自动控制系统具体原理

1、第二节控制系统的复数域数学模型第二节控制系统的复数域数学模型 一、拉普拉斯变换及其主要性质一、拉普拉斯变换及其主要性质 二、传递函数的定义及求取二、传递函数的定义及求取 拉氏变换可以简化线性微分方程的拉氏变换可以简化线性微分方程的 求解。还可将线性定常微分方程转换为求解。还可将线性定常微分方程转换为 复数复数S域内的数学模型域内的数学模型传递函数。传递函数。 第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型 三、典型环节的传递函数三、典型环节的传递函数 第二节第二节 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型 一、拉普拉斯变换及其主要性质一、拉普拉斯变换及其主要性质: : 1 1拉普

2、拉斯变换的定义：拉普拉斯变换的定义： dtetf st )( 0 设函数设函数f(t)f(t)当当t t 0 0时时 有定义，且积分有定义，且积分 在在s s的的 某个某个 域内收敛，则它的拉氏域内收敛，则它的拉氏 变换定义为：变换定义为： )()( )()( 0 tfLsF js dtetfsF st 记为：记为： 为一复参量为一复参量式中，式中， 2 2拉普拉斯变换的主要性质：拉普拉斯变换的主要性质： 1 1）线性性）线性性 质：质： 若若 、 是是 常数，常数， ，)()()()( 2211 sFtfLsFtfL )()()()( 2121 sFsFtftfL 则则有有， 2）微分性质）

3、微分性质: )0()0()0()( )0()( )()( )1(21 nnnn(n) ffsfssFs(t)fL fssF(t)fL sFtfL 则则有有： 若若 )( )( )( 0)0()0()0()0( )( 2 )1( sFs(t)fL sFs(t)fL ssF(t)fL ffff nn n 有有 时时，当当初初始始条条件件 3）积分性质）积分性质: )( 1 )( )()( 0 sF s dttfL sFtfL t 则有：则有： 若若 第二节第二节 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型 4）位移性质）位移性质: )( )()( asFf(t)eL sFtfL at 则则有有：

4、 若若 5）延迟性质）延迟性质: )()(0 )()( sFedttfL sFtfL s 时时有有：则则当当 若若 6）初值定理）初值定理: )0()( lim )( lim )( lim )()( 0 fssFtf ssFsFtfL st s 则有：则有： 存在，存在，且，且若若 7）终值定理）终值定理: )()( lim )( lim )()()( 0 fssFtf sssFsFtfL st 则有：则有： 平面的左半部，平面的左半部，的所有奇点都在的所有奇点都在，且，且若若 第二节第二节 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型 3. 拉氏逆变换拉氏逆变换: )()( )()()()(

5、 1 sFLtf sFtftfsF 记为记为 的拉氏逆变换，的拉氏逆变换，是是的拉氏变换，则称的拉氏变换，则称是是若若 4.卷积定理卷积定理: )()()()( )()()()( )()()()( )()( )()()()( 2121 1 2121 2211 21 2121 tftfsFsFL sFsFtftfL sFtfLsFtfL dftf dtfftftf 则则有有： 并并且且 若若 第二节第二节 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型 5. 典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换: as eL s s tL s tL tL s tL s tL s L at 1 7 cos6 sin

6、5 1)(4 1 2 1 3 1 2 1 11 22 22 3 2 2 ）指指数数函函数数 ）余余弦弦函函数数 ）正正弦弦函函数数 ）单单位位脉脉冲冲函函数数 ）单单位位加加速速度度函函数数 ）单单位位斜斜坡坡函函数数 ）单单位位阶阶跃跃函函数数 第二节第二节 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型 6. 部分分式展开定理部分分式展开定理: 一般，象函数一般，象函数F(s)是复变数是复变数s的有理代数分式，即可以的有理代数分式，即可以 表示成如下形式：表示成如下形式： )( )( )( sq sp sF )()()( )( ,)(1 2 2 1 1 21 n n n ss k ss k

7、ss k sF sssnsF ，则，则个单极点：个单极点：只有只有）如果）如果 i ssii sFssk )()(其其中中 ，则则 个个重重极极点点，其其中中有有个个极极点点：有有）如如果果 m n sss msssnsF 21 21 ,)(2 )()( )()()( )( 1 1 1 1 , 1 1 1 1, 1 1 , 1 n n m m m m m m ss k ss k ss k ss k ss k sF 第二节第二节 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型 n m ssnn ssmm ss m m m ss m i i im ss m m ss m m sFssk sFssk

8、sFss ds d m k sFss ds d i k sFss ds d k sFssk )()( )()( )()( )!1( 1 )()( ! 1 )()( )()( 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 , 1 1, 1 11, 1 1, 1 其中其中 第二节第二节 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型 输出拉氏输出拉氏 变换变换 二、二、 传递函数的定义及求取传递函数的定义及求取 系统的结构图系统的结构图 输入输入 输入拉氏输入拉氏 变换变换 输出输出 传递函数的定义：传递函数的定义： 零初始条件下，系统零初始条件下，系统 输出量拉氏变换与系统输输出量拉氏变换与系统输 入

9、量拉氏变换之比。入量拉氏变换之比。 G(S)G(S) R(S)R(S)C(C( S)S) r(t)r(t)c(t)c(t) R R( (s s ) ) C C( (s s ) ) G G( (s s) ) = = 零初始条件零初始条件: : 系统的输入量、输出量及其各阶导数在系统的输入量、输出量及其各阶导数在 t t=0=0时的值均为零。时的值均为零。 0)0()0()0()0( 0)0()0()0()0( )( )( n n cccc rrrr 即即 求取系统传递函数的步骤求取系统传递函数的步骤: : 1 1）列写系统微分方程（非线性方程需线性化）列写系统微分方程（非线性方程需线性化）； 2

10、 2）设全部初始条件为零，对微分方程两边取拉氏变换；）设全部初始条件为零，对微分方程两边取拉氏变换； 3 3）求输出量与输入量的拉氏变换之比）求输出量与输入量的拉氏变换之比系统传递函数。系统传递函数。 r(t)b(t)rb(t)rb(t)rb c(t)a(t)ca(t)ca(t)ca mm )(m(m) nn )(n(n) 1 1 10 1 1 10 式中式中，c(t)c(t)系统输出量系统输出量 r(t)r(t)系统输入量系统输入量 a ai i(i=1,2,(i=1,2,n), n), b bj j(j=1,2,m)(j=1,2,m)为常系数为常系数 设线性定常系统的微分方程为设线性定常系

11、统的微分方程为: : 对微分方程的一般表达式进行拉氏变换得对微分方程的一般表达式进行拉氏变换得 系统传递函数的一般表达式为系统传递函数的一般表达式为 ( (a a0 0 s sn n + a + a1 1 s sn- n-1 1 + + + a+ an-1 n-1 s + as + an n ) )C C( (s s) ) = (= (b b0 0 s sm m + b + b1 1 s sm- m-1 1 + + + b+ bm-1 m-1 s s + b+ bm m ) )R R( (s s) ) R R( (s s ) ) C C( (s s ) ) G G( (s s) ) = = =

12、 = b b0 0 s sm m + b + b1 1 s sm- m-1 1 + + + + b bm-1 m-1 s + b s + bm ma a0 0 s sn n + a + a1 1 s sn- n-1 1 + + + a+ an-1 n-1 s + a s + an n （nm） 例例 求图示求图示RLCRLC电路的传递函数。电路的传递函数。 + - u r u c + - C L R i i 解：解： 输出量：输出量： 输入量：输入量： u ur r u uc c i i = = C C duduc c dtdt L L didi dtdt u ur r= R = R i i

13、+ + + u+ uc c 根据基尔霍夫定律：根据基尔霍夫定律： 得得 RCRC duduc c dtdt + u+ uc c= u= ur rLCLC d d2 2u uc c dtdt 2 2 + + 拉氏变换：拉氏变换： RCsURCsUc c( (s s) ) + + LCsLCs2 2 U Uc c ( (s s) ) + + U Uc c ( (s s) ) = = U Ur r ( (s s) ) 传递函数为传递函数为: G G ( (s s) ) = = 1 1 LCsLCs2 2 + + RCs RCs + + 1 1 U Uc c ( (s s) )U Ur r ( (s

14、s) ) = = dh(tdh(t ) ) 1 1 = =q qi i(t)(t) dtdtA A h(t)h(t) 2A2A + + a a h h0 0 例例 求液位控制系统的传递函数求液位控制系统的传递函数 . . 将上式两边求拉氏变换：将上式两边求拉氏变换： 设设 解：解： 得得 a sH(s)+H(s) Qi(s) = h02A 1 A H(s) A(s+ = a h02A ) 1 Q(s) s+1 = a h02A /ah02 =Ab a h02A a =b h02 传递函数为传递函数为 H(s) Abs+1 b = Q(s) 传递函数性质：传递函数性质： （1 1）传递函数只适用

15、于线性定常系统。传递函数只适用于线性定常系统。 （2 2）传递函数取决于系统的结构和参数，传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。与外施信号的大小和形式无关。 （3 3）传递函数一般为复变量传递函数一般为复变量S S 的有理分式。的有理分式。 （4 4）传递函数是在零初始条件下定义的传递函数是在零初始条件下定义的 ， 不能反映非零初始条件下系不能反映非零初始条件下系 统的运统的运 动过程。动过程。 将传递函数中的分子与分母多项将传递函数中的分子与分母多项 式分别用因式连乘的形式来表示，即式分别用因式连乘的形式来表示，即 G G( (s s) =) = K K0 0 ( (

16、s s z z1 1 ) ( ) (s s z z2 2 ) ) ( (s s z zm m ) ) ( (s s s s1 1 ) ( ) (s s s s2 2 ) ) ( (s s s sn n ) ) 式中：式中： n=mn=m K K 0 0 为放大系数为放大系数 S S = = S S1 1 , , S S2 2 , , S Sn n 传递函数的极点传递函数的极点 S S = = Z Z1 1 , , Z Z2 2 , , Z Zm m 传递函数的零点传递函数的零点 传递函数分母多项式就是相应微传递函数分母多项式就是相应微 分方程的特征多项式，传递函数的极点就分方程的特征多项式，传

17、递函数的极点就 是微分方程的特征根。是微分方程的特征根。 首首1 1标准型（即标准型（即零、极点形式）：零、极点形式）： 首首1 1标准型标准型 在根轨迹法中使用较多在根轨迹法中使用较多 尾尾1 1标准型标准型： 为系统增益为系统增益K sTsTsTsTs ssss K sR sC sG j i )1()12)(1( )1()12)(1( )( )( )( 2 22 21 2 22 21 尾尾1 1标准型在频率法中使用较多标准型在频率法中使用较多 系统的根轨迹增益系统的根轨迹增益 j j n n j j i i m m i i K K p ps s z zs sK K s sR R s sC

18、C s sG G ) )( ( ) )( ( ) )( () ) ( ( ) )( ( * * 1 1 1 1 * * （5 5）传递函数与微分方程一一对应。传递函数与微分方程一一对应。 微分方程：在时域内描述系微分方程：在时域内描述系 统的动态关系（特性）统的动态关系（特性） 传递函数：在复频域内描述传递函数：在复频域内描述 系统的动态关系（特性）系统的动态关系（特性） （6 6）不同物理系统（机械、电气、液压）可不同物理系统（机械、电气、液压）可 用形式相同的传递函数来描述用形式相同的传递函数来描述相似原理，相似原理， 能用相同数学模型描述的系统能用相同数学模型描述的系统相似系统相似系统

19、。 应用意义：可用模拟机进行系统研究应用意义：可用模拟机进行系统研究 （7）传递函数的拉氏反变换为系统的脉冲响应。）传递函数的拉氏反变换为系统的脉冲响应。 系统的输入是单位脉冲信号系统的输入是单位脉冲信号 (t)(t)时，系统时，系统 的输出称为的输出称为脉冲响应脉冲响应。 )()()()()( 1)()( 111 sGLsRsGLsCLtg tLsR 输输出出 输输入入 一般可将自动控制系统的数学模一般可将自动控制系统的数学模 型看作由若干个型看作由若干个典型环节典型环节所组成。研究和所组成。研究和 掌握这些掌握这些典型环节典型环节的特性将有助于对系统的特性将有助于对系统 性能的了解。性能的

20、了解。 三、三、 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 C(t)=Kr(t)C(t)=Kr(t) C(s)=KR(s)C(s)=KR(s) 比例环节系数比例环节系数 拉氏变换拉氏变换: : 比例环节的传递函数比例环节的传递函数: : 1 1比例环节比例环节 微分方程微分方程: : K K 比例环节方框图比例环节方框图 K K R(S)R(S)C(S)C(S) 特点特点: :输出不失真输出不失真, ,不延迟不延迟, ,成比例地成比例地 R R( (s s ) ) C C( (s s ) ) G G( (s s) ) = = =K=K 复现输入信号的变化复现输入信号的变化. . K= -K= -

21、R R1 1 R R2 2 比例环节实例比例环节实例 (a(a ) ) - + + u r R 1 u c R 2 由运算放大器构成的比例环节由运算放大器构成的比例环节 (b)(b) 线性电位器构成的比例环节线性电位器构成的比例环节 K=K= R R2 2+R+R1 1 R R2 2 uc( t) + - R1 R2 + - ur( t) 2 2惯性环节惯性环节 惯性环节的微分方程惯性环节的微分方程: : + c + c ( (t t) ) = = KrKr( (t t) ) dcdc( (t t) ) dtdt T T 时间常数时间常数 比例系数比例系数 式中式中 K K T T 拉氏变换：

22、拉氏变换：TsCTsC ( (s s) ) + C+ C ( (s s) = ) = KR KR ( (s s) ) 惯性环节的传递函数惯性环节的传递函数: : R R( (s s ) ) C C( (s s ) ) G G( (s s) ) = = K K TsTs + + 1 1 = = 惯性环节方框图惯性环节方框图 R(S)R(S)C(S)C(S) 1+T s 1 单位阶跃信号作用下的响应单位阶跃信号作用下的响应: : R R( (s s) ) = = 1 1 s s K K TsTs + + 1 1 1 1 s s C C( (s s) ) = = 拉氏反变换得拉氏反变换得: : c

23、c( (t t) = ) = K K (1 (1 e e ) ) t t T T - - 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 特点特点: : 输出量不能瞬时完成与输输出量不能瞬时完成与输 入量入量 完全一致的变化完全一致的变化. . r(t)r(t) t t 0 0 c(t)c(t) 1 1 r(t)r(t) c(t)c(t) T T 0.6320.632 - + + R1 R0 ur ucC 惯性环节实例惯性环节实例 (a)运算放大器构成的惯性环节运算放大器构成的惯性环节 R R1 1CS + CS + 1 1 R R1 1 / /R R2 2 G G( (s s) = ) = (b) RCR

24、C电路构成的惯性环节电路构成的惯性环节 R + - u(t ) L uL( t) 1 / 1 / R R (L / (L / R R ) )S S + + 1 1 G G( (s s) = ) = R R( (s s ) ) C C( (s s ) ) G G( (s s) ) = = = = 1 1 TsTs T T TsCTsC( (s s) = ) = R R( (s s) ) = r = r ( (t t) ) dcdc( (t t) ) dtdt T T 微分方程：微分方程： 积分时间常数积分时间常数 3 3积分环节积分环节 传递函数：传递函数： 拉氏变换：拉氏变换： 积分环节方框图

25、积分环节方框图 R(S)R(S)C(S)C(S) Ts 1 1 1 T T C C( (t t) =) =t t 1 1 TSTS 1 1 S S C C( (s s) ) = = 1 1 TSTS2 2 = = R R( (s s) ) = = 1 1 S S 积分环节的单位阶跃响应：积分环节的单位阶跃响应： 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 输出量与输入量对时间的积输出量与输入量对时间的积 分成分成 正比，具有滞后作用和记忆正比，具有滞后作用和记忆 功能功能. . 特点特点: : r(r( t)t) t t 0 0 c(t)c(t) 1 1 c(t)c(t) r(t)r(t) T T 积分

26、环节实例积分环节实例 (a(a ) ) 由运算放大器构成的积分环节由运算放大器构成的积分环节 - + + R0uc C ur1 1 RCSRCS G G( (s s) = ) = (b) 电机构成的积分环节电机构成的积分环节 + - Ud M S S K K G G( (s s) ) = = 4 4微分环节微分环节 R(S)R(S)C(S)C(S) Ts 理想微分环节数学模型：理想微分环节数学模型： 微分时间常数微分时间常数 微分环节方框图微分环节方框图 单位阶跃响应函数：单位阶跃响应函数： c c ( (t t) ) = = drdr( (t t) ) dtdt T T T T R R( (

27、s s ) ) C C( (s s ) ) G G( (s s) ) = = = Ts= Ts C C( (t t) ) = =T T( (t t) ) 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 理想脉冲实际中是不可能实现的理想脉冲实际中是不可能实现的 ，实际的物理装置中常用近似理想微分环，实际的物理装置中常用近似理想微分环 节。节。 r(r( t)t) t t 0 0 c(c( t)t) c(t)c(t) r(t)r(t) G G( (s s) =) =RC RC s s (a)(a) 近似理想微分环节实例近似理想微分环节实例 - + + R uc C ur 运算放大器构成的微分环节运算放大器构成的

28、微分环节 + - uc + - C R ur (b)(b)RCRC电路构成的微分环节电路构成的微分环节 RCsRCs RCS + RCS + 1 1 G G( (s s) = ) = TsTs Ts + Ts + 1 1 = = T = RC T = RC 1 1 G G( (s s ) ) T T s s 实用微分环节的单位阶跃响应实用微分环节的单位阶跃响应: : 单位阶跃单位阶跃 响应曲线响应曲线 C C( (s s) ) TsTs Ts + Ts + 1 1 = = 1 1 s s = = 1 1 s+1/Ts+1/T c c( (t t) = ) = e e t t T T - - 特

29、点特点: : 输出量反映了输入量的变化输出量反映了输入量的变化 率，率， 而不反映输入量本身的大小而不反映输入量本身的大小. . r(t)r(t) r(r( t)t) t t 0 0 c(c( t)t) c(t)c(t) 1 1 采用运算放大器构成的比例微分环节：采用运算放大器构成的比例微分环节： R 1 uc C1 R 2 ur - + + 由于微分环节的输出只能反映输入由于微分环节的输出只能反映输入 信号的变化率，不能反映输入量本身的信号的变化率，不能反映输入量本身的 大小，故常采用比例微分环节。大小，故常采用比例微分环节。 传递函数：传递函数： 单位阶跃响应：单位阶跃响应： c(t) =

30、 KTc(t) = KT(t) +K = K (t) +K = K T T(t) + 1(t) + 1 R R( (s s ) ) C C( (s s ) ) G G( (s s) ) = = = = K K ( (Ts Ts + + 1)1) 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 1 1 c(t)c(t) r(t)r(t) r(tr(t ) ) t t 0 0 c(t)c(t) 5. 5. 振荡环节振荡环节 微分方程：微分方程： + c + c ( (t t) ) = = r r( (t t) ) +2T +2T d d2 2c c( (t t) ) dtdt2 2 dcdc( (t t) ) dtdt T T 2 2 时间常数时间常数 阻尼比阻尼比 T T 传递函数：传递函数： 1 1 T T2 2S S2 2 + 2T + 2T S+ S+ 1 1 = = R R( (s s ) ) C C( (s s ) ) G G( (s s) ) = = G G( (s s) ) = =