随机过程在金融中的应用6鞅和鞅表示

1、第六章第六章 鞅和鞅表示鞅和鞅表示 第一节第一节 离散鞅离散鞅 第二节第二节 连续时间鞅连续时间鞅 第三节第三节 鞅轨迹的特征鞅轨迹的特征 第四节第四节 鞅举例鞅举例 第五节第五节 鞅表示鞅表示 第一节第一节 离散鞅离散鞅 一、离散鞅的定义及性质一、离散鞅的定义及性质 定义定义1 若随机序列, 2 , 1 , 0,nx n 对任意0n，有 （1） | n xe （2） nnn xxxxe ),|( 01 则称 n x为离散鞅序列简称为鞅 首页首页 注无后效性 鞅的直观背景解释 设想赌徒在从事赌博过程中，他在第n年的赌本为 表示在已知前n年的赌本 的条件下，第n+1年的平均赌本。 而鞅 则表示这

2、种赌博使第n+1年的 平均赌本仍为第n年的赌本， 这种赌博称为公平赌博。 如果 n x为鞅，则它有某种 即当已知时刻 n 以及它以前的值 n xx, 0 ， 那 么 n+1 时 刻 的 值 1n x对 n xx, 0 的 条 件 期 望 与时刻 n 以前的值 10 , n xx无关，并且等于 n x n x ),|( 01nn xxxe n xx, 0 nnn xxxxe ),|( 01 首页首页 定义定义2 对任意0n，有 （1） | n xe （2） 简称 为鞅 设 n x及 n y，, 2 , 1 , 0n，为两个随机序列， n x是 n yy， 0 的函数； （3） nnn xyyxe

3、 ),|( 01 则称 n x关于 n y为鞅， n x 首页首页 定理定理1 充分性显然证证 n x关于 n y是鞅的充要条件为， 对 任 意 非 负 整 数 m， n（nm ） 有 nnm xyyxe),|( 0 必要性用归纳法来证 由假设知 （1） 当1nm时 （ 1） 成 立 。 设当knm（1k）时（1）成立，则有 ),|( 01nkn yyxe ,| ),|( 001nknkn yyyyxee ),|( 0nkn yyxe n x 即当1knm时（1）成立。 首页首页 性质性质1 常数序列 为鞅。 证证 性质性质2 即 证证 n c 其中ccn ),|( 01nn yyce ),|

4、( 0n yyce n cc 若 n x为鞅，则对任意0n，有 0 exex n n x的数学期望 n ex是一常数 0 ex ),|( 011nnn yyxeeex n ex 依次递推，可得 01 exexex nn 首页首页 例例1 令 且对任意且对任意 有有 证证 由条件期望的性质可得 设 n y（, 2 , 1 , 0n）为独立随机序列， 0 0 y k n k n yx 0 ),|( 01nn yyxe,| )( 01nnn yyyxe ),|( 0nn yyxe),|( 01nn yyye 1 nn eyx n x 0 n ey0n 则 n x关于 n y是鞅 | 0 k n k

5、n yexe 且 所以 n x关于 n y是鞅 首页首页 例例2 令 证证 （1） 设 n y是任一随机序列，x为满足 | xe的任一随机变量 ),|( 0nn yyxex0n 则 n x关于 n y是鞅 | ),|(| 0nn yyxeexe ),|(| 0n yyxee| xe （2）),|( 01nn yyxe ,| ),|( 010nn yyyyxee ),|( 0n yyxe n x 所以 n x关于 n y是鞅。 ,| ),|( 100 nn yyyyxee 首页首页 定义定义3 对任意0n，有 （1） | n xe （2） 简称 为上鞅 设 n x及 n y，, 2 , 1 ,

6、0n，为两个随机序列， n x是 n yy， 0 的函数； （3） n x 二、上、下鞅的定义及性质二、上、下鞅的定义及性质 nnn xyyxe ),|( 01 则称 n x关于 n y为上鞅 类似类似 下鞅 nnn xyyxe ),|( 01 首页首页 关于上、下鞅的的直观解释： 上鞅表示第n+1年的平均赌本不多于第n年的赌本， 即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博； 下鞅表示第n+1年的平均赌本不少于第n年的赌本， 即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博。 性质3 为鞅的充分必要条件是， 既为上鞅 也为下鞅。 性质4 上鞅 n x n x n x 下鞅 n x 下鞅 n x 上鞅 n x 首页首

7、页 性质5 上鞅 n x nnm xyyxe),|( 0 nm 0, 0nm 下鞅 n x nnm xyyxe),|( 0 nm 0, 0nm 证明 同定理1类似。用数学归纳法 首页首页 性质6 上鞅 n x 下鞅 n x nk exexex 0 nk 0 nk 0 证 由性质5得 kkn xyyxe),|( 0 上鞅 n x kkn exyyxee),|( 0 n ex nk exexex 0 首页首页 上鞅 性质7 、 上鞅 n x n y nn yx 下鞅 、 下鞅 n x n y nn yx 证证 对nm 有 ),| )( 0nmm yyyxe ),|( 0nm yyxe),|( 0n

8、m yyye 上鞅 n x n ynn yx 首页首页 上鞅 性质8 上鞅 下鞅 n x n y 证证 nn yx 下鞅 下鞅 上鞅 n x n y nn yx 由性质4及性质7立即可得结果 首页首页 性质9 鞅 n x 下鞅 证明 | n x 对nm 有 ),|(| 0nm yyxe | ),|(| 0nm yyxe| n x 例例3 设 ， 是在直线上整数点上的贝 努利随机游动，即它是一个以 为状态空间的时齐的马尔可夫链，它的转移矩阵 满足 n x , 2 , 1 , 0n , 2, 1, 0i )( ij pp 首页首页 其中 则 （1） 1|, 0 1, 1, ij ijq ijp p

9、 i i ij ppi，qqi，10 p，1 qp n x，, 2 , 1 , 0n是下鞅的充要条件是qp （2） （3） n x，, 2 , 1 , 0n是上鞅的充要条件是qp n x，, 2 , 1 , 0n是鞅的充要条件是qp 首页首页 证证设 其中 所以 故 nn xx 210 0 x表示初始位置 n 与 0 x独立 n ，,2, 1 ,0n相互独立，且具有同分布： pp n )1( qp n ) 1(1n 由 n x的定义知，1n 与 0 x， 1 x， n x独立 ),|( 011 xxxxe nnn ),|( 011 xxxe nnn ),|( 01 xxxxe nnn )( 1

10、 n e n xqp n x ),|( 011 xxxxe nnn n xqp 下鞅0 0 =0 上鞅 鞅 首页首页 三、停时三、停时 定义定义5 设 n y（, 2 , 1 , 0n）是一随机序列， 是取值 0，1，的一个随机变量， 若对任意0n， 事件n由 n yy, 0 决定， 意即只从 n yy, 0 的知识判别n与否， 也即 ),( 0nnn yy 则称关于 n y为停时，简称 为停时 首页首页 停时的直观背景解释： 设想赌徒在前n+1次赌博的赌本为 ， 那么停时就是这个赌徒决定何时停止赌博的策略。 停时的性质表示 这一事件只依赖于n时刻以 前（包括n时刻）的赌本，而与将来的赌本 无

11、关，即赌徒在时刻n是否停止赌博，只依赖于他过 去的经历，而与尚未见到的将来情况无关。 n yy, 0 n , 1n y 定理定理2 设是取值0，1，的一个随机变量， n y是随机序列 下列命题等价： 0n 首页首页 （1） （2） （3） 关于 n y为停时 其它0 1 ),( 0 n yy nnn 其它0 1 ),( 0 n yy nnn 证明证明 （1）与（2）的等价性 一方面),( 0 0 0 mm n m m n m n yy 另一方面 1 nnn 首页首页 例例4 （2）与（3）的等价性由如下两个等式关系即得 证证 所以 为停时。 1 nn 1 nn 设k（k 为一常数） ，则为停时

12、。 对任意随机序列 n y，有 kn kn yy nn 0 1 ),( 0 首页首页 令 例例5 即 为首次进入a的时刻，则 是停时。 设 a 为 n y的状态空间 t 的一个子集， min)(ayna n ： )(a)(a 证证 从)(a的定义直接得到 ),( 0)(nna yy 其他 若 0 , 1, 0,1aynjay nj 即)(a是停时。 注 若令 为最后进入a的时刻，则 不是停时。)(a)(a 原因是要确定 ，不仅要看 是否 取值在a中，还需知道全部 的情况。 na )( n yy, 0 , 1n y 返回 首页首页 第二节第二节 连续时间鞅连续时间鞅 一、定义一、定义 设 表示观

13、测由时间t为连续时间随机过程， 表示随时间流逝可得到的一系列信息集 信息集满足 , 0 ,tst , 0,tit 若tts tts iii 则称集合,0,tti t 为过滤过滤 如果 的值在每一 时包含于信息集 中， t s 0t t i , 0 ,tst, 0,tit则称适应于适应于 即表示给出信息集 ，就会知道价值 t i t s 首页首页 使用不同的信息集 就会产生顺序 的不同 的预期。 从而从而 可用条件期望表示成：可用条件期望表示成： 设 是一个随机过程，鞅鞅 信息集为 和概率为 p t i , 0 ,tst 即未被观测的未来价值的最好预测是 的最近观测 称过程 是鞅 t i t s

14、 ttisese tttt , 如果对所有0t，有 （1）给出 t i， t s就可知 （2）非条件期望是有限的，即 t se （3）并且如果 ttt sse，对于所有tt 有概率1 , 0,tst t s 首页首页 鞅过程的 基本特征 鞅是在给定当前信息集时，未来变化完全 不可测的随机变量。 鞅的未来变化的方向是不可能预测的。换句话 例如设 是一个鞅 t s 则在长度为0u的间隔内 t s变化的预期： ttutttutt sesesse 0 tt ss 即在一给定区间0u， t s变化的最好的预期是0 反之如果一个过程的轨迹呈现出一个可识别的长或 短期趋向，则这个过程不是鞅。 首页首页 鞅过

15、程 重要特征 一个鞅的定义是考虑信息集和一些概率标 准，如果改变与过程有关的信息集和概率， 这个过程就不再是鞅。 若一过程 不是鞅，就能通过修改相 关的概率标准p并且使 称为鞅。 二、鞅在资产定价方面的应用二、鞅在资产定价方面的应用 反之有 t x t x 1 通常贴现债券的价格随时间而增加，平均起来是上涨 如果 t b代表在时间t到期的贴现债券的价格 tt 则有 utt beb tut 债券的价格 即贴现债券价格的运动不是鞅 首页首页 2 通常一风险股票会有一正的期望收益。 其中 是一个正的期望收益率 股票价格 即风险股票不是鞅 对于一小间隔 可大体写成 ttt sse 3期权 期权有时间价

16、值，并且随时间流逝欧式期权价格会 下降。故也不是鞅。 首页首页 尽管大多数金融资产不是鞅，但可以把它们转化成鞅 4下鞅转化成鞅方法 第一种这是围绕趋向的偏离完全不可测，只要减 去期望趋向，变形的变量即是鞅。 道布迈耶分解 在一些普通条件下，一任意的 连续时间过程能被分解成一个 鞅和一个增长（或下降）过程， 后部分的消除即可产生鞅。 第二种找一个与给定的概率p等价的概率 ， 计算新的条件期望，使其成为一个鞅。 p 首页首页 债券价格 例如 股票价格 可以找一概率分布 以使债券或股票价格通 过无风险利率贴现变成鞅 p ttubbee tut rup t 0 , ussee tut rup t 0

17、, ussee tut rup t 0 , utt beb tut 返回 首页首页 第三节第三节 鞅轨迹的特征鞅轨迹的特征 一、鞅轨迹的描述一、鞅轨迹的描述 设 t x表示一资产价格 考虑在信息集 t i和概率p 情况下，则鞅的特征 ttt p xixe 0 是小的时间间隔 考虑鞅变化 t x= t x t x 由于 t x是鞅，则 0 tt p ixe 它意味着鞅的增量是完全不可测的。 首页首页 则无论 多么小，鞅就会呈现出非常不规则的轨迹。 事实上 若 呈现出任何肉眼能看出的趋势，则 就是可测的。 不规则轨迹在两种方式下发生，即连续或跳跃。其对 应的是连续鞅和右连续鞅 t x 连续鞅轨迹

18、对于任意0 0)( t xp 0 时间 连续鞅轨迹是连续的 首页首页 右连续鞅轨迹 轨迹被偶然的跳跃所 干扰，从而使轨迹成 为右连续。即在跳跃 点是鞅右连续。 时间 图2 连续平方可积鞅 设 是一连续鞅，且具有有限二阶矩： t x 2 t xe 则称具有有限方差的过程 为连续平方可积鞅。 t x 注连续平方可积鞅非常接近于布朗运动。 首页首页 例例1构造一个具有两个相互独立泊松过程的鞅 假设金融市场由“好”和“坏”的消息影响。忽 略消息内容，但保留其好或坏的信息。且用 假定到达金融市场的信息与过去完全无关，并且 好、坏信息是完全独立的。 假定在一微小间隔 内至多有一个好或坏信息能 发生，并且这

19、两种信息发生的概率一样。 g t n表示到t时间所有好信息数， b t n则代表坏信息数 即增量变化的概率可表示为 ) 1( g t np=) 1( b t np 则变量 是鞅 t m= g t n b t n 首页首页 证明 则条件期望 其中 故 t m的增量在微小间隔内可表示成 t m= g t n b t n b tt g tttt neneme 1)1 (0 g tt ne b tt ne 0 tt me 因此在信息 t i下 t m的增量是不可预测的， 即 是鞅。 t m 首页首页 说明假设好消息的概率比坏消息的概率大， 则 就不是鞅。 t m 若 gg t np) 1( bb t

20、np) 1( 则 0 bg tt me 故 不是鞅。 t m 首页首页 二、鞅轨迹的特征二、鞅轨迹的特征 设 t x代表连续平方可积鞅的轨迹， 选一时间间隔, 0t，并考虑时间 i t tttttt nn 1210 0 定义轨迹 的变化 n i tt ii xxv 1 1 1 2 1 2 1 n i tt ii xxv 4 1 4 1 n i tt ii xxv 首页首页 观察 重要特征 首先 1 v， 2 v， 4 v 设 t x连续且有非0方差即 0)( 1 ii tt xxp， （ 1 ii tt） 对任意的0有 且当间隔,0t分的越来越小时，有 0)0( 2 1 1 ii tt n i

21、 xxp 由于 |max 11 2 1 iiii tt i n i tt xxxx n i tt ii xx 1 1 意味着 12 1 maxvxxv ii tt i 首页首页 有 12 1 maxvxxv ii tt i 当 1 ii tt时 0max 1 ii tt i xx 又因为 t x是一个有非 0 方差随机过程 即有 0 2 v 故 1 v 2 2 4 max 1 vxxv ii tt i 由于 故有 0 4 v 首页首页 1变化 会趋向于无穷大并且连续鞅会变得 非常不规则 二次变化 收敛于一定义的随机变量 1 v 2 2 v 3所有更高级变化在一些概率情形下会消失 意味着更高级变

22、化并不包括比 更多 的信息，即如果人们确信标的的过程是连 续鞅，则更高级变化可被忽略。 1 v， 2 v 意味着无论轨迹如何不规则，鞅是平方可积 且小于间隔的增量的平方和是收敛。即能被 用于一有意义的等式。 意味着在连续平方可积鞅中不是非常有用的 实用的量。 鞅 轨 迹 特 征 返回 首页首页 第四节第四节 鞅举例鞅举例 布朗运动布朗运动例例1 即 若增量 相互独立， 设 t x是一连续过程，其 t x增量服从正态分布 t x),( 2 n t x 0)( tu xxe 则有 问 是鞅吗？ t x 首页首页 由于由于 即 则在给出的概率分布以及到时间 t 观察到的信息 的期望 故 不是鞅。 t

23、 x 过程 t x是无穷小增量 t dx的累积 tt utt dxxx 0 0 tt t uttttt dxxexe tt t uttt dxexe ttttt xxex tttt xex tx t t x 首页首页 说明说明1 若做新过程 则 是一个鞅。 txz tt t z 因为因为 )(ttxeze tttttt )()(ttxxxe ttttt )(ttxxex ttttt )(tttx t tx t t z 则则 是一个鞅。是一个鞅。 t z 首页首页 此为例此为例3：指数过程：指数过程 说明说明2考虑转换考虑转换 2 exp 2 txs tt 其中是任意实数， t x的均值是 0

24、则此转换能将则此转换能将 变成鞅，变成鞅， t x 即 是鞅。 t s 首页首页 平方过程平方过程例例2 初始点为初始点为 令令 问 是鞅吗？ 考虑一个在小间隔内有不相关增量的过程 t s： t s), 0( 2 n 0 0 s 2 tt sz t z 解 给一间隔，考虑 t z增量的预期 tt ze 首页首页 这说明 的增量是可测的，故 不是鞅。 可将 转换成是鞅。 t z 说明 tt ze )( 22 ttttt sssse 22 ttt sse 2 ttt sse 2 t z t z tzy tt 2 tzye tttt 2 若令 则 t y 2 tt se t sd 首页首页 但由 表

25、示的补偿泊松分布 例例4右连续鞅右连续鞅 所以有一个明显的向上趋势， 即 不是鞅。 考虑泊松累加过程 t n 由于 t n是累加过程并且跳跃的数量会随时间增长 t n t n tnn tt 就是鞅。且是方差有限、平方可积鞅。 首页首页 注例子再次描述了同一理论 如果一随机过程不是鞅，那么通过抽取一适当 的均值就能变成鞅。 在金融市场中，人不能预期所观察市场风险证 券的价值能等于由无风险利率贴现的期望价值， 这有一个风险溢价。因此，任何风险资产价格， 若由无风险利率贴现就不是鞅。但前期讨论表 明这样的资产价格或许能被转化成鞅，这样的 转换在定价金融资产中非常有用。 返回 首页首页 第五节第五节

26、鞅表示鞅表示 一、例子一、例子 假设一个交易者观察 i t时刻金融资产 i t s的价格 ttttt kk 110 若每一时间间隔非常小，且市场是“流动”的，则 资产价格就有可能表现出至多一个向上或向下的过 程 即 的变化可表示为 p p s i t 1, 1 , 1 概率为 概率为 i t s 并且假设 是相互独立的。 i t s 首页首页 若特别特别则 的期望价值就等于0。2/1p i t s 如何构造标的的概率空间： 首先需要构造一个由所有可能价格变化的样本路径 或轨迹组成的集合，即样本空间。它的元素由一系 列 构成。 问题问题1 11 和 其次定义与这些轨迹有关的概率，当价格变化是相

27、互独立的（且是有限的），则序列的概率是每一价 格变化的概率相乘。 1, 1, 1, 1 121 kk tttt sssss 如轨迹为 则有 22 )1 ()( kk ppsp 这就解决了资产价格变化的序列。 首页首页 如 其次其次资产价格水平 衍生证券通常写成其本身的价格 就可从随后的变化中得到资 产价格的水平 500& ps的期权 在给出开盘价 0 t s情况下， k i tttt iik ssss 1 )( 10 由于 是由 的和构成，那么可以用轨迹 概率的方法得到 的概率分布。 k t s i t s s k t s 如果所有的 是由+1的变化组成的，即 i t s k tt pkssp

28、 k )( 0 k t s的最高的可能的价值是kst 0 则概率取 例如例如 首页首页 同样 其产出的概率是 k t s的最低的可能的价值是ks t 0 k tt pkssp k )1 ()( 0 一般地通常价格会落在 之间的某处 kss ttk 0 和kss ttk 0 如在所有k个增量变化中，有m个+1的变化、 个 的变化，mk 1km 则 i t s的价值是 )( 0 mkmss ttk 其概率为 mkmmk ktt ppckmssp k )1 ()2( 0 此概率为二项分布，当 ，它收敛于正态分布k 首页首页 问题2 考虑由上式给出的概率的期望： k t s是鞅吗？ , 110 kk

29、tttt p sssse )1)(1()1( 1 pps k t kkk ttt sss 1 如果2/1p则 1110 , kkk ttttt p ssssse 这意味着考虑到包括过去价格变化 的信息以及这个特 殊的概率分布而定义的 是鞅。 i t s k t s )21 1 ps k t k t p se , 1101 kk tttt p sssse 首页首页 如果 然而定义中心过程 则 就转成鞅。 2/1p 则 k t s就不再是鞅 k i ttt pspsz iki 1 )21 ()21 ( i t z 说明 提供了一个概率空间的具体的讨论以及如何把概率 理论应用于与资产定价有关的各种轨迹。 或 ) 1)(21 (kpsz ki tt 首页首页 二、道布二、道布迈耶分解迈耶分解 考虑一个在任何时间 向上的概率大于向下 的概率的情况的特殊资产，以此期望一个在观 察轨迹中的向上趋势。 则 意味着 i t 2/11 p )21 (, 1110 pssssse kkk ttttt p 1110 , kkk ttttt p ssssse 即 k t