(完整版)一元二次方程判别式与韦达定理培优

1、 第十一讲 一元二次方程判别式与韦达定理- ax - a = 0=的一个根为 x 1，求另一根 的值.例 1、已知方程2x2x212( ) ( )( )a b变式：（1）求证：方程 a-b x + b -c x + c -a = 0有一个根为 1.2+ x + a = 0 x + ax +1 = 0与 有一个公共的实数根，求 a 的值.（2）若两个关于 x 的方程 x22+ ax -1 = 0 x - ax - a = 0与（3）若两个关于 x 的方程a x有一个公共的实数根，求 a 的值.2222例 2、判断下列关于 x 的方程的根的情况：( )( )( )（1） x-1 x - 2 = m

2、- + =； （2）k x 4x 4 0； （3）a +1 x -2a x + a = 0222223( )例 3、已知关于 x 的方程 2+ k x + 6kx+ 4k +1= 0，（1）只有一个实根，求 k 的值，并求此时方程的根；2（2）有两个相等的实数根，求 k 的值，并求此时方程的根.1 ( )- 2 m + 2 x + m +5 = 0变 式 ：（ 1 ） 若 关 于 x 的 方 程 mx2无 实 根 ， 试 判 断 关 于 x 的 方 程( ) ( )m-5 x - 2 m+ 2 x + m = 0的实根的情况2.- 4x + 4 = 0 x - 4mx + 4m - 4m -

3、5 = 0与例 4、当 m 是什么整数时，关于 x 的一元二次方程mx2都是整数.的根22- 4mx + 4x + 3m - 2m + 4k = 0变式：已知 m 为有理数，当 k 为何值时，方程 x2的根为有理数？2根的判别式的巩固练习：( )( ) ( )( )（1）关于 x 的方程 2x- m mx+1 = 3x +1 mx-1有一个根为 0,求 m 的值交求出另一个根.( )( )（2）如果关于 x 的一元二次方程 ax+1 x - a = a - 2的各项系数之和等于 3，求 a 的值并解此方程.( )+ mx -1 = 0 2x - m-3 x -5 = 0与 有一个相同的根，求

4、m 的值及这个相同（3）已知关于 x 的方程 x2的根.2( )( )-1 x - 2 m + 2 x +1= 0（4）若关于 x 的方程 m2有实根，求 m 的取值范围.2( ) ( )( )- x - 4 a - x c - x = 0.求证：（1）此方程必有实数根；（2）若 a、b、c 为三角形（5）已知方程 b2abc 的三边，方程有两个相等的实数根，则三角形abc 为等边三角形.2 ( ) ( )-1 x + 5 -5 x - 4 = 0- -a2a2 4 .例 5、已知方程 52的一个根为-1，设另一个根为 a，求a3( )+ 2 m- 2 x + m + 4 = 0两个实根的平方

5、很比两实根的积大21，求 m 的值。变式：已知方程x22a b- 5x -12 = 0例 6、设 , 是方程3x的两根，不解方程求下列对称式的值：2a b+ 1 11 1( )a b 2-+a + b-a b3.+（1）；（2）；（3）；（4）；（5）11 ；（6）223a bb aaba bx2- 2x -1 = 0（2）|a - b变式：1.设 , 是方程 2的两根，不解方程求下列对称式的值：()()2 1 .ba22+a - ba - a - b - b -（1）；| ； （3）； （4）2 122221- 2a 1- 2b2a b2. 设 , 是方程a+ 7 -8bb+ b的两根，不解

6、方程求下列非对称式的值（：1）；（2）x2- 7x + 8 = 03232,aa b其中.3 例 7、不解方程，作一个一元二次方程，使它的两根：x - 2x - 3 = 0x = 7 - 5x的两根大 3；（1）分别是方程的两根的立方；（2）分别比方程22a ba b2 +a bxx+ 2,- 5 + 3 = 0是方程 2 的根；（3）分别是和，其中x + 2x - 3 = 0（4）分别是方程5的两根平方的负倒数.2变式：根据下列条件，求 m 或 k 的值：x - 4mx + 5m = 0（1）方程2（2）方程2的两根平方和等于 3；2( )( ) ( )x -1 x -3m = x m-4的两根之和等于两根之积；x -12x + m = 0（3）方程4的两个根之比为 3：2；2x + 3x - m = 0（4）若方程（5）方程2的两个根互为倒数；2( )x - k -1 x -5 = 0的两个根互为相反数；2( )x - k -1 x + k +1= 0（6）2的两根之差为 1；2x - x + 2m = 0（7）方程5的一个根是另一个根的 5 倍.2( )x - 2k -3 x + 2k -4 = 0例 8、当实数 k 取何值时，一元二次方程，（1）有两个正根；（2）有两个异号2根，且正根的绝对值较大；（3）一根大于