥问题。”这一方法最终在实践中得到广泛的应用。莱布尼兹于1684年在博学者学报上发表的一篇题为求不局限于分数或无理数量的极大、极小和切线的新方法以及它们异常的计算类型的论文。在此论文

46、中他简明地解释了他的微分学，并且论文中所给出的微分学符号和计算导数的许多一般法则一直沿用到今天。莱布尼兹探索（表示和）的运算和d（表示差）的运算，并断定作为求和过程的积分是微分的逆。这个想法已出现在牛顿和其他数学家的著作中，但莱布尼兹是第一次表达出求和与微分之间的关系。莱布尼兹的微积分思想起源于他对组合数性质的研究，他注意到了一个序列与其相继两项差所成序列之间的有趣关系。例如，序列：a0，a1，a2，a3，an-1，an设其相继两项差所成序列为b1，b2，b3，bn-1，bn其中bi= ai-ai-1（i=1,2,n），则 莱布尼兹发现如果原序列是从0开始，则其相继两项差所成序列的和是原序列的

47、最后项，即当a0=0，有 莱布尼兹把序列看作是函数的y值，把任何两项的差看作是邻近两个y值的差，用dy表示。由此将这种离散的情况下所获得的结果扩大到连续的情况,从而形成其微积分的基本思想。莱布尼兹发现特征三角形两边商的极限的重要概念并发现它对于求切线和求面积的意义。如图2-2-3，三角形EFG由dy, dx和弦EG所组成，AD是曲线BC在点D的法线。莱布尼兹认为弦EG是“E和G之间的曲线，而又是点D的切线的一部分”。虽然说这个三角形是无穷小的，但他坚持它相似于三角形ADK。因此， 于是 （或 ）该公式清楚地确立了切线问题（ 由切线给出）与求积问题 （计算 ）的互逆关系。莱布尼兹还发现，适当地建

48、立与特征三角形的相似关系，可以进一步解决曲线的求长与求积问题。莱布尼兹的工作富于启发性而且意义深远，他的微分学使得微分运算变得几乎是机械的，这是其前人们所无法做到的。正是变量数学在十七世纪产生以后得到了迅速发展，成为数学的主要内容。 变量数学产生的意义17世纪是常量数学向变量数学转变的时期，这种转变对整个数学甚至整个科学的发展具有巨大意义。（1）变量数学的产生，为自然科学更精确地描述物质世界提供了有效的工具我们知道，在现实世界中，静止和不变是暂时的、相对的，而运动和变化是永恒的、绝对的。要精确揭示和认识物质世界，就必须精确地描述和研究物质世界各个事物的运动与变化规律。变量数学的产生为自然科学精

49、确地描述这种规律提供了有效的手段与工具。（2）变量数学的产生，促进数学自身的发展与严密解析几何是代数与几何有效结合的产物，它的产生不仅仅为函数概念的形成和微积分的创立建立了舞台，同时也为新的分支学科产生提供了样板。解析数论和微分几何等分支学科就是这种结合的再现。微积分在应用中的成功无法掩盖其自身存在的逻辑矛盾无穷小量悖论。尽管这一矛盾引起了数学危机，但它却促使了极限理论的建立，从而把微积分从对几何图形和运动直观的依赖中解放出来，开始了理论自身的发展，进一步推动整个数学的发展，使数学更加严密。（3）变量数学的产生，使辩证法进入数学辩证法把世界现象看作是普遍联系和永恒运动变化着的，把世界的发展看作

50、是自身所固有的各种矛盾发展的结果。变量数学的许多基本概念，如函数、导数和微分等，从哲学上看，就是辩证法在数学中的运用，而微积分的完善就是其自身的矛盾发展的结果。因此变量数学的产生，为辩证法进入数学提供了契机，并且为辩证法具有普遍性的论断，从数学上提供了有力的例证。3确定性数学的局限性、随机数学的产生、发展和意义 确定性数学的局限性人们在社会实践活动常常遇到两类截然不同的现象，一类是确定性现象，这类现象的特点是：在一定的条件下，其结果完全被决定，或者完全肯定，或者完全否定，不存在其他可能。即这种现象在一定的条件下必然会发生某种结果，或者必然不会发生某种结果。比如，在标准大气压下，水加热到100C

51、时必然会发生沸腾；在没有外力作用下，作匀速直线运动的物体改变其运动状态是不可能的。因此确定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系，即条件具备时，某种结果必然会发生，所以事先可以预知结果如何。在数学学科中，人们常常把研究确定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。代数、几何、方程和微积分等均属于确定数学的范畴，用这些分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。例如天文学家发现了谷神星，但是无法确定它再次出现的时间和位置，高斯利用天文学家提供的观察得来的数据，通过一个方程预见了谷神星出现的时间和位置。另一类是随机现象，这类现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不

52、发生某种结果。比如，投掷一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，但是预先作出确定的判断是不可能的。对于这类现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。14世纪，随着商业贸易和航海事业日益发展，出现了海上保险业务。到16世纪，在欧洲不少国家已把保险业务推广到人寿、水灾和火灾等保险上。保险的对象都是不确定性事件，为了保证保险公司赢利，又使参加保险的人愿意参加保险，就需要根据对大量的随机现象的规律性的分析，去创立保险的一般理论。随机现象并不是杂乱无章的现象，就个体而言，似乎没有什么规律存在，但当同类现象大量出现时，从总体上却呈现出一种规律性，但是确定数学无法定量地揭示

53、这种规律性。确定数学的这种局限性并没有阻碍数学家的思考和寻求，一种专门适用于分析随机现象的数学工具也就成为十分必要的了。从而创立了随机数学概率理论与数理统计。 随机数学的产生与发展概率和统计的历史可以追溯到遥远的古代，比如，在公元前2000年的埃及古墓中已有正方体的骰子，在古代的游戏与赌博活动中就有概率思想的雏型。但是概率论作为一门学科，则酝酿于16世纪前后的两百余年之间，产生于17世纪中期前后。它的起源与一个所谓的点数问题有关。这个著名的问题是：两个技巧相当的赌徒对局，他们知道怎样的比分赌局终止，也知道取胜所要求的点数，问应该怎样来分配他们的赌注。帕乔利（F.L. Pacioli）在他的算术

54、，几何，比例和比值要义（1494年）一书中，首次把点数问题写入数学著作中。直到1654年以前这个问题没有解决。1654年一个赌徒默勒（C. Mr）向法国数学家帕斯卡（Blaise. Pascal）提出了这个问题，帕斯卡对此问题极有兴趣，他写信同费尔马讨论。于是两位数学家通过信件进行讨论，并且各自独立解决了这个问题。我们用例子来说明两位数学家的讨论。在两个赌徒A和B之间进行赌博，规则规定，两人之间进行若干局比赛，如果A先取得2局胜利，则A获胜；如果B先取得3局胜利，则B获胜，问应该如何来分配赌注。费尔马对这个问题的解法比较简单和直接，而帕斯卡的解法则比较精致和便于推广。很显然，在这个例子中只需进

55、行4局赌博就能决出胜负。费尔马用a表示A取胜的比赛，用b表示B取胜的比赛；然后考虑a，b两种字母每次取四个的16种可能的排列：aaaa baaa abaa aaba aaab bbaa baba baababba abab aabb bbba bbab babb abbb bbbb其中，a出现2次或多于2次的情况是有利于A，这种情况共11种；而b出现3次或多于3次的情况是有利于B，这种情况共5种。因此，赌注应按11：5来分配。推广至一般情形，如果A要在m局取胜，B要在n局取胜，则两种字母a和b每次取m+n-1个的可能的排列为2m+n-1种。这样就可求出a出现m次或多于m次的情况为a种和b出现n

56、次或多于n次的情况为b种，而赌注也就应按a：b来分配。帕斯卡是利用其于1665年发表的论文三角阵算术中讨论过的一种数阵“算术三角形”（称之为帕斯卡三角形）来解这个问题。这种算术三角形如图2-3-1所示。数阵中从第二行起任何元素都是由上一行这个元素正上面的元素加上这个元素左面的元素而得到。任意阶三角形都可通过画一对角线得到（见图2-3-1），沿着对角线的数恰好是二项式系数。例如，沿第五条对角线的数，即1，4，6，4，1是（a+b）4展开式中各项的系数。帕斯卡用它来求出从几件物品中一次取r件的组合数，他正确地表述为 其中n!=n（n-1）（n-2）321。所以沿第五条对角线的数C（4,4）=1，C（4,3）=4，C（4,2）=6，C（4,1）=4，C（4,0）=1，