(完整版)高数知识点总结(上册)

1、0) 高数知识点总结（上册） 函数： 绝对值得性质： （1）|a+b|a|+|b| 函数的表示方法： （1）表格法 函数的几种性质： （1）函数的有界性 （3）函数的奇偶性 反函数： |a-b|a| -|b| （2）图示法 （2）函数的单调性 （4）函数的周期性 (3)|ab|=|a|b| (4)| （3）公式法（解析法） a b|= 回(b |b| 1 定理：如果函数y f（x）在区间a,b上是单调的，则它的反函数y f （X）存在，且是单 值、单调的。 基本初等函数： （1）幕函数 （3）对数函数 （5）反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限： （2）指数函数 （4）三角函

2、数 定义：设Xn是一个数列，a是一个定数 如果对于任意给定的正数 （不管它多么小）， 总存在正整数N，使得对于nN的一切Xn，不等式Xn a都成立，则称数a是数列Xn的 lim x a 极限，或称数列Xn收敛于a，记做n n ，或Xn a（n ） 收敛数列的有界性： 定理：如果数列Xn收敛，则数列Xn 一定有界 推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界 （3）有界命题不一定收敛 函数的极限： 定义及几何定义 函数极限的性质： lim f （x） Ax （1） 同号性定理：如果x冷，而且A0（或 A0）,则必存在X。的某一邻域，当x在 该邻域内（点X。可除外），有f（x）0 （或 f（x） 0

3、 ）。 （2） 如果！imf（x） A，且在 Xo 的某一邻域内（X Xo），恒有 f（x） 0 （或 f（x） 0）， 则 A 0( A 0 )。 lim f(x) (3) 如果x xo存在，则极限值是唯一的 lim f ( X) (4) 如果已。X)存在，则在f(x)在点X。的某一邻域内(x X。)是有界的。 无穷小与无穷大： 注意：无穷小不是一个很小的数，而是一个以零位极限的变量。但是零是可作为无穷小 的唯一的常数，因为如果f(x) 0则对任给的 0，总有f(x)，即常数零满足无穷小的 定义。除此之外，任何无论多么小的数，都不满足无穷小的定义，都不是无穷小。 无穷小与无穷大之间的关系：

4、1 (1) 如果函数f(x)为无穷大，则f(x)为无穷小 1 (2) 如果函数f(x)为无穷小，且f(x) 0，则f(x)为无穷大 具有极限的函数与无穷小的关系： (1)具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和 (2) 如果函数可表为常数与无穷小的和，则该常数就是函数的极限 关于无穷小的几个性质： 定理： (1) 有限个无穷小的代数和也是无穷小 (2) 有界函数f(x)与无穷小a的乘积是无穷小 推论： (1) 常数与无穷小的乘积是无穷小 (2 )有限个无穷小的乘积是无穷小 极限的四则运算法则： 定理：两个函数f(x)、g(x)的代数和的极限等于它们的极限的代数和 两个函数f(x)、g(x)乘积

5、的极限等于它们的极限的乘积 极限存在准则与两个重要极限： 准则一(夹挤定理) 设函数f(x)、g(x)、h(x)在x x。的某个邻域内(点X。可除外)满足条件： (1) g(x) f(x) h(x) lim g(x) A lim h(x) A (2) X X0 X lim f (x) A 则X X0 准则二单调有界数列必有极限 定理：如果单调数列有界，则它的极限必存在 1 重要极限: lim S (1) x 0 x (2) cosx x 1 (3) Xm(1x) 1 e lim(1 x)x e j或 X 0 无穷小阶的定义: 设、为同一过程的两个无穷小 lim 一 0 (1) 如果 则称 是比

6、高阶的无穷小，记做() lim (2) 如果 则称 是比低阶的无穷小 lim c(c 0,c 1) (3) 如果 ，则称与是同阶无穷小 lim 1 (4) 如果 则称 与是等阶无穷小，记做 几种等价无穷小： 1 lOg a (1 x) x(x 0) In a 对数函数中常用的等价无穷小: x 0 时，ln(1 x)x(x 0) 三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小: 彳 1 2 1 cos x x x 0 时，sin x x tan x x2 arcs in x x arcta nx x 指数函数中常用的等价无穷小： x 0 时，ex 1 x ax 1 exlna 1 Ina 二项式中常用的

7、等价无穷小： ”、a 4_x 1 x 0 时，(1 x) f(x)在点Xo处有定义 axn 函数在某一点处连续的条件： lim f (x) f (x0)一、 v 由连续定义x x0可知，函数f(x)在点x。处连续必须同时满足下列三个条件: x xlim f(x) (2) 当x Xo时，f(x)的极限x x)丿存在 (3) 极限值等于函数f(x)在点Xo处的函数值f(Xo) 极限与连续的关系： 如果函数f(x)在点X。处连续，由连续定义可知，当xX0时，f(x)的极限一定存在，反 之，则不一定成立 函数的间断点： 分类：第一类间断点(左右极限都存在)第二类间断点(有一个极限不存在) 连续函数的和

8、、差、积、商的连续性： 定理：如果函数f(x)、g(x)在点X。处连续，则他们的和、差、积、商(分母不为零)在 点X。也连续 反函数的连续性： 定理：如果函数y f(x)在某区间上是单调增(或单调减)的连续函数，则它的反函数 X(y)也在对应的区间上是单调增(或单调减)的连续函数 最大值与最小值定理： 定理：设函数f(x)在闭区间a，b上连续，则函数f(x)在闭区间a，b上必有最大值和最小 值 推论：如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，则f(x)在a，b上有界 介值定理： 定理：设函数f (x)在闭区间a,b上连续，两端点处的函数值分别为 f(a) A, f(b) B(A B)，而是介于A与

9、B之间的任一值，则在开区间(a，b)内至少有一点 ，使得 f( ) (a b) 推论(1)：在闭区间上连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值 推论(2)：设函数f(x)在闭区间a，b上连续，且f(a)?f(b)(两端点的函数值异号)， 则在(a，b)的内部，至少存在一点，使f( ) 0 导数与微分 导数： ylim f(xx) f(x) 定义： Jc x 0 x 导数的几何定义：函数在图形上表示为切线的斜率 函数可导性与连续性之间的表示： 如果函数在x处可导，则在点x处连续，也即函数在点x处连续 一个数在某一点连续，它却不一定在该点可导 据导数的定义求导： (1) y |x x0 li

10、m x 0 y x .f (x0 lim x 0 x) f(X。) x y lx x0 lim f(x) f(X。) X x0 x X。 (3) y lx x0 lim x 0 f(x x) f(x) x 基本初等函数的导数公式： (1)常数导数为零 0 / nn 1 (2)幕函数的导数公式(X) nx (3) 三角函数的导数公式 (sin x) cosx (cos x) (cot x) 1 2 csc X 2 sin x (cscx) cscx cot X sin x (tanx) sec2 x cos x (secx) secx ta nx (4)对数函数的导数公式: 1 1 (lOg a

11、x) lOgae xxln a (5) 指数函数的导数公式：()lna xx (e) e (7)反三角函数的导数公式： 1 1 (arcsin x) v1x2 (arccosx) N时，f（X）与（x）都存在且（x） 0 lim x (3) f（x） （x）存在（或为 lim ,x ），则极限 f(x) （x）存在（或为 lim x f(x) (X) 未定式 1、x a情形 如果 (1) X a时，f（x）与（x）都趋于无穷大 (2) 在点a的某领域（点a可除外）内，f（X）与（X）都存在且 (X) f(x) lim心 x a lim 3lim （X）存在（或为），则则极限x a （x）存在（

12、或为），且x a（X） lim 2、x 情形 x a (x) I 推论：如果(1) X 时，f(x)与(X)都趋于无穷大 (2)当|x|N时，f(X)与(x)都存在且(x) 0 (3) lim x a f(x) 存在(或为 ，则则极限 lim f(x) X a (x)存在(或为 )， lim 且x a (x)=x a f(x) (x) 0 _ 注意：1、洛必达法则仅适用于0型及 型未定式 2、 lim x a 当(x ) f(x) (x)不存在时，不能断定 lim x a (x ) f(x) (x)不存在，此时不能应用洛必达法则 泰勒公式(略) 迈克劳林公式(略) 函数单调性的判别法: 必要条

13、件：设函数f(x)在a，b上连续，在a，b内具有导数，如果f(x)在a，b上单调增 加(减少)，则在 a，b 内，f(X)0( f (x)0) 充分条件：设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内具有导数， (1) 如果在a，b内，f(X)0，则f(x)在a，b上单调增加 (2) 如果在a,b内，f(X)0，则f(x)在a,b上单调减少 函数的极值及其求法 极值定义(见书176页) 极值存在的充分必要条件 必要条件：设函数f(x)在点X。处具有导数，且在点X。处取得极值，则f(x) 0 函数的极值点一定是驻点 导数不存在也可能成为极值点 驻点：使f (x) 0的点，称为函数f(x)的驻点 充分条

14、件(第一)：设连续函数f(x)在点X。的一个邻域(X。点可除外)内具有导数，当 X由小增大经过X0时，如果 (1) f (X)由正变负，则Xo是极大点 (2) f(X)由负变正，则X。是极小点 (3) f(X)不变号，则不是极值点 I. 充分条件(第二)：设函数f(x)在点X。处具有二阶导数，且f(X。)0 , f”(x。)0 (1) 如果f(X。)0，则f(x)在X。点处取得极大值 (2) 如果f ；(x。)。，则f(x)在X0点处取得极小值 函数的最大值和最小值(略) 曲线的凹凸性与拐点： 定义：设f(X)在a，b上连续，如果对于a，b上的任意两点Xi、X2恒有 f(Xi X2) f (X

15、i f(X2) (2)2，则称f(x)在a,b上的图形是(向上)凹的，反之，图形是(向上) 凸的。 判别法： 定理：设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数 (1) 如果在佝b)内f”(x。)。，那么f(x)的图形在a，b上是凹的 (2) 如果在佝b)内f”(x。)。，那么f(x)的图形在a，b上是凸的 拐点：凸弧与凹弧的分界点称为该曲线的拐点。 不定积分 原函数：如果在某一区间上，函数F(x)与f(x)满足关系式： F (x) f(x)或dF(x) f(x)dx，则称在这个区间上，函数F(x)是函数f(x)的一个原 函数 结论：如果函数f(x)在某区间上连续，则在这个区间上

16、f(x)必有原函数 定理：如果函数F(x)是f(x)的原函数，则F(x) C( c为任意常数)也是f(x)的原函数，且f(x) 的任一个原函数与F(x)相差为一个常数 不定积分的定义： 定义：函数f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分，记做f(X)dX 不定积分的性质： 性质一.(f(x)dx) f (x)或 d( f (x)dx) f (x)dx f (x)dx f(x) C 或 df (x) f (x) C fl(x)f2(x) fn (x)dxf 1 (x) dxf2 (x)dx fn ( X)dX 性质三: 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即 kf(x)dx k f

17、(x)dx(k 为常数，且 k 基本积分表: (1) kdx kx C （k是常数） (2) dx a 1 x 1C(a 1) ln|x| (3) (4) dx axdx (5) x a ln a C(a 0,a1) (6) sin xdx cosx C (7) cosxdx sin x C (8) 斗dx cos x sec2 xdx tan x C (9) dx csc2 xdx sin x cotx (10) secxta n xdx secx (11) cscxcot xdx cscx (12) dx 2 x arcs in x C 1 .1 dx arcta n x 2 x （13）

18、 第一类换元法（凑微分法） f (x) (x)dx F (x) tan xdx ln | cosx | C cot xdx In | sin x | 及 性质二: 有限个函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。即 性质三、如果将区间a，b分成两部分a，c和c，b，那么 将无理式化为有理式 x as int化去根式 第二类换元法：变量代换 被积函数若函数有无理式，一般情况下导用第二类换元法 基本积分表添加公式： 结论： 2 2 如果被积函数含有 a x ,则进行变量代换 厂22 如果被积函数含有 x a，则进行变量代换X asect化去根式 分部积分法： 对应于两个函数乘积的微分法，可推另一种基本微分法 分部积分法 udv uv vdu 分部积分公式 三角函数 1、如果被积函数是幕函数与指数函数的积，可以利用分部积分法 令u等于幕函数 .对数函数 2、如果被积函数是幕函数与.反三角函数的积，可使用分部积分法 .对数函数 人、反三角函数 令u= 3、如果被积函数是指数函数与三角函数的积，也可用分部积分法。 定积分 定积分的定义 定理：如果函数f(x)在a，b上连续，则f(x)在a,b上可积 定理：如