《曲线与方程》教案

1、2.1 曲线与方程 一、教学目标：知识技能目标了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义；掌握求曲线方程的几种常用方法和步骤，能根据所给条件，选择适当坐标系和方法求曲线方程。过程与方法 通过学生积极参与，亲身经历曲线方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，渗透数形结合的数学思想。通过自主探索、合作交流，学生历经从“特殊一般特殊”的认知模式，完善认知结构。通过层层深入，培养学生发散思维的能力，深化对求曲线方程本质的理解。情感、态度与价值观目标 通过合作学习，学生间、师生间的相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，逐步养成质疑的科学精神。展现人文数学精神

2、，体现数学文化价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。二、教学重点和难点：重 点：（1）曲线和方程的概念（2）求曲线方程的方法、步骤。难 点：由已知条件求曲线方程.教学难点中，面临着三个问题：（1）如何建立适当的坐标系；（2）如何从形成曲线的几何条件中寻找等量关系；（3）如何选择恰当的方法将几何等量关系转化为曲线的方程。三、教学方法: 探究发现教学法和CAI辅助教学四、课 型：新授课五、教学过程：复习1：(1)，则 AB的中点坐标为（ ， ） (2)直线 与直线垂直是的（ ）条件A充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 （3）非零向量a，b垂直 复习2：画出两坐标轴所

3、成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程复习3：写出到点B（a,b）距离为r（r0）的点的集合二、自学指导阅读课本33-35页，完成下列问题1、直线的方程的概念2、什么是轨迹方程3、什么是曲线的方程、方程的曲线三、新课导学曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线与一个二元方程之间，如果具有以下两个关系：1曲线上的点的坐标，都是 的解；2以方程的解为坐标的点，都是 的点，那么，方程叫做这条曲线的方程；曲线叫做这个方程的曲线思考1：点是否在方程为的圆上？思考2：判断下列结论的正误，并说明理由.（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为x=3(2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为

4、y=1(3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为xy=1 (4) ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程x=0四、讲解范例：例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程式是例2：设、两点的坐标是 ， ，求线段的垂直平分线的方程？方案一：（利用、两点的坐标求得的中点坐标与斜率，再求得垂直平分线方程）、，的中点坐标 线段的垂直平分线方程为 .ABxy30-1-17试问：是否还有其它方法吗？（学生思考）（几何画板动画演示、寻找等量关系）方案二：（利用垂直平分线的性质）M设 是线段的垂直平分线上任意一点（如图），也就是点属于集合由两点间的

5、距离公式，点所适合的条件可表示为将上式两边平方，整理得： 下面证明方程是线段的垂直平分线的方程。（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程的解；（2）设点的坐标是方程的解，即 点到、的距离分别是 即点在线段的垂直平分线上。由（1）、（2）可知，方程是线段的垂直平分线的方程。小结：求曲线的方程的步骤：建立适当的坐标系，用表示曲线上的任意一点的坐标；写出适合条件的点的集合；用坐标表示条件，列出方程；将方程化为最简形式；说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上教师归纳说明：（1）求曲线方程的严格过程应依据上述五个步骤，但在多数情况下，化简前后方程的解集相同，因而所得的方程就是曲线的

6、方程，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可以适当予以说明；另外，也可以省略步骤（2），直接列出方程式。例3已知点的坐标是，过点的直线与轴交于点，过点且与直线垂直的直线与轴交于点设点是线段的中点，求点的轨迹方程解：设点M的坐标为（x.y)则点A的坐标为（2x.0).点B的坐标为（0.2y）=(2x-2.-2), =（-2.2y-2).，即点M的轨迹方程为x+y-2=0 练习1：过原点的直线与圆相交于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。练习2：已知一条直线和它上方的一个点，点到的距离是，一条曲线也在的上方，它上面的每一点到的距离减去到的距离的差都是，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程分析：

7、关键在于如何建立坐标系？建立坐标系的一般规律:1、若有两条垂直的直线，则以该二直线为坐标轴； 2、若有对称图形，则以对称图形的对称轴为坐标轴，对称中心为坐标原点；3、若有已知长度的线段，则以线段所在直线为坐标轴，线段的端点或中点为坐标原点。 4、若有已知直线和直线外一点，则以此直线和定点到直线的垂线为坐标轴。5、让尽量多的已知点在所建的坐标轴上。五、当堂检测：1，线段的方程是（ ）A B C D2. 在三角形ABC中，若|BC|=4，BC边上的中线AD的长为3，求点A的轨迹方程.3.到F(2，0)和y轴的距离相等的动点的轨迹方程是_六、小结 ：1曲线的方程、方程的曲线的定义. 在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可.2求曲线的方程的步骤：建系，设点；写出点的集合；列出方程；化简方程；验证 当堂检测答案：2.解:取B、C所在直线为x轴