(完整版)空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)[1]

1、空间向量与立体几何【知识要点】1 空间向量及其运算：(1) 空间向量的线性运算： 空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广 到空间依然成立. 空间向量的线性运算的运算律：加法交换律：a + b= b+ a;加法结合律：(a+ b + c) = a + (b+ c);分配律：(+ )a= a+ a;(a+ b) = a+ b.(2) 空间向量的基本定理： 共线(平行)向量定理：对空间两个向量a, b(b丰0), a/ b的充要条件是存在实数，使得a/ b. 共面向量定理：如果两个向量a, b不共线，则向量c与向量a, b共面的充要条件是存在惟一一对实数

2、，使得c= a+ b. 空间向量分解定理：如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组 1 ,2,3,使得 p = ia +2b +3C.(3) 空间向量的数量积运算： 空间向量的数量积的定义：a b= |a | |b I cos ; 空间向量的数量积的性质：a e= |a | cosva, e; a丄 b a b= 0;|a|2 = a a; |a b| |a | |b | . 空间向量的数量积的运算律：(a) b= (a b);交换律：a b= b a;分配律：(a+ b) c= a c+ b c.(4) 空间向量运算的坐标表示： 空间向量的正交分解：建立空

3、间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i,j, k，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i, j, k,由空间向量分解定理，对于空间任一向量a,存在惟一数组 ，a2,a3),使a=aii + a2j+a3k，那么有序数组(ai,a2,a3)就叫做空间向量a 的坐标，即 a= (ai, a2, a3). 空间向量线性运算及数量积的坐标表示：设 a= (ai, a2, a3), b= (bi, b2, b3),则a + b = (ai+ bi, a2+ b2,a3 + b3)； a b= (ai bi,a2 b2,a3b3);a = ( ai, a2,a3);a

4、 b = aibi+ a2b2+ a3b3. 空间向量平行和垂直的条件：a / b(b丰 0) a =bai= bi, a2 = b2, a3=b3(R);a丄b a b= 0aibi+ a2b2 + a3b3 = 0. 向量的夹角与向量长度的坐标计算公式：设 a= (ai, a2, a3), b= (bi, b2, b3),则|a| a a.a； a；af,|b|b b . bb；b3;,a baib|a2b2a3b3cos a, b；I a | b |询2 Of a3/bi b； b；在空间直角坐标系中，点A(ai , a2 , a 3) , B(bi, b2, b3),贝U A , B两

5、点间的距离是i|AB| ,.(ai bi)2 (a2 b?)2 bs)2.2 .空间向量在立体几何中的应用：(1)直线的方向向量与平面的法向量：如图，I为经过已知点 A且平行于已知非零向量 a的直线，对空间任意一点 0,点P在直线I上的由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定.如果直线I丄平面，取直线I的方向向量a,则向量a叫做平面 的法向量.35由此可知，给定一点 A及一个向量a,那么经过点 A以向量a为法向量的平面惟一确定.(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系:设直线I,m的方向向量分别是 a, b,平面，的法向量分别是u , v, 1 / ma / ba= kb

6、, k R ；1丄ma丄ba b= 0;1 /a丄ua u = 0;1丄a/ ua= ku , k R ；/u / vu = kv, k R ；丄u丄vu v= 0.(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：异面直线所成的角：设a, b是两条异面直线，过空间任意一点0作直线a/ a, b/ b,则a与b所夹的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角.n设异面直线a与b的方向向量分别是 vi, v2, a与b的夹角为，显然 (0, ,则2| cos V| ,v2 | 1 Vi V2 1IV1IIV2I直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.设直线a的方向向

7、量是U，平面 的法向量是V，直线a与平面 的夹角为，显然0,2，则 |C0Su,v |u V|u|v| 二面角及其度量： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.记作-1 - 在二面角的棱上任取一点 0,在两个半平面内分别作射线 0A丄1, 0B丄I,则/ AOB叫做二面角 一I 的平面 角.利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若AB, CD分别是二面角 一I - 的两个面内与棱I垂直的异面直线，则二面角 一I - 的大小就是向量AB与CD的夹角的大小.方法二：如图，mi, m2分别是二面角的两个半平面， 的法向量，则mi, m2与该二面角的大小相等或互补.(4)根据题

8、目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题. 【复习要求】1了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表 示.2 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3 掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4 .理解直线的方向向量与平面的法向量.5能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系.6 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.【例题分析】例 1 如图，在长方体 OAEB OiAiEiBi 中，OA= 3, OB = 4, 00i = 2,点 P 在棱 AAi 上，且 AP =

9、 2PAi，点S在棱BBi上，且BiS= 2SB,点Q, R分别是 OiBi, AE的中点，求证：PQ/ RS.【分析】0(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(0, 4 , 0) , Oi(0 , 0 , 2) , Ai(3 , 0 ,24尹0,2)(0叫)，解：如图建立空间直角坐标系，则2), Bi(0, 4, 2), E(3, 4, 0).2 - AP = 2PAi, AP _AA34- P(3,0-)2同理可得：Q(0, 2, 2), R(3 , 2, 0), S(0,4, )3 2 PQ ( 3,2, ) RS,3PQ/RS，又 R PQ, PQ / RS.【评述】1证明线

10、线平行的步骤：(1) 证明两向量共线；(2) 证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可.2、本体还可采用综合法证明，连接PR, QS,证明PQRS是平行四边形即可，请完成这个证明.例2已知正方体 ABCD AiBiCiDi中，M , N, E, F分别是棱A1D1, A1B1, D1C1, B1C1的中点, 求证：平面 AMN /平面 EFBD .【分析】 要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行.解法一：设正方体的棱长为 4,如图建立空间直角坐标系，贝U D(0, 0, 0), A(4, 0, 0), M(2 , 0, 4),N(4 , 2

11、, 4), B(4, 4, 0) , E(0 , 2 , 4) , F(2 , 4 , 4).取 MN 的中点 K , EF 的中点 G , BD 的中点 O,贝U O(2 , 2 , 0) , K(3 , 1 , 4) , G(1 , 3 , 4).MN = (2 , 2 , 0) , EF = (2 , 2 , 0) , AK = ( 1, 1, 4) , OG = ( 1 , 1 , 4), MN / EF , AK OG , MN/EF , AK/OG , MN / 平面 EFBD , AK / 平面 EFBD ,平面AMN /平面EFBD .解法二：设平面AMN的法向量是a = (a

12、1 , a2 , a3),平面EFBD的法向量是b = (b1 , b2 , b3).由a AM0,aAN 0,得2弓4a30,2a24a3取 a3= 1,得 a = (2 , 2 , 1)0,由b DE0,bBF 0,2b2 4R 0,得取 b3= 1,得 b = (2 , 2 , 1).2b 4bs 0,/ a / b, 平面 AMN /平面 EFBD .注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试.例3在正万体ABCD AiBiCiDi中，M , N是棱AiBi, BiB的中点，求异面直线 AM和CN所成角 的余弦值.CB解法一：设正方体的棱长为 2,如图建立空间直角

13、坐标系，则C(0, 2, 0), N(2, 2, i).D(0, 0, 0), A(2, 0, 0), M(2, i, 2),AM (0,i,2),CN(2,0,i),设AM和CN所成的角为，则cosAM CN 2| AM |CN |572异面直线 AM和CN所成角的余弦值是5解法二：取AB的中点P, CCi的中点Q,连接BiP, BiQ, PQ, PC. 易证明：BiP / MA, BiQ/ NC,/ PBiQ是异面直线AM和CN所成的角.设正方体的棱长为 2,易知B1P B1Q .、5,PQ PC2 QC2、6,BiP2 BiQ2 PQ22cosPB|Q,2BP BiQ52异面直线 AM和

14、CN所成角的余弦值是5【评述】 空间两条直线所成的角是不超过90的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角).例4如图，正三棱柱 ABC- AiBiCi的底面边长为a,侧棱长为 2a，求直线ACi与平面ABBiAi所成角的大小.ABBiAi的法向量求解.【分析】是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面解法一：如图建立空间直角坐标系，贝U A(0, 0, 0) , B(0, a , 0) , Ai(0,0,2a),CiD.Ci( r，a2a)取 AiBi 的中点 D，则 D(0,|2a)，连接 ad,则 D

15、C ( -,0,0),AB(0,a,0), AAi(0,0,-2a),2DC1 AB 0, DC1 AA 0,二 DCi平面 ABBiAi,/ CiAD是直线ACi与平面ABBiAi所或的角.Ac；(，a, 2a),AD (0,?, 2a),2 2 2“ AC； AD V3cosCi AD|ACi|AD|2直线AC；与平面ABBiAi所成角的大小是 30.I* 3a a 解法二：如图建立空间直角坐标系，则 A(0, 0, 0), B(0, a, 0), Ai(0 , 0 , . 2a) , Ci(,、-2a),2 2从而 AB (0,a,0), AA；(0,0, 2a), AC；(少，？，、2

16、a)2 2设平面ABBiAi的法向量是a= (p , q , r),由 a AB 0,a AA 0,aq 0,得一取 p = 1,得 a = (1, 0 , 0). 2ar 0,n 设直线Ac；与平面ABBiAi所成的角为，0,sin | cosAC1,a | 1 ACl a 1-,30.|AG|a|2【评述】 充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了 般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换.例5如图，三棱锥 P ABC中，PA丄底面ABC, AC丄BC, PA = AC = 1, BC .2，求二面角 A PB C的平面角的余弦值.

17、解法一：取PB的中点D,连接CD,作AE丄PB于E.PA= AC= 1 , PA丄 AC, pc = bc=2 , CD 丄 PB./ EA丄 PB,向量EA和DC夹角的大小就是二面角A PB C的大小.如图建立空间直角坐标系，则 C(0, 0 ,0), A(1 , 0, 0), B(0,2 , 0), P(1 , 0 , 1)，由 D 是 PB 的1 J2 1中点,得D(亍由PEEBAP2AB1,得E是PD的中点,3EA3),DC1)cosEA, DCEA DC|EA|DC |即二面角A PB C的平面角的余弦值是解法二：如图建立空间直角坐标系，则A(0, 0, 0),BC 2,1,0) ,

18、 C(0 , 1 , 0) , P(0 , 0 , 1),AP (0,0,1), AB ( .2,1,0),CB (.2,0,0),CP (0, 1,1).设平面FAB的法向量是 a= (ai, a2, a3).平面FBC的法向量是b = (bi, b2, b3).由a AF0,a AB0,9得 a30，取 ai = i，得 a (1, .2,0).、2耳a20,由b CB0,b CF0得2b10,取 b3= 1,得 b = (0, 1, 1).b2 b30, a bV3cos a,b|a|b|3二面角 A FB- C为锐二面角，二面角A FB C的平面角的余弦值是| 弓| 弓3 3【评述】1

19、、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上.2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的.例 6 如图，三棱锥 F ABC 中，FA 丄底面 ABC, FA = AB,/ ABC = 60,/ BCA = 90，点 D, E分别在棱 FB, FC上，且 DE / BC.(I )求证：BC丄平面FAC;(II)当D为FB的中点时，求AD与平面FAC所成角的余弦值；(川)试问在棱FC上是否存在

20、点 E,使得二面角 A DE F为直二面角？若存在，求出 FE : EC的值； 若不存在，说明理由.p解：如图建立空间直角坐标系.设 FA= a,由已知可得 A(0, 0, 0), B(丄a,孚a,0),C(0,孚a,0),P(0,0,a).2 2 2(I) - AP (0,0,a), BC (2a,0,0),二 AP BC 0, BC丄 AP 又/ BCA = 90,. BC 丄AC . BC丄平面PAC (II) / D为PB的中点，DE / BC,. E为PC的中点.D(1、31.314a,za,2a),E(0,2a,2a由（I ）知，BC丄平面PAC , DE丄平面PAC, / DAE

21、是直线AD与平面PAC所成的角.- AD ( 1a43a,a), AE (0 n,mv n(B)=I, A , B 内的射影分别是(C)2(D)-3,A, B到I的距离分别是a和b, AB与， 所成的角分别 m和n,若ab,则下列结论正确的是()(D) v,mnABCD AiBiCiDi 中，E, F, G, H 分别为AAi , AB , BBi , BiCi的中点，则异面直线 EF与GH所成角的大小是6.厂V3已知正四棱柱的对角线的长为.6 ,且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等37.于.如图，正四棱柱AiB与ADi所成角的余弦值为1 8.四棱锥P ABCD的底面是直角梯形

22、，/ BAD = 90 , AD / BC , AB BCAD , PA丄底面ABCD,2PD与底面ABCD所成的角是30.设AE与CD所成的角为 ，则cos =.、解答题：9 .如图，正四棱柱 ABCD AiBiCiDi 中，AAi= 2AB= 4,点 E 在 CCi 上,且 CiE= 3EC .(I )证明：AiC丄平面BED ;(II)求二面角Ai DE B平面角的余弦值. n10 .如图，在四棱锥 O ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC - , OA丄底面ABCD , OA4=2, M为OA的中点，N为BC的中点.(I )证明：直线MN /平面OCD ;(I)求异面直线A

23、B与MD所成角的大小.11.如图，已知直二面角一PQ ,A PQ, B, C, CA= CB,Z BAP = 45，直线 CA 和平面所成的角为30(I )证明：BC丄PQ;(I)求二面角B AC P平面角的余弦值.练习答案一、选择题：1. B2. A3. B4. D二、填空题：5. 606. 27.48 j54三、解答题：9 .以D为坐标原点，射线 DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D xyz.依题设,B(2, 2, 0), C(0, 2, 0), E(0, 2, 1), Ai(2, 0, 4).DE (0,2,1), DB (2,2,0),AC ( 2,2, 4), DA!(2,0,4).(I) / A1C DB 0, A1C DE 0, /. AiC丄 BD, AiC丄 DE . 又 DB n DE = D , AiC丄平面 DBE .(n)设向量n = (x, y, z)是平面DAiE的法向量，贝U n DE, n DA,.2y2x4z00 令 y=1得 n= (4, 1, 2).cos(n, AC)n AC|n|AiC|二面角 A1 DE B平面角的余弦值为 49题图如图，分别以 AB, AP, AO所在直线为10题图x, y, z轴建立坐标系.A(0, 0, 0), B(1