向量性质的思维延伸与拓展创新【人教A版】

1、向量性质的思维延伸与拓展创新作为新课程改革，高中数学教材显著的变化就是“向量”的引入，它将“数” 与“形”融于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，决定了它成为中学 数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介。通过对向量性质的思维延伸，可使我们更为深刻的认识向量，理解向量，更为灵活的运用向量来解决数学中其他 领域的问题，达到事半功倍的效果。本课题将从向量共线性质、向量“回路”的 应用、以及a e a cos a,e性质等方面进行思维延伸，来梳理和佐证这一认 知，以飨读者。一、摆脱范围限制，让向量共线性质得以延伸首先，我们回顾一下有关向量共线的一些性质：当a （x1, y1） , b （x2,

2、y2）时, 有ab，xiy2X2yi0，定比分点坐标公式：x仝X2 ,yo先1 1在我们做有关向量的题型当中，总是局限于在向量的环境中求解有关向量问 题，如已知向量a、b的坐标及大小，求a、b的夹角或已知a、b c的坐标，证 明其是否共线等等，而不能够在数学的其他领域中灵活运用，这种对我们的思索 过于局限、教条，使我们对数学中各领域知识与知识间产生了隔阂。如何才能将向量的共线性巧妙的运用到数学的其它领域中， 解决疑难问题，使问题化繁为简、 简化我们的运算量呢？我们可以思维延伸， 根据向量共线的性质，巧妙的挖掘题 目中的条件以及结论，把原来的某些图形向量化，或自行构造向量共线的条件， 然而利用向

3、量的某些特定的性质，就可以使解题思路更加明确，避免诸如做辅助 线等不容易掌握的技巧，从而解决问题，省时省力，而且还开拓我们的解题思维， 使我们的解题效率大大提高。I 构造共线条件，巧解等差数列例1: （96年高考）等差数列 an的前m项和为30,前2m项和为100，它的 前3m和为（）解：由题易知S d（n 1） a1 ，n 2对比直线 y kx b，故点 R （m, Sj, P2 （2口,包）, PjQmS）共线m2m3m第3页共12页2mm3mujutujuu1即RP2B F3 ，所以130S3m100m3m2 m1解得S3m 210评注：此题巧妙构造共线条件，利用向量共线时的定比分点坐标

4、公式， 解出 此题，方法独特、新颖，使人的思维得以拓展，创新。II .利用共线条件，妙证三点共线例2: （2001年高考）若抛物线y 2px（p 0）的焦点为F ,经过焦点为F的直线交抛物线于A B两点，点C在抛物线的准线上，且BC/X轴，证明直线AC 经过原点O。2证明：设A供如B（22p,y2）（yiy2）,Fep,o），uuu则FAp uuu亍，yi）, FB2（需2,y2），uuuuuu由FA与FB共线得2（話2）y2整理得ViV2uuu 又Q OA2（話UULT,yi）,oc2（知2），且2（舊訥muuuu所以OA与OB共线，即直线AC经过原点0。评注：本题通过证明OA与OB共线得到

5、直线AC经过原点0,充分体现了平 面向量与解析几何知识的整合，是应用向量解决问题的一个重要方面， 也是近几 年高考命题的一个热点和趋势。III .求线段定比的值例3:已知平行四边形ABCD一边AB的中点为E，一边AD上有一点F ,且 uuruuuF分AD的比为m:n，BF与CE交于点K,求K分CE的比 的值。解:uuir BFuuu m uuu BA BD nuuur BKuuuBFurnBAm1nuuiruuuBEBCuuum uuir uuuBA (BCBA)nBCuuuBCuuuri uuuBKBA -2 2 11uuruuuro o -又 BF与BK共线，所以有：1 -1mm n评注：

6、在求定比时，运用向量共线的思想，利用向量共线的充要条件，便会 很快解出问题答案，此方法新颖独特，构思巧妙，通俗易懂，同时也开阔了我们 的思路与视眼。IV 确定点的位置例4:如图所示，在 ABC中，AB AC 5, BC 6。 M点是AC边上靠近A点的一个三等分点，试问在线段 BM上是否存在点P使得PC BM ?解析:AB ACuuu则 OA (3,以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系。5，BC 6，所以 B(0,0), A(3,4), C(6,0)。4)，由于M点是AC边上靠近A点uuu 1 uur4的一个三等分点，所以AMAC (1,-)，于是M (4,33因此BM上

7、存在点P使得PCBM，则设uuuuujuBP BM，且 0uuuBPuuu uuu uurr 所以CP CB BP(6,0)由于PC BM，所以CP8,3uuuuBM 0，(48(4,匚)(438(4%8,3 )，得 4(46) 8 -3 30,解得旦，由于26BM。27 0,1，所以在线段BM上不存在点P使得PC26评注：本题是存在性问题，若用一般的平面几何方法求解，将非常复杂，但muuuu利用共线向量，巧妙地将向量 BP的坐标调出，从而得到CP的坐标，然后根据 垂直关系，利用数量积为零得到问题的答案。V:证明等式 r _2222X V例 5:若(x v )(a b ) (ax by)(ab

8、 0)，求证：。a b uur证明：所给条件即 JX2y2膚b ax by，若设 (x, y),(a,b)，ur则 LT UTTav,axby，LT IT由于UT LTcositur第7页共12页u urr才 厂飞(其中 为向量、的夹角)，所以 / 荷b2 ax by，而式中等号成立的条件是cosur LTXV=1，即=0或，也就是向量、共线，这时有一。a b评注：从所给条件的特点出发，构造恰当的向量，利用向量共线的条件解决二、向量“回路”在空间中的妙用cb某些代数证明问题，思维独特，过程简单，充分体现了用向量解题的优越性。我们对向量“回路”很熟悉，即a b c d，但总认为d它形同摆设，没有

9、多大用处，只能用于进行简单的向量加法，八A = aB很少有人能将其熟练应用于立体几何中。 对于解决空间中有关距离、夹角或证明 一些关系等问题时，我们一般情况都是通过添加辅助线、 辅助体，或平移等方法 进行求解。但这需要我们进行大量的思考，耗费时间与精力。很显然我们是局限 了思维，没能将思维得以延伸拓展。如果我们稍加用心，将向量“回路”a b c d 左右平方，得到 a2 (b c d)2 b2 c2 d2 2(b c c d d b)，不就柳 暗花明，打开另一番新的天地吗？它与实数的性质相类似： 若干个向量的和平方， 等于这些向量的平方和加上每两个向量的数量积。 运用它的好处是可以节省大量 的

10、思考时间，简单、便捷，能够让我们以最快的速度进行求解相关问题。1 求空间直线夹角:底面ABCD，CD PD，底面AD PB 3。点 E 在棱 PA上,例6:如右上图，四棱锥 P ABCD中，PBABCD 为直角梯形。AD/BC，AB BC，AB 且 PE 2EAoB求证：异面直线PA与CD所成的角。解：Q PB 面ABCD PB CDuuiu代入数据，可得CDuuuDA 9UULT 又Q CDuuuDAuurCDuuuDAcos-uuuruturCDDAcosUUUT UUU CD DAo60所以，异面直线PA与CD所成的角为2.练习：求空间两点距离60oo又Q PDCDCD面PBDDB DC

11、, CDBo90Q DABPBA90o, DAABPB3BDADBA45o, DBAP-32323、2Q BCD360oCBADABCDBBDA360o在等腰直角三角形DCB 中,CDDB3、2, CB6UJU uuu CD DAuuu uuruuuAP CP(CDuuu DAuuuAP)2 uuT22 CPuuLT2 CDuuu2 uuuDA AP2uur2CDuuu DAuuur2CDuuu uuuAP 2DAuuu AP315o 45oA1B1C1D1 的棱长 | AB | a , | AD | b , | AA | c ,如图所示，长方体 ABCD 求对角线AC1的长度.3.练习：证明

12、空间直线垂直在四面体ABCD中，已知AB CD, AC BD ,用向量方法证明： AD BC 。三、公式a e i a i cos a,e的延伸与拓展创新公式a e | a | cos a, e作为空间向量的数量积的三条性质之一，在上新授 课时我们总认为：这条性质没有什么“本质上”的用处，没有其它两条性质用的 广泛，有点像“房间里的摆设”一一配角。但在后来的学习和做题当中，我越发 觉得它在数学前后知识的连贯中起着非常越重要的作用。教材概念的引入：已知向量AB a和轴|，e是I上与I同方向的单位向量，作 点A在I上的射影A ,作点B在I上的射影B则AB叫向量AB在轴I上或在e 方向上的正射影，简

13、称射影。 可以证明得，ab |AB|cos a,e a e (证明 略，图如右所示。)I .思维延伸：利用a e a cos a,e ，推导点到直线的距离公式如图所示，求P(xo,yo)到已知直线I: Ax By C 0的距离。分析：我们容易求得直线I的法向量n (AB)，该方向上的单位向量e利用用a ea cos a,e可求得距离。解：I I : Ax By C令其法向量为no，其方向向量为m(q,i)，则有 m n o，B,A)，r ar代入数据得n (2l)，即nB(A,B)法向量所在直线的单位向量uuu r又 QP eumr ruuuQP cos QP, e,CxAxruuuuuu r

14、uuu ruuundQPcos QP, eQP eQP-r1nByo C即 dAxox, yoy)Axo Byo Ax By.A2B2A2 B2思维拓展：如果在空间坐标系中, 量推导呢？是否也有点到平面的距离公式,并可用向空间点到面的距离公式:Zo) 0的距如图所示，求P(X1,yJ到已知平面 :A(x x。)B(y y。)C(z离.分析：根据点到直线距离的推导，我们很容易得平面的法向量n (A,B,C)，r该方向上的单位向量e -r，利用a e a cos a,e便可求得距离。nlunQPultuqp(A,B,C)(为 x,yi yz z)v A2-B2_C2A2 B2 C2II .思维延伸

15、：利用uuu如图所示，AB 方向投影得：uui rAB juuurACuiurACcos a,e ，推导射影定理、CB，记y轴方向上单位向量为 r uuu r j CB juuuruuur rAC cos AC, juuur ACcosunr rAC, juuurACcos(2A)uuur ACuuuuuu ruuuuuuCBcosCB, jCBcos(2)CBasi nB bsinAsin由整理得:我们知道就是正弦定理的一个部分。正弦定理、余弦定理j，我们将等式向y轴uuuCB cos CB, juuu rsin a第#页共12页射影定理和余弦定理证明见 四（3, 6） 。利用向量，既推导了

16、定理，同时也揭示了三个定理间的内在联系将延伸拓展后的二与三，有机的融合起来，便形成了本课题中最大的突破：思维的拓展与创新“面积向量”的引入四、思维拓展与创新：“面积向量”的定义与应用1.“面积向量”的定义从三中我们可以看到，运用“线向量”可以很便捷的推导出数学平面中常 用的一些结论，简单而且易懂。但它有一定的局限性，所以经我创新拓展后， 引入了 “面积向量”（简称“面量”）的概念。运用它，我们可以推导立体几何 中面与面间面与面、面与角、面与体的一些关系，从而省去了大量的证明过程。线段的定义：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段；、向量的定义：既有大小又有方向的量，即一条带有箭头的有向线段； 根

17、据线段与向量的定义，我们可以通过面积从而定义“面量”/一面量的定义:头的有向面积面量的方向:面量的大小:面积的定义：平面内物体表面或平面图形的大小叫做它们的面积； 平面内有大小又有方向的物体表面或平面图形，2.由于引入的“面量”没有具体的证明方法，所以我们将通过一些由面积内任意一点向面积的一侧进行发散的方向 以平行四边形为例，定义： S a b sin a,常理，间接的证明“面量”的正确性与存在性。已知长方体 ABCD ABCD ， 按照常识我们知道Sa ABBSddcc , Sa add Sbbcc。那么，运用“面量”能否说明这个常识呢？如果可以，那么便间接的证明了“面量”的存在性与正确性。

18、uuuuuir SD DCCuiuujurSb bccUUJUJUSA ABBUUUUJLT2左右平方，得：SddccUUUULUTSaaddUUUUUjrSbbccumumSd DCCUUJUJU 2Sb bccUUJUJU2Sa ABBUUUUUJhSaadd2Sb bccuuuuuu UUUUUur 2Sa abbSa adduuuluj uuuuurSa abbBC长方体ABCDABCD每相邻的面都互相垂直ULUUJUUUJUJUULULUUUUJUJUUULUUUJUJlir Sb bccSa abbEabbSa ADDSB BCCSAADDULUUJU UUJUJU又, 2Sb b

19、cc Sa add2SbbccSA ADDcos18002Sb bccuummSd dccULULUU 2Sa ABB ，即SdDCCSaabb等式的成立，间接说明了“面量”的存在性与可用性。3.利用“面量”推导四面体中的射影面积公式 （面与角间的关系）平面射影定理的向量证法：uur uuu umr在平面三角形ABC中，有AC AB BCumr r uuur r方向的单位向量，贝U: AC i AB i即：b acosC ccosA射影定理拓展创新：四面体中的射影面积公式的“面量”推导在四面体 A OCB , AO 面OCB , uur umir uuuur有 Ebc Sabo Saocuuu

20、murSacb ,令se为面obc的单位面量，uur uu则 Sobc Seuuur uuSABO Seumir uuSAOC Ss/面 AOC面 OBC ,面ABOuurSabouuSeuuurSaoCuuSe面OBCuuur uuSACB SeC-uuSecos0ouuuurSacbuu& cos（为面ACB与面OBC的夹角）-SoBCSacb cos即 cosSACB注：此结论也可用常规方法证明。4.利用“面量”推导三棱柱中的勾股定理（面与面间的关系）平面勾股定理的向量证法:求证：AC2BC2AB2uuuuuuruuu证明：v ABACCB，且AC BCuuu2uuuruur2uur2u

21、uur2二 ABACCBABACuuu 2uur 2uuu：2即AB2AC2 ABACCB已知：在直角三角形中，AC BC拓展创新：三棱柱中的勾股定理的“面量”证法已知：三棱柱 ABC ABC，其中面 AACC 面CBB C求证：SAAC CSCBB CSABB A证明：uuuuuuuuuuuuruuuuuuuuuuuu2uuuuuu uuuruu SABB ASAACCScbbcSABB ASAA C CSCBB C第9页共12页面角）ULULUU 2UUUJU2UUUJU2即 SABB ASAA C CSCBB C/面 AACC 面 CBBCululuu2SaaccULULUJ2 -Sab

22、baUJUJLW足BB CULULUU2SaaC C即 SAAC C常规方法证明:证明：令AC a,CCuuujur ujujuu2 Saa c c Ebb c90 (2 SAA C C 足BBC cs90UUULUU 2ScbbcSAbbab,CB c,则 SAACCa为面AACC与面CCBB的b，SCBB CC bc2 b2 b2(a2c2) AB . a2 c2即 SABBASAAC C,-SABB ASCBB Ca2 c2 b22 2 2 2、SABBAb (a C )通过上述应用，我们大概对“面量”有了基本的了解，下面我们将“面量拓展到较为复杂的四面体中。5.利用“面量”推导空间体积

23、公式（面与体间的关系）平面三角形“面积向量”与线向量的关系已知：平行四边形ABCD , AD BE 求证:证明：过B做BE AD，垂足为E ,UUUTSABDUJULTSABDlulultSABCD1r, 1rbh -a221b h , 且2uuultt2 SABDahrbrb拓展：在三棱柱中，是否也有关于体积与面积已知：平行六面体 ACBD ACBDuuurSACBuujltSABDruuuultb，SABCDba sin A1 1 sin A a1r -a 2a“向量”类似的关系呢?uuultrACBDc , VACBD1c=1 Is证明：过C做CD 面ABC，连接CD ,求证：VACB AC B CC与面ABC的夹角为由平面三角形面积公式可知:第15页共12页ULULT1rr1 .uuLuirSabcab二 Sacbd22uuuirSabc又Vabc AB CVABC A BCuuuuSabcCDC D 且 C D c sinuur rSabc C SinujurSabc1 ujuirACBD同理得：Vacbd acbduluult rScBD C 06.利用“面量”推导空间余弦定理（面与面与角间的关系）在上面较为复杂的情况下，我们讨论了射影面积。根据 二的“回路”原理