一轮复习配套讲义：第1篇第2讲命题及其关系、充分条件与必要条

1、第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲1理解命题的概念.2了解“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.诊断-基础知识由浅人谏券基固本知识梳理1.四种命题及其关系四种命题间的相互关系四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.2.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p? q，则p是q的充分 条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p? q且产Pp是q的必要不充分条件且 q? pp是q的充要条件p? qp是q的既不充分也不必要条件p

2、 Zq且 p辨析感悟1. 对四种命题的认识(1)(2012湖南卷改编)命题“ a 4,则tan尸1”的否命是“若a= 4，则 tan a 1”. (x )1 或 2.(x).(V)(2) 若原命题“若p,则q”为真，则在这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数为 命题“若x2 3x+ 20，则x2或xv 1”的逆否命题是“若 Kx2，则x2 3x+ 2 0, w 0, x R),贝厂f(x )是奇函数”是“片2 的充分必要条件.(X )感悟提升1. 一个区别 否命题与命题的否定是两个不同的概念.否命题同时否定原命题的条件和结论，命题的 否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)，如(1).2

3、. 三个防范 一是分清命题中的条件和结论，并搞清楚其中的关键词，如“工”与“二”，“”与“w”，“且”与“或”，“是”与“不是”，“都不是”与“至少一个是”，“都是”与“不都是”等互为否定，如(3);二是弄清先后顺序：“ A的充分不必要条件是B”是指B? A,且A B,如(5);而“A是B的充分不必要条件”则是指A? B且B A,如(6)、(7);三是注意题中的大前提，如(6).突破-高频考点考点一命题及其相互关系【例1】已知：命题“若函数f(x) = ex mx在(0,+x)上是增函数，则mW 1”，则下列结论正确的是().A .否命题是“若函数f(x)= ex mx在(0,+)上是减函数，

4、则m 1”，是真命题B. 逆命题是“若mW 1，则函数f(x)= ex mx在(0,+)上是增函数”，是假命题C. 逆否命题是“若 m 1,贝U函数f(x) = ex mx在(0,+)上是减函数”，是真命题D. 逆否命题是“若m 1,贝U函数f(x) = ex mx在(0,+)上不是增函数”，是真命题解析 由f(x) = ex mx在(0, +)上是增函数，则f (x) = ex m 0恒成立，二mW 1.二命题“若函数f(x) =ex mx在(0,+x)上是增函数，则mW T是真命题，所以其逆否命题 “若m 1,贝U函数f(x) = ex mx在(0,+x)上不是增函数”是真命题.答案D规律

5、方法(1)在判断四种命题的关系时，首先要分清命题的条件与结论，当确定了原命题时，要能根据 四种命题的关系写出其他三种命题.(2) 当一个命题有大前提时，若要写出其他三种命题，大前提需保持不变.(3) 判断一个命题为真命题，要给出推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出反例.(4) 根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易 进行时，可转化为判断其等价命题的真假.【训练1】(2013长春二模)命题“若a2+ b2= 0,则a= 0且b= 0”的逆否命题是().A .若 a2 + b2工0，则 aM0 且 b0B. 若 a2 + b2M0，则 aM0或

6、 bM02 2C. 若 a= 0且 b = 0,贝U a + b m0D .若 aM0 或 bM0,贝q a2+ b2M0解析 “若a2 + b2= 0,则a = 0且b = 0”的逆否命题是“若aM0或bM 0,则a2 + b2M0”，故选D. 答案D考点二 充分条件、必要条件的判断【例2】(1)(2013安徽卷)“a0”是“函数f(x)=|(ax1)x|在区间(0,+)内单调递增”的().A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件(2013 济南模拟)如果 a= (1, k), b= (k,4)，那么“ a/ b” 是“ k= 2” 的().A .充

7、分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件1解析(1)f(x) = |(ax 1)x|在(0,+x)内单调递增等价于f(x) = 0在区间(0,+)内无实根，即a= 0或va0,也就是a 0,故“a 2 B. aW 2 C. a 1 D. a一1函数f(x)Iog2x, x0, 2x a, x0有且只有一个零点的充分不必要条件是().1A . a 1 B. 0vav1C.qv av 1D. av 0审题路线 (1)AH Bm? A与B有交集.(2)先求函数f(x)有且只有一个零点的充要条件 M?由选项推出M成立的充分条件？结合选项可得结论 解析(1)A=x1vx

8、v2, B = x| 2vxva，如图所示：A _I L O v/ AH Bm?,. a 1.：I - log2 x, x0,(2)因为f(x) x有且只有一个零点的充要条件为 a 1由选项可知，使“a 0或ai2 a, x 1”成立的充分条件为选项D.答案(1)C(2)D规律方法 有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论.【训练3】“直线x y k= 0与圆(x 1)2+ y2 = 2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是().A . 1vkv3 B. 1Wk 3解析 “直线xy k = 0与圆(x 1)

9、2+ y2= 2有两个不同交点”等价于口占k|V2，解得k ( 1,3).四个选项中只有(0,3)是(1,3)的真子集，故充分不必要条件可以是0v kv3.答案CI课堂小结I1 .当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个 并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提.2数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理 都是真的3命题的充要关系的判断方法定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.等价法：利用A? B与綈B?綈A, B? A与綈A?綈B, A? B与綈B?綈A的等价关系，

10、对于条件或 结论是否定式的命题，一般运用等价法利用集合间的包含关系判断：若 A? B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A= B,则A 是 B 的充要条件培养-解题能力思想方法1等价转化思想在充要条件关系中的应用X 122【典例】已知p： 1亍 w2, q： x 2x+ 1 m 0),且綈p是綈q的必要而不充分条件，求 实数m的取值范围.解法一由 q： x2 2x+ 1 m2w0,得 1 m x 1 + m或 xv 1 m, m0,x 1由 p：1- w2,解得2w xw 10,綈 p： B= x|x 10 或 xv 2.綈p是綈q的必要而不充分条件.ym 0,ym 0, A B,：1

11、mv 2, 或 1 mW 2,-1 + m 10,-1 + m 10,即 m9 或 m9. m9.故实数m的取值范围是9 ,+x).法二 T綈p是綈q的必要而不充分条件， p是q的充分而不必要条件，由 q： x2 2x+ 1 m2w 0,得 1 mW xw 1 + m, q： Q = x|1 mWxw 1+ m,亠x 1小由 p：1 w2,解得2w xw 10, p： P = x| 2wxw 10. p是q的充分而不必要条件，m 0,m 0, P Q,： 1 mv 2,或 1 mw 2,1+ m 10,1 + m 10,即 m9 或 m9. m9.故实数m的取值范围是9 ,+x).反思感悟本例

12、涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简 单、熟悉的问题来解决一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包 含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.【自主体验】1. （2013山东卷）给定两个命题p, q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的（） A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件解析 由q?綈p且綈p q可得p?綈q且綈q p，所以p是綈q的充分而不必要条件. 答案A2. 已知命题p： x2 + 2x 30;命题q： xa,且綈q的一个充分不必要条件是綈 p，则a的取

13、值范围 是（）A. 1，+x） B. （ x，1C. 1，+x） D . （ x， 3解析 由x2 + 2x 30,得xv 3或x 1，由綈q的一个充分不必要条件是 綈p，可知綈p是綈q的充 分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a 1.答案A课时-题组训练阶梯训城绑出高分对应学生用书P221 基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1. （2012重庆卷）命题“若p,则q”的逆命题是（）.A .若q,则p B .若綈p,则綈qC.若綈q,则綈p D .若p,则綈q解析 根据原命题与逆命题的关系可得：“若p,则q”的逆命题是“若q,则p”，故选A.答案A2. 已知a, b, c R

14、，命题“若a+ b+ c= 3,则a2+ b2 + c23”的否命题是（）.A .若 a+ b+ cm3,贝U a2 + b2 + c2v3B. 若 a+ b+ c= 3,则 a2+ b2 + c2v3C. 若 a+ b+ cm3,贝U a2+ b2 + c23D .若 &2 + b2 +。23,贝U a+ b+ c= 3解析 同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题.答案A3. （2014浙江部分重点中学3月调研）设a R，则“ a= 2”是“直线 尸ax+ 2与 尸4xT 垂直”的（）.A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解析 若直线y

15、= ax+ 2与y= x 1垂直，则有一 ax牙=一 1,即a1时，1 vxv0或 x 1，显然 x 1? x-0;但 x -0 x 1.xx答案D二、填空题6. （2013盐城调研）“m#”是“一元二次方程x2 + x+ m= 0有实数解”的 件. 1解析 x2 + x+ m= 0有实数解等价于 = 1 4m0，即mW.答案充分不必要7. （2014扬州模拟）下列四个说法： 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；= 4,所以a=坛所以“a = 2”是 “直线y= ax+ 2与y=4x 1垂直”的充分不必要条件，选 A.答案A4. 命题“若x, y都是偶数，则x+ y也是偶数”的逆否命

16、题是（）.A .若x+ y是偶数，则x与y不都是偶数B. 若x+ y是偶数，则x与y都不是偶数C. 若x+ y不是偶数，则x与y不都是偶数D .若x+ y不是偶数，则x与y都不是偶数解析 由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数” ，“ x+ y是偶数”的否定表达是“x+ y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x+ y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.答案C15. （2014 台州三校联考）不等式x -0成立的一个充分不必要条件是（）.xA . 1 1 B . xv 1 或 0v xv 1C. x 1D . x 111解析 画出直线y=x与双曲线y=-的图象（图略），两图象

17、的交点为（1,1），（ 1， 1）,依图知x- 0xx 命题“设a, b R,若a+ 6,则a3或3”是一个假命题;1 1 X2”是“丄1”的充分不必要条件；X 2 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真.其中说法不正确的序号是.解析 逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故错误；此命题的逆否命题为“设a, b R，若a= 3且b = 3，则a+ b= 6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，错误；X1，贝X12一 x11厂0，解得x2，所以X2”是“xb,则ac2be2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四 个命题中，真命题的个数是 .解析 当c2= 0时，原命题不正确，故其逆否命

18、题也不正确；逆命题为“若ac2be2,则ab”，逆命题正确，则否命题也正确.答案2三、解答题9. 判断命题“若a 0,则x2 + x a= 0有实根”的逆否命题的真假.解 原命题：若a0,则x2 + x a= 0有实根.逆否命题：若x2 + x a= 0无实根，则av 0.判断如下：I x2 + x a = 0 无实根，1-= 1 + 4av 0,. av :v0.4二“若x2 + x a = 0无实根，则av 0”为真命题.10. 已知p： x2 8x 200, q： x2 2x+ 1 a20).若p是q的充分不必要条件，求实数 a的取值 范围.解 p： x2 8x 20 0? 2x 10,2 2q： x 2x+ 1 a 0? 1 ax 1 + a. p? q, qp, x| 2x 10三 x|1 ax 1 + a.1 a 10,且两个等号不同时成立，解得 a 9.a0,因此，所求实数a的取值范围是9, +).能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1 命题“若f(x)是奇函数，贝U f( x)是奇函数”的否命题是().A 若f(x)是偶函数，则f( x)是偶函数B若f(x)不是奇函数，贝U f( x)不是奇函数C若f( x)是奇函数，则f(x)是奇函数D 若f ( x)不是奇函数，则