2020年高考数学专题讲解：双曲线

1、2020年高考数学专题讲解：双曲线（一）高考目标考纲解读1了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质2了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用3理解数形结合的思想考向预测1双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点；直线与双曲线的位置关系有时也考查，但不作为重点2主要以选择、填空题的形式考查，属于中低档题目（二）课前自主预习知识梳理1双曲线的概念我们把平面内到两定点f1，f2的距离之差的等于常数(大于零且小于)的点集合叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的，两焦点间的距离叫集合pm|fm1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a、c为常数且a0，c0：(1)当时，p点

2、的轨迹是；(2)当时，p点的轨迹是；(3)当时，p点2双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示)1(a0，b0)1(a0，b0)标准方程焦点焦距x2y2a2b2f1，f2|f1f2|y2x2a2b2f1，f2c2性质范围对称性顶点轴|x|a，yr|y|a，xr关于和对称(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)实轴长，虚轴长第1页共15页e(e1)离心率ca3.基础三角形如图，aob中，|oa|a，|ab|，|ob|c，tanaob，2d中，|f2d|.2d.5a.6b.5c.6a2a2所以，根据c2a2b2，可得，解得e2，e，故选d.（三）基础自测1(新课标文)中心在原点，焦点在x轴上的双

3、曲线的一条渐近线经过点(4，2)，则它的离心率为()2答案d解析本题考查了双曲线的渐近线方程，离心率的计算，在解题时应首先考虑根据题意求得参数a，b的关系，然后利用c2a2b2求得离心率，题目定位于简单题x2y2b设双曲线的标准方程为a2b21(a0，b0)，所以其渐近线方程为yax，因为点(4，2)在渐近线上，b1c2a2155442x2y22设p是双曲线a291上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，f1，f2分别是双曲线的左、右焦点，若|pf1|3，则|pf2|等于()a1或5b6c7d9解析由渐近线方程yx，且b3，得a2，22答案c32由双曲线的定义，得|pf2|pf1|4，又|

4、pf1|3，|pf2|7.x2y23(江西文)设f1和f2为双曲线a2b21(a0，b0)的两个焦点，若f1，f2，p(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为()35a.b2c.d3答案b第2页共15页由题意可得cb，即c2b2，又b2c2a2，c2(c2a2)，解得e2.4设f1，f2分别是双曲线x1的左、右焦点，若点p在该双曲线上，且pf1pf20，则p点的纵坐标为（)9解析考查三角形中的边角关系及双曲线离心率的求法234334c3ay22a.91010101010910910bc310d设p(x0，y0)，由题意可知f1(10，0)，f2(10，0)，则pf1(10x0，y0

5、)，pf2(10x0，y0)，10y02pf1pf2x02y021090，y02，y0.4112y2又由双曲线的渐近线方程为y3x得3b3a，6双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为_43解析双曲线的渐近线方程为yx，或.当时，e；当时，2a4b4ca216a3答案b解析数学高考命题重视知识的相互渗透，往往在知识点的交汇处设计试题平面向量作为代数和几何的纽带，素有“与解析几何交汇，与立体几何联姻，与代数牵手”之美称，它与解析几何一脉相承，都涉及到数和形，对于解析几何中图形的重要位置关系(如平行、相交、三点共线、三线共点等)和数量关系(如距离、面积、角等)，都可以通过向量的运算而得到解决8

6、191091010x2y25(天津卷)已知双曲线a2b21(a0，b0)的一条渐近线方程是y3x，它的一个焦点与抛物线y216x的焦点相同，则双曲线的方程为_答案x2解析本题考查了双曲线的标准方程与几何性质由抛物线y216x的焦点坐标为(4,0)，得c4.ba又c2a2b2，解得a2，b23.3455答案或3b3a3b3c2a294a4b4a4a216c5a3a29c5，e.7如图，已知圆a的方程为(x3)2y24，定点c(3,0)，求过定点c且和圆a外切的动圆的圆心p的轨迹方程第3页共15页焦点的双曲线的右支，故点p的轨迹方程为x21(x1)解析依题意得|pa|pc|2.又|pa|pc|，且

7、|ac|62.由双曲线的定义，知点p的轨迹是以a，c为y28（四）典型例题1.命题方向：双曲线的定义及标准方程例1已知动圆m与圆c1：(x4)2y22外切，与圆c2：(x4)2y22内切，求动圆圆心m的轨迹方程分析设动圆m的半径为r，则|mc1|rr1，|mc2|rr2，则|mc1|mc2|r1r2定值，故可用双曲线定义求解轨迹方程解析如图，设动圆m的半径为r，点m的轨迹方程是1(x2)则由已知得|mc1|r2，|mc2|r2.|mc1|mc2|22.又c1(4,0)，c2(4,0)，|c1c2|8，221，得到点(1,0)到直线l的距离d1，同理得到点(1,0)到直线l的距离d2，sd1d2

8、a2b2a2b2a2b2c由sc，得c，即5ac2a22c2.解得e25.由于e1，所以e的取值范围是5e5.点评双曲线的标准方程和几何性质中涉及到很多基本量，如“a，b，c，e”等，树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何性质有很大帮助跟踪练习2x2y2双曲线a2b21(a1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(1,0)45xyabbaba2ab2ab.42ab45c5于是得5e212e2，即4e425e2250，5423.命题方向：直线与双曲线例3已知曲线cx2y21及直线lykx1.(1)若l与c有两个不同的交点，求实数k的取值范围

9、；(2)若l与c交于a、b两点，o是坐标原点，且aob的面积为2，求实数k的值1k20，x2y21，解析(1)由ykx1.消去y，得(1k2)x22kx20.由4k2k2，得k的取值范围为(2，1)(1,1)(1，2)(2)设a(x1，y1)、b(x2，y2)，1k22k由(1)得x1x21k2，x1x22.又l过点d(0，1)，111|x2|oaboadobd2|x1|22|x1x2|2.第6页共15页1k22k(x1x2)2(22)2，即(1k2)288.k0或k62.跟踪练习3已知中心在坐标原点的双曲线c的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)(1)求双曲线c的方程；(2)若直线lykx

10、2与双曲线c恒有两个不同的交点a和b，且oaob2(其中o为原点)，求k的取值范围故所求双曲线方程为y21.(2)将ykx2代入y21,x2y2解析(1)设双曲线方程为a2b21(a0，b0)，由已知得a3，c2，b1.x23x23可得(13k2)x262kx90，由直线l与双曲线交于不同的两点得13k2062k23k2k2，故k2且k22得x1x2y1y22，2213k213k23k1由得k22，解此不等式得3k23133)(，1).（五）思想方法点拨：1双曲线方程中的a、b、c、e与坐标系无关，只有焦点坐标、顶点坐标有关因此确定一个双曲线的标准方程第7页共15页渐近线的斜率为或，它与离心率

11、可通过以下关系联系起来be22需要三个条件：两个定形条件a、b，一个定位条件焦点坐标求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹方法注意：当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，根据条件，可分别设出两种标准方程，或者将方程统一设为mx2ny21(mn0)2直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，求解问题的类型也相同唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切3注意总结椭圆、双曲线相似的地方，例如过焦点弦问题、通径长、弦长、焦点三角形的周长、面积等，这里面蕴含圆锥曲线的许多共性问题，注意总结以提高解题能力4几种特殊情况的标准方程的设法x2y2x

12、2y2与双曲线a2b21共渐近线的双曲线方程为a2b2(0)nx2y2渐近线为ymx的双曲线方程为m2n2(0)x2y2x2y2与双曲线a2b21共焦点的双曲线方程为a2b21(b2b0)有共同焦点的双曲线方程为a2b21(b2a2)5双曲线的渐近线的斜率与离心率的互化aabc2a2b2baa21a2.（六）课后强化作业一、选择题1(安徽理)双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为()2b.解析将方程化为标准方程x21c21，c，故选c.256a.，0，0c.，022答案cy212136222d(3，0)(f2全国卷文)已知f1、2为双曲线c()x2y21的左、右焦点，点p在c上，f1pf

13、260，则|pf1|pf2|a2b4c6d8答案b解析该题考查双曲线的定义和余弦定理，考查计算能力在1pf2中，由余弦定理第8页共15页|pf1|2|pf2|2|f1f2|2pf1|pf2|f1f2|22|pf1|pf2|2|pf1|pf2|2|pf1|pf2|2|pf1|pf2|pf1|pf2|2cos604a24c22b211，故|pf1|pf2|4.y2f3设f1、2分别是双曲线x291的左、右焦点，若点p在双曲线上，且pf1pf20，则|pf1pf2|等于()a.10b210c.5d25pf1pf20，|pf1|2|pf2|2|f1f2|24c240(pf1pf2)2|pf1|2|pf

14、2|22pf1pf240|pf1pf2|210.答案b解析由题意知：f1(10，0)，f2(10，0)，2c210，2a2.4双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()41ab4c4d.14将m代入已知方程，变为y21，2b.10a.522d.5答案a解析曲线mx2y21是双曲线，mn0)和双曲线ab1(a0，b0)有相同的焦点f1、f2，点p是两条曲线的一个交点，则|pf1|pf2|的值为()第9页共15页2d.maama1b.(ma)cm2a2答案a解析由题意|pf1|pf2|2m，|pf1|pf2|2a，两式平方后相减，得|pf1|pf2|ma.7(辽宁理)设双曲线的一个焦点

15、为f，虚轴的一个端点为b，如果直线fb与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()2d.51b.3c.31a.22渐近线方程为yx，kbfa1，即bae或e(舍去)e，故选d.8点p是双曲线y21的右支上一点，m、n分别是(x5)2y21和(x5)2y21上的点，则|pm|答案dx2y2解析如图，设双曲线方程为a2b21，f点坐标为(a2b2，0)，b点坐标为(0，b)，babb1，a2b2aa2b2b2，即acc2a2，c2c10，aa即e2e10，151522152x24|pn|的最大值是()a2b4c6d8答案c解析如图，当点p、m、n在如图所示位置时，|pm|pn|可取得最大

16、值，注意到两圆圆心为双曲线两焦点，故|pm|pn|(|pf1|f1m|)(|pf2|f2n|)|pf1|pf2|f1m|f2n|2a26.二、填空题第10页共15页答案521x2y2b9双曲线a2b21(ab0)的左、右焦点分别为f1、f2，线段f1f2被点(2，0)分成3的离心率为_212两段，则此双曲线解析(c)(c)3bb222.22acb，ac2b2b，e.21解析由1知a24，b232，521c552121x2y210(江西理)点a(x0，y0)在双曲线4321的右支上，若点a到右焦点的距离等于2x0，则x0_.答案2x2y2432c2a2b236，c6.右焦点为(6,0)，则由题意

17、得x02y024321，x2y22x，0002解得x05或x02.答案27点a在双曲线的右支上，x02，x02.在abc中，bc2ab，abc120，则以a，b为焦点且过点c的双曲线的离心率是_分析先根据余弦定理用ab、bc表示ac，再根据双曲线的定义和离心率的概念求解3解析设ab2c(c0)，则bc4c，根据余弦定理acc2c222c4ccos12027a2a27c4cc，根据双曲线定义，2aacbc27c4c，故该双曲线的离心率为.724c2c2c1273三、解答题12求下列双曲线方程5(1)虚轴长为12，离心率为.(2)与双曲线x2y29161有共同的渐近线，且过点(3,23)解析(1)

18、当焦点在x轴上时，x2y2设所求双曲线的方程为a2b21，(a0，b0)第11页共15页解得b6，ca，2b12，由题意，得c5a4，54b2c2a2a236，a8.焦点在x轴上的双曲线的方程为1.同理，可求焦点在y轴上的双曲线的方程为1.因此，双曲线的方程为1和1.(2)设所求双曲线方程为(0)，将点(3,23)代入得，所以双曲线方程为.即：1.故点c的轨迹方程是x21，916x2y26436y2x26436x2y2y2x264366436x2y291614x2y219164x2y294413已知点a(3，0)和点b(3，0)，动点c到a、b两点的距离之差的绝对值为2，点c的轨迹与直线yx2

19、交于d、e两点，求线段de的长分析求双曲线方程，联立方程组，结合根与系数的关系求弦长x2y2解析设点c(x，y)，则|ca|cb|2，根据双曲线的定义，可知点c的轨迹是双曲线a2b21.(a0，b0)由2a2,2c|ab|23，得a21，b22，y22由x2y212，消去y并整理得x24x60.yx2因为0，所以直线与双曲线有两个交点设d(x1，y1)，e(x2，y2)，则x1x24，x1x26，y1y2故|de|x1x2224x1x245.2x1x22点评(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长(2)当弦的两第12页共15页5(2)设直线l与y轴的交点为p

20、，若papb，求a的值端点的坐标不易求时，可用弦长公式(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况x214设双曲线c：a2y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点a，b.(1)求双曲线c的离心率e的取值范围；12x2解析(1)将yx1代入双曲线a2y21中得(1a2)x22a2x2a201a20由题设条件知，4a48a2a2，又双曲线的离心率e1a20a6且e2.5papb，x2x22121a2121a2消去x2得，1a260a0，a.15(文)已知椭圆21(a1b10)与双曲线221(a20，b20)有公共焦点f1、f2，设p是它们的一解得0a0)是常数时，求1pf2的面积的最

21、大值解析(1)如图所示，令f1pf2.因|f1f2|2c，则a12b12a22b22c2.即a12a22b12b22由椭圆、双曲线定义，得|pf1|pf2|2a1，|pf1|pf2|2a2(令|pf1|pf2|)，第13页共15页|pf1|2|pf2|24c2（a1a2）2（a1a2）2（a12b12）（a22b22）2|pf1|pf2|a12a22b12b22b12b22a12a22b12b22所以f1pf2|pf1|pf2|sin(a12a22)2122b1b22bb2(理)(四川理)已知定点a(1,0)，f(2,0)，定直线l：x，不在x轴上的动点p与点f的距离是它到直线韦达定理及mffn作出判断所以|pf1|a1a2，|pf2|a1a2cos.