2019年5月2019届高三第三次全国大联考(江苏卷)数学卷(全解全析)

1、 2019 年第三次全国大联考【江苏卷】数学i全解全析2 - iz = i(1- 2i)=2 + iz = 2 - i 故填2 - i，则 .1【解析】20,1, 2【解析】由题意可知，a =y | y 0，又 b =-1,0,1,2，故a b = 0,1,2故填 0,1,2.1.8,1.9, 2.1, 2.3, 2.432.1【解析】将这 5 位学生的立定跳远成绩按从小到大的顺序排列为立定跳远成绩的中位数为 2.1 米，故填 2.1，故这 5 位学生413【解析】第 1 次循环，;r = 36 -15 = 21 0, m = r = 21, n = 15 -1 = 14r = 21-14 =

2、 7 0, m = r = 7, n = 14 -1 = 13第 2 次循环，;r = 7 -13 = -6 0,输出n = 13故填 13.第 3 次循环，(-1, 4)-1 x 4 ，故填(-1, 4).5【解析】原不等式等价于0 x +1 3x + 5 ，解得22|aa |1, 3, 2(1 i j 6) | a a ，6 【解析】由已知得，|1, 2| a a |= 3(1 i j 6)，5i jiji ja、a (1 i j 6)在这 6 个顶点中任意取2 个不同的顶点得到以下 15 条线段：a a ，a a ，a a ，1 21 31 4ij| a a |= 3(1 i 1, 所以

3、双曲线的离心率的平方为2 + 2，故e - 4e +2=0 ，解得或2，又422填 2+ 2 .(x , x )cx + x = c2 （其中 为双曲线的半焦距），方法二：由题意可设双曲线与圆的一个交点为，则220000c2 c - =12x = c2a 2b所以22 ，由221e = 2+，整理得c + 2a - 4a c = 0 ，即e - 4e +2=0 ，解得2442242202a + b = c222e = 2- 2 ，又e 或 21,所以双曲线的离心率的平方为2 + 2 ，故填2 + 2 .gg1 00 【解析】因为曲线 上的点到 (2, 0) 的距离比到直线 x = -5的距离小

4、 3，所以曲线 上的点到 (2, 0)y - yy - y8k的距离与到直线 x=-2的距离相等，故曲线 g :y =8x， 则2=x - x 11y + y ，mn212212y - y2112882188888k =pqk =mpk =，k =npk =qm同理可得，由于y + y+ yy + yy + ynqy + yy23344113248888yk = -k ，则= -+ y + y + y = -，可得0，由此可得y + yy + yy + yy + ympnq12341324412388k = -k，即k = -k ，故k + k + k + k = 0，故填 0.即，同理有=

5、-y + yy + yqmnpmnpqmnnppqqm12343233x cos x + 4sin x = 2 3 sin 3 x - 2 cos 3x + 2 =-2, 4g(x) = 4 3 sin11 【 解 析 】 依 题 意 ，222p 4 sin(3x - ) +2f (x) =g(x -) =4i sn3() x - 2 sin(3+ = -) 2-x +x 0, ，当，则时，- 43 66363 513x - - , sin(3x - ) - ,1f (x) -2, 4 ，故填-2, 4，则 .，66 662112 【解析】选取oa, ob+ -oc loa (1 l)ob0

6、1l，为基向量，设=，其中2数学 第 2 页（共 12 页） 1oblldc = do + oc = oa + ( - )ob，所以，因为 d 为 ob 的中点，所以od =22111lllllll2dc oc= oa + ( - )ob oa + (1- )ob = 6 - 6 + 2 = 6( - ) +所以因为322，221211l0 1=ldc oc取得最小值，为 ，故填 ，所以当时，222a - cb2 sin a- sinc sin b=,1【解析】由题中条件可得13(=，根据正弦定理可得，即cosc cos bcosccos b2(2sin a - sin c) cosb = s

7、in bcos c2sin acos b = sin(b + c) = sin a，因为 sin a 0，所以，所以p12ppppcos b =b(0, p)b = ，在锐角三角形abcc = - a a ，因为，所以中，由，得，233262pp 2p a+ 31p33所以，所以sin a + cos a = sin(a + )( ,1故填 ( ,1 36 322622aa22(x - ) -, x 0x - ax, x 011422(- ,0) (0, )h(x) =| x | (x - a) =，若a = 0 ，14【解析】令a824x2ax, x 0 a- +() +2- x -, x

8、02241(0, a f (x) =| x | (x - a) - t(1- a)有 3 个不同的零点，即函数h(x)显然不合题意；当时，若函数与21a2ay = t(1- a)2t(1 a) 0a (0, -，使 t 0有 3 个不同的交点， 则- - ，即存在直线424(1 -)aag(a) =-a(a - 2)g(a) =1g(a) 0a (0, g (a)2，求导可得成立，令减，所以，单调递4(1- a)，当时 ，4(1- a)221181g(a) g( )t 0；= - ，所以281a - , 0)f (x) =| x | (x - a) - t(1- a)h(x)当时，若函数有 3

9、 个不同的零点，即函数与直线21aa22a - , 0)，使0 t y = t(1- a)有 3 个不同的交点，则0 t(1- a) ，即存在成立，令4(1- a)24a(2 - a)4(1- a)21a2，求导可得m(a) =m(a) =时，m(a) 0，m(a)单调递减，所以a - ,0)4(1- a)，当21 11m(a) m(- ) =0 t ，所以.2 2424数学 第 3 页（共 12 页） 1111t (- ,0) (0, )(- ,0) (0,).综上所述，故填82482415（本小题满分14 分）的中点，m nbc，（4 分）m , n 分别为棱pb,pc【解析】（1）bc

10、平面 amnbc平面 amn又，.（7 分）pa = abmpb（2），点，（8 分）为棱的中点，ampbpbcpabpbc= pb，pbcpab am 平面又平面平面，平面平面.（12 分）amnamn 平面 pbc.（14 分）am 平面，平面16（本小题满分14 分）3 - tan btan a =【解析】（1）因为，1+ 3 tanbptan - tanbp3= tan(所以tan a =- b)，（2 分）p31+ tan tanb3pa = - b + kp, k z所以，3p= + kp, k z，a+ b所以因为3pa + b (0, p)a + b =，所以，32p所以c =

11、 p - ( a + b) =.（7 分）3a+ b + c = p 2sin acos b + sin c = 2sin( a + b)及 得（2）方法一：由2sin acos b + sin( a + b) = 2sin( a + b)，2sin a cos b = sin( a + b)2psin acos b -cos asin b = 0 ，即sin( a - b) = 0.即，化简得，所以pa+ b + c = p c及a b= =因为,（10 分）361a =1 3ac =由正弦定理得，得，sin a sin c2 332数学 第 4 页（共 12 页） 11 313abc 的面

12、积 s=所以acsinb = =1.（14 分）22 32 12p2pa + b = , c =方法二：由（1）得，33因为2sin acos b + sin c = 2sin( a + b)，33=22 sin acos b +，所以223，（10 分）所以sin acos b =4p3sin acos( - a) =所以所以，34pp34sin a(cos cos a+ sin sin a) =，33133所以 sin 2a +(1- cos2a) =，44413所以 sin 2a -cos 2a = 0，44tan 2a = 32p所以，p因为0 2 a 10，15675故有撞击障碍物的

13、危险，应紧急避让. （7 分）（2）汽车的瞬时速度为v = s，所以v = 15t - 2kt +1，汽车静止时v = 0，215t - 2kt +1 = 0 t 1, 2故问题转化为在内有解，215t +1122k =15t +t 1,2即在内有解，（9 分）tt111f (t) =15t +f (t) =15 -t 1,2， f (t) =15 -f (t)， 单调递增，记， 0ttt2261f (t) 在区间1, 2 上的取值范围为16,，261261416 2k ，即8 k ，61k故 的取值范围为8, 4.（14 分）18（本小题满分16 分）c2c(c 0)，【解析】（1）设椭圆

14、的焦距为2c2x y22c : +1(a b 0)=a =， 2c, b = c椭圆的离心率为，a b22a22x + 2 y = 2c椭圆 c 的方程为2 ，224xbt ( ,t)b (0, )-bbf两点距离之和最小的点为右焦点 ，设椭圆 c 的下顶点为 ， 轴上到 ,，3004bcttc= -f (c,0)4t ( , t)=，（4 分），三点共线，43，故33- c1642( - c) = 2cc = 1，故a =t又 为椭圆 上的一点，c+22 ，解得c，所以椭圆 的标准2, b = 193x2方程为+ y = 1（ 分）722llpmn 是以mpnp为顶角的等腰三角形，点（2）设

15、过原点且与直线 垂直的直线为 ，三角形0lc为直线 与椭圆 的交点.（8 分）0l当直线 的斜率不存在时，点 为椭圆 的左顶点或右顶点，此时，c|mn| = 2 |op|2,p,=数学 第 6 页（共 12 页） |op|6tan pmn = 2 ，|om |3ll直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，y = kx|op|2k = 0c时，点 为椭圆 的上顶点或下顶点，此时|mn| 2 2 |op| =1 tan pmn =p=,当=|om| 216k 0l，故可得直线 的方程为y = - x，故.（10 分）30k x y =12m(x , y ), n(x , y )+y消去 得，2(1+

16、 2k )x - 2= 0，设，由2221122y = kx-2x + x = 0,x x =根据根与系数的关系得，2k +1121222k + 22|mn| = 1+ k | x - x |= 1+ k (x + x ) - 4x x = 2，2222k +112121 222k + 22故|om | = |on| =，（14 分）2k +12 x2+ y = 1222k + 2得|op| =2,同理由1y =- xk + 22k12|op|k = 62k 16+2tan pmn =,=，解得，|om| 32k +321故直线 的斜率为 或1l-22x - 2 y = 0 x + 2 y =

17、 0或 .（16 分）所以直线 l 的方程为19（本小题满分 16 分）a2x - a2af (x) = 2x - =f (x) 的定义域为(0,+) ，, f (x) 0, 得 x =,【解析】（1）易知函数令=xx2aa时，f (x) 0时， ，, +)x(0, )x所以当( 22数学 第 7 页（共 12 页） aaaa) = - (ln +1)f (x)f (x)，x =f (所以所以在处取得极小值，又222 2a a- (ln +1)的极小值为；（6 分）2 2aaa2+1)= e - - af (e ) = e - a(，（8 分）（2）aa222a2令j(a) = e - - a

18、，a2j(a) = e - a -1，则ah(a) = e - a -1h(a) = e -1，令a，则aa 0e -1 0，所以h(a) (0,+)在a当时，上单调递增，（12 分），即j(a) 0，所以j(a) (0, +)在上单调递增，h(a) e - 0 -1 = 0所以0aj(a) e - 0 - 0 = 1(e ) 1. 16（ 分）2f所以0，即20（本小题满分16 分）a n(n+1)【解析】（1）因为数列的前 n 项积 2，t =2nna = t = 2 = 2，所以111n(n+1)t2n 22a =n= 2，当时，nntn-1(n-1)n22a = 2 (nn )所以n

19、*,nn(n+1)m =nn对任意正整数 ，令n(n+1)，满足*t = 2=a ，m22na 所以（2）所以是“r 数列”；（5 分）na a = 3q因为是等比数列,其首项,公比为 ，n1n-1n-1n*a = a q = 3q (n )，1n所以t a a a(n-1)n= 3 qn，= 3 qn1+2+ +(n-1)2n1 2n数学 第 8 页（共 12 页） a t = a是“r 数列”，所以对任意正整数 ，总存在正整数 ，使得nm，因为nnm(n-1)n(n-1)n3 q= 3qm-1q-(m-1)=31-nn即对任意正整数 ，总存在正整数 ，使得m，即n22(n +1)n(n -

20、1)n当m =时，得- (m -1) = 1- n ，且q = 32(n -1)n22n - 3n +4(n -1)n2- (m -1) + (1- n) = 0，且m =+ (2- n) =（显然m n*）时，得当221q =31所以公比q = 3或 ；（10 分）3q（3） 对任意的等比数列a q，设公比为 ，则a = a q = a ( )n-1nn-1 ，ann111qb = a , cn ，= b c (n )令n= ( )*an-1 ，则a1n1nnnnb 下面证明：为“r”数列nn(n+1)nb = a ,因为所以n(n +1n)a= a，t =1+2+ +n2n111取正整数m

21、 =，得t = b，2nmb 所以为“r”数列，nc 同理可以证明为“r”数列na b c a = b c，使得 ( n )成立（16 分）所以对任意的等比数列，总存在两个“r 数列”和n*nnnnnn数学（附加题）全解全析21【选做题】本题包括a、b、c、d 共 4 小题，请选定其中两小题，并 在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤a选修 42：矩阵与变换（本小题满分10 分）111 = -3【解析】因为矩阵 a 属于特征值-3的一个特征向量为a=a ，所以 -1 -1 ，得-1 1a - b = -3数学 第 9 页（共 12 页） ，

22、c - d = 3数学 第 10 页（共 12 页） 11 1a = 1 a=a=因为矩阵 a 属于特征值1 的一个特征向量为 ，所以 ，得（5 分）000c = 02 联立，解得a = 1, b = 4, c = 0, d = -3，1 4a =所以（10 分）0 -3b选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）r qr ql，所以直线 的直角坐标方程为x- y - 3 = 0x = cos , y = sin【解析】因为，p其倾斜角为4p( 3, 0)，过点，px =+ t cos2x =+t3342tt（ 为参数）所以直线l 的参数方程为（ 为参数），即y = t sinpy=

23、 2 t42x = 2 cosqx2y2c曲线 的参数方程+ =1，（5 分）（为参数）化为普通方程为3 sinq4 3y =223tx =+xy4 3c221代入曲线 的方程 + =7t + 6 6t -6 = 0，整理得2将2y =t2d=(6 6) - 4 7 (-6) = 384 0，266a b设点 ， 对应的参数分别为t ,t ，则t t =- ，所以|pa|pb| =| t t |=（10 分）77121 21 2c选修 45：不等式选讲（本小题满分 10 分）15,x -212f (x) = -4x + 3,- x 2f (x)5 f (x) 5- 【解析】易得，根据函数的图象

24、，得，（5 分）-5, x 2f (x) t -6t-5 02t 5 t ，解得 或因为关于 x 的不等式2有解，所以，即21t 故实数 的取值范围是(-,1)(5,+).（10 分）数学 第 11 页（共 12 页） 22（本小题满分10 分）【解析】以d 为坐标原点，直线da, dc, dd分别为x, y, z轴，建立空间直角坐标系（如图所示）111 121 1（1）由已知得，b (1,1,1)，h (0, 0, ) g( ,1, )，所以，bh = (-1,-1,- ) dg =，( ,1, )2 232 2113b h dg所成的角为 ，a设与111| - -1- |336|b h dg|23=2；（5 分）acos =所以1|b h|dg|11(-1) + (-1) + (- ) 222( ) +