几种特殊类型行列式及其计算

1、1行列式的定义及性质 1.1定义 n级行列式 .c ai1ai2 an1an2 a1n a2n III ann 等于所有取自不同行不同列的个 n元素的乘积a1jj2 |anjn （1）的代数和,这里 川2川jn是 1,2j|,n的一个排列,每一项（1）都按下列规则带有符号：当 恥川jn是偶排列时,带正号，当 j1j|jn是奇排列时，带有负号这一定义可写成 ana)2 a21a22 ain a2n an1 a；2 I j1j2|jn ann 这里表示对所有n级排列求和. j1j2|jn 1.2性质 性质1.2.1行列互换，行列式的值不变. 性质1.2.2某行（列）的公因子可以提到行列式的符号外

2、性质1.2.3如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列 式的和；这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）与原行 列式相同. 性质1.2.4两行（列）对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零. 性质1.2.6某行（列）的倍数加到另一行（列）对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7交换两行（列）的位置,行列式的值变号. 2行列式的分类及其计算方法 2.1箭形（爪形）行列式 这类行列式的特征是除了第1行（列）或第n行（列）及主（次）对角线上元素外的其他元素均 为零，对这类行列式可以直接利用

3、行列式性质将其化为上（下）三角形行列式来计算即利用对 角元素或次对角元素将一条边消为零. 例1计算n阶行列式 解将第一列减去第二列的 a!111 1 1a20 | 0 10a3 0 III III III f 10 0| an D &2乱 n an 0. 丄倍，第三列的丄倍第n列的 a2 倍，得 a1 1 III a2 0 0 III 0 as an a2 0 III 0 0 H an n ai i 2 a1 1 i 2 ai 2.2两三角型行列式 这类行列式的特征是对角线上方的元素都是 c,对角线下方的元素都是b的行列式，初看, 这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来

4、，对这类行列式，当 b c时可以化为上面列举的爪形来计算，当 b c时则用拆行例）法9来计算. 例2计算行列式 ai c c c b a2c c Dn b b a3 c III III III III b b b an 解当b c时 ai b bi b b a2 bi b Dn b b a3i b II III III III b b bi an 将第2行到第行n都减去第1行，则Dn化为以上所述的爪形，即 a b b b b a1 a2 b 0 0 Dn b a1 0 a3b 0 III III 111 b a1 0 0 an b 用上述特征1的方法，则有 a1 a1 a1 al a1 o o

5、 an n i 1 ai n b b i 1 当b c时，用拆行（列）法 9 则 X1 a a b X2 a Dn b b X3 III Id III b b b a b 川 a 1 b ai ! b 川 an b . a X a a I |la 0 a b X2 a a 0 a b b X3 a 0 II III III III Xn b b b 1b Xn b 化简得 Dn 而若一开始将 Xn拆为a Dn 由 1Xnb 2Xn X1 b b III III III b X2 a b X3 x1aa bX2a bb IIIIIIIII b X3 Xnb X1 b a III b a 0 x2

6、a III b a 0 Xn Xn Xn b Dn 1. Xi Xi aX2 ，则得 b X2 III III Xn Xn Dn 1 . Xn 1 Xn Dn 1 . n Xj j 1 有一些行列式虽然不是两三角型的行列式，但是可以通过适当变换转化成两三角型行列 式进行计算 例3计算行列式 d b b | ! b c x a a Dn c a x a n 2 III III III c a a 1 X 将第一行b，第一列a，得 a2d bc a a I a bc a x a a DnT a a a x a III III 111 III a a a X 即化为上21情形，计算得 Dn d x

7、a n 1 ad be x a 而对于一些每行（列）上有公共因子但不能像上面一样在保持行列式不变的基础上提出公 共因子的，则用升阶法8来简化. 例4计算行列式 Dn 1 x12 X2N IO XnX %x2 1 %2 III XnX2 NX XX! Ill 2l 解将行列式升阶，得 1 X X2 X 0 1 xj X1X2 X1Xn 0 X2X1 1 X22 X2Xn III bl IH 0 XnX1 XnX2 1Xn 倍，得 Dn Xn 将第i行减去第一行的Xi i 2，|，n 1Xfx2 Xn 0 X11 0 Dn X20 1 0 III III III Xn0 0 1 1的方法计算可得

8、n 1 Xi2 i 1 X1 X2 HI Xn 0 1 0 0 Dn 0 0 1 | 0 HI bl III H 0 0 0 1 1 1 这就化为了爪形，按上述特征 n 2.3两条线型行列式 这类行列式的特征是除了主（次）对角线或与其相邻的一条斜线所组成的任两条线加四个 .e 顶点中的某个点外，其他元素都为零，这类行列式可直接展开降阶，对两条线中某一条线元 素全为0的，自然也直接展开降阶计算 例5计算行列式 解按第一行展开可得 a3 Dna1 a? 川an Hl b2 11( an 1 Hl tn 1 an 1 tn 1 例6计算行列式 tn an 1 bn 1 D2n 解方法1直接展开可得

9、cn 1 bi d1 dn 1 dn an 1 * I k a1bi bn 1 i h 0 1 2n 0 an 1 1 4 a1 1 h bi bn 1 D2nan Cn 1 0 c1d1 k 4 1 I 1 d n 1 dn bn1 Cn 4 Cn 1 C1 d1 I 1 d n 1 0 an 1 4 bn 1 1 1 an 1 a t bn 1 a1 b t bnCn 2n 11 b a1 a. 1 G 4 a * 1 C1 4 d1 * P cn 1 1 dn 1 P Cn 1 1 dn 1 andnbnCn andn D2 n 1 D2n andnbncn D2 n 1 andn bn

10、Cn an 1dn 1 bn 1Cn 1 D2 n 2 III aidi bG . .C 方法2 （拉普拉斯定理法3）按第一行和第2n行展开得 bn 1 D2n an bn dn 1 2n 1 2n 1 ai Ci bi di dn 1 andn bnCn D2 n 1 其余的同法1. 2.4 Hessenberg 型行列式 这类行列式的特征是除主（次）对角线及与其相邻的斜线，再加上第1或第n行外，其他元 素均为零，这类行列式都用累加消点法，即通常将第一行 （列）元素化简到只有一个非零元素, 以便于这一行或列的展开降阶计算. 例7计算行列式 123) n 1n 110 i00 0 2 2 i0

11、0 Dn 111 II) III II II HI III ill III 川 n 22 n 0 000I” n 11 n 解将各列加到第一列得 按第一列展开得 Dn 2.5三对角型行列式 n n 1 2 0 0 Ill mm n 2 III 0 0 III 2 0 0 HI 0 1 n 0 2 III 0 0 HI 2 0 0 III 0 1 n 形如Dn 的行列式，这类行列式的特征是除这三条斜线上元素外，其 他元素均为零，这是一递推结构的行列式，所有主子式都有同样的结构，从而以最后一列展 开，将所得的n 1阶行列式再展开即得递推公式.对这类行列式用递推法 例8计算行列式 a b cab D

12、nc “ I I 解按第一列展开有 Dn aDn 1 beDn 2 解特征方程x2 ax be 0得 Xi aa2 4bc ,X2 a、a2 4bc 2 Dn n 1 X1 n 1 X2 xi X2 ,Xi 例9计算行列式 Dn 解按第一行展开得 Dn 9Dn 1 20 0. 解特征方程得 Xi 4,X2 5. Dn a4n1 n 1 b5 分别使n 1,2得a 16,b 25,则 Dn 5n1 4n1 2.6各行（列）元素和相等的行列式 这类行列式的特征是其所有行 （列）对应元素相加后相等，对这类行列式，将其所有行 （列） 加到第一行（列）或第n行例），提取公因式后，再把每一行都减去第一行

13、例），即可使行列式中 出现大量的零元素. 例10计算行列式 1a1a1 a a21 a2 a2 III III anan 1 an 得 Dn 解将第2行到第n行都加到第1行, .c Dn 1 a1 HI an 1 印川 a. 1 a1 HI an a2 1a2 a2 III III III an an 1 an 1 1 a2 a2 1 ai III an III an 1a2 III an III 1 an ai III an 1 0 HI HI 0 0 1 0 1 a1 III 2.7相邻两行（列）对应元素相差 这类行列式的特征是大部分以数字为元素且相邻两行 1的行列式 （列）元素相差1的行

14、列式，对这类行 列式，自第一行（列）开始，前行例）减去后行（列），或自第行n （列）开始，后行例）减去前行（列）, 即可出现大量元素为1或1的行列式, 若相邻两行例）元素相差倍数k， 再进一步化简即出现大量的零元素 则前（后）行（列）减去后（前）行（列）的k倍，可使行列式出 现大量的零元素. 例11计算行列式 Dn 解依次用前行减去后行，可得 Dn 现将第1列加到第2列至第n列，得 例11计算阶n行列式 Dn 1 n 1 a n 2 a 2 2n 3 2 2n 4 2n2 a 1 n 1 a n a n a n a n 1 a n 2 a n 3 a 解这是相邻两行（列）相差倍数a， Dn n 1 a 0 0 3 a 2 a 4 a 3 a 可米用前行减去后行的 a倍的方法化简得 0 n 1 a 0 0 0 n 1 a n a n 1 a 2.8德蒙德型行列式 这类行列式的特征是有逐行（列）元素按方幕递增或递减，对这类行列式可以转化为德蒙德 行列式来计算. 例12计算