圆锥曲线的光学性质

1、圆锥曲线光学性质的证明及应用初探一、圆锥曲线的光学性质1. 1椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；（见图1.1）椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于 F2处，对F2处的物体加热。电影放映机的反光镜也是这个原理。证明：由导数可得 切线I的斜率k = y 一】 x兰0-b2x)2a yo，而PF1的斜率kyo , PF2的斜率Xo ck2 yoXo - Ck kJ到PF1所成的角满足3也.2yob xo Xo ca yob2xyoXoc a2yo2 2 2 2 2a yo b X

2、o b ex。2 .27 2a -b xy a cyv p x）,Yo在椭圆上,tan：,同理,PF2到I所成的角一：满足tan 1二cyok - k21 kk2cyo渝，而；，、1. 2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；（见图1.2）.双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用.1. 3抛物线的光学性质 ：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3 ）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择.例如探照灯、汽车大灯等反射 镜面的纵剖线是抛

3、物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大， 并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向.卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以 抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星 发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在 焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样 保证接收效果.最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的.图1.1图1.2要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转

4、化为数学问题，进行解释论证。二、问题转化及证明2. 1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线I与曲线C交于P , Q两点，当直线I连续变动时，P , Q两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P , Q重合为一点 M ,此时直线I称为曲线c在点M处的切线，过M与直线I垂直的直线称为曲线c在点M处的法线。此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化：2.2圆锥曲线光学性质的证明2 2预备定理1.若点P(xo,y)是椭圆笃爲=1上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：a bxxyoy29 I。ab2证明:2 2一冷=y2=b2(1 一笃)aa,1当x 二a时，过点P的切线斜率k 定存在，且k - y良之，

5、对式求导：2yy=2b2rx ,ab xo二y lx刍 2 一，二切线方程为a yo(x-xo),a yo点2 2x 丄yP(Xo,yo)在椭圆一22 - 1 上，a b故笃卑=1 ，代入得-二1,a ba b而当x 二 a 时，y0二0 切线方程为X = a ,也满足式，故 迸 彎 =1是椭圆过点P(Xo,yo)的a b切线方程.预备定理 2.若点2 2x y、P(xo, yo)是双曲线22 = 1上任一点，则双曲线过该点的切线方程为:a bxxyy29 Iab2证明:2x2axT= y2 =b2(-7-1),a对式求导：2b2,b2xob2x2yy2 x , k - y L之2 一，二切线

6、方程为 y y。-2 o (x x),aa yoa yo1当X 二a时，过点P的切线斜率k 一定存在，且k = y lx ,2.x点P(Xo,y)在双曲线一 a2y2=1上，故b2 2Xoyo彳厂1代入得XoXyya2b2,而当x = a时，y0 = 0切线方程为 x= a，也满足式，故竽-罟=1是双曲线过点a bP(xo,yo)的切线方程预备定理3.若点P(xo,yo)是抛物线y2 =2px上任一点，则抛物线过该点的切线方程是yy = p(x X。)证明：由 y2 = 2 px，对 x 求导得：2yy=2p= k二y|x=xP，-yop2当 y =o 时，切线方程为 y - y (x -x)

7、，即 yy - yo = px - pxo， yo2而yo =2px= yop(x Xo)，而当yo =o,x =o时，切线方程为x =o也满足式,故抛物线在该点的切线方程是yoy二p(x xo).定理1.椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分(图2.1 )2 2已知：如图，椭圆C的方程为 笃每=1 , F1,F2分别是其左、右焦点，I是过椭圆上一点P(Xo, yo) a b设 F2PD 二：，RPD 二：，的切线，I为垂直于I且过点P的椭圆的法线，交 x轴于D , 求证：-.2 2证法一：在C:刍当=1上，P(Xo,yo) C,a b则过点P的切线方程为： 彎譽 =1,a

8、bP且与切线I垂直的法线，则 l:(/Xo11x - W xo y ( aba法线I与x轴交于D(C)2x0,0),a2|FiD|=与X。CF2DFCa2| FiD |aCX3 2| F2D | a -cx02cxo , a|PF1 = a exo,| PF2|=a-exo PD 是 FfF?的平分线，|F2D| |PF2|12- 90，故可得:-证法二：由证法一得切线I的斜率k = y良之二二异，而PF1的斜率k1 =, PF2的斜率Xo +c，又由焦半径公式得:2a yok2，丨到PF1所成的角:满足:X。一Ctan宀匕1 +kki.2yo b Xo:Xoc a yo2b Xoyo2 2,

9、2 2,2a yo b xo b cxo2 r2o o(a -b )xoyo a cyoI2(Xo c)a yo2 2t P(Xo, yo)在椭圆 C ： 22=1 上, a b同理，PF2到I所成的角一满足tan 1t b2 tan ：cyokk2b21 kk2 cyo而眄），-=证法三：如图，作点F3，使点F3与F2关于切线I对称，连结Fi，F3交椭圆C于点PF面只需证明点P与P重合即可。方面，点P是切线I与椭圆C的唯一交点，贝V |PF11 | PF2 |= 2a，是I上的点到两焦点距离之和的最小值（这是因为I上的其它点均在椭圆外）。另一方面，在直线 I 上任取另一点 P，/ |PFi

10、| | PF2|PFi | | PF3 | F1F3 卜：| P”Fi | - | PF21即P也是直线 AB上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而P与P重合，即二-而得证定理2双曲线上一个点 P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分（图 2.2 ）;2X已知：如图，双曲线2C的方程为-与=1，Fi，F2分别是其左、右焦点，I是过双曲线C上的一ba2点P（xo,y。）的切线,交x轴于点D，设 F1PD:,f2pd = 1求证：证明:2每=1，两焦点为bFi(-c,O)，F2(c,0)(c2 二a2b2）， P（Xo, yo）在双曲线上，则过点2 迸-逬=1，切线I与X轴交于D（,o）。

11、a bx由双曲线的焦半径公式得:P的切线cc|PFiH xo a|,| PF2 | Xo-a|，双曲线的两焦点坐标aa|DFi|IDF2II pF | xo + a |为 F (c ,o)，F (-c ,0)，故 | DF1 | |-Xo a |,| DF21=|庐 Xo - a |,aXo axo a|PF2| |xo-a|a故、，切线I为 FPF 之角分线。定理3 抛物线上一个点 P的焦半径与过点 P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P处法线平分(图 2.3 )。已知：如图，抛物线 C的方程为为y =4cx，直线I是过抛物线上一 点 P(Xo,y。)的切线，交 x 轴于 D，. DPFPD

12、F =，反射线PQ与I所成角记为1 ,求证：:证明：如图，抛物线C的方程为C : y2 =4cx，点P(x0, y0)在该抛物线上，则过点P的切线为 y0y = p(x - x0)，切线I与x轴交于D(-x,0)，焦点为 F(c,O)，二(同位角)， |PF(x -c)2 y： =|x c|,| DF 円 x c|,. |PF |=| DF | , :- =:-=通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产 生活中有何应用呢？三、圆锥曲线的光学性质的应用3. 1解决入射与反射问题 例1.设抛物线C :y2二x，光线从点 A (5 , 2)射出，平行C

13、的对称轴，射在C上的P点，经过反射后，又射到 C上的Q点，贝U P点的坐标为 , Q点的坐标为 解：如图，直线 AP平行于对称轴且 A(5 , 2)，则P点的坐标为(4, 2),1 2反射线PQ过点F(丄,0)，设Q(t2,t),4t 28111则，解得：t, Q(,)t2_l4-1158648442 2例2.已知椭圆方程为x y1，若有光束自焦点 A(3 , 0)射出，经二次2516反射回到A点，设二次反射点为 B,C，如图3.1.2所示，则 ABC的周长 为。2 2解：.椭圆方程为 :1中，=25-16=9 ,2516 A (3 , 0)为该椭圆的一个焦点，自 A(3 , 0)射出的光线

14、AB反射后，反 射光线AC定过另一个焦点 A (-3 , 0)故厶 ABC 的周长为：AB BA AC CA =4a =4 5 =20。2 2例3.双曲线C.D 1,又 A C，已知A(4 , 2.2),8 8F (4,0)，若由F射至A的光线被双曲线C反射，反射光通过P(8,k)，则 k=。解：入射线FA反射后得到的光线 AP的反向延长线定过双曲线的另一个焦点 F (/,0) ,12 83. 2解决一类“距离之和”的最值问题张奠宙教授说“在一般情况下，光线在传播过程中，总是选择最 近的路线从一点传播到另一点。这虽然还只是一种停留“经验、感觉” 层面上的结论，但却为我们研究一类“距离之和”取值

15、范围问题时指 明了思考的方向，从而解决了一个从“想不至到“想得到”的关键问题。如果再辅以严格的数学证明，这种“经验、感觉”依然是很有价值的、不可替代的。”我读了他的文章，深受启发，并用圆锥曲线的光学性质解决了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题。2 2Q(21) , P是C上的动点，求例4已知椭圆C25 亍1 , F1、F2为分别是其左右焦点，点图 3.2.2图 3.2.1MFh MQ的取值范围。(一) 分析猜想：(1) 经计算，Q(2,2)点在椭圆内，由于椭圆是封闭图形，因此MF+|MQ应该有一个封闭的取 值范围，既有最小值也有最大值。(2) 同样根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学

16、性质，可得：从F1射出被椭圆反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射(如图3.2.1 ,光线从Rt Rt Q ),二是被下半椭圆反射(如图 3.2.2，光线从Rt F2t F2T Q ),究竟哪种 情况距离之和更小呢？显然，根据椭圆定义，图3.2.1中的PR +|PQ F-| RQ -QF2I，所以，RQ IRR | | P，Fi PQ |。猜想得证。（三）计算：综上所述，只需求出|F2Q|二（4一2）2 42 =2.10，可得最小值为2a-| F2Q|=10-2.10，最大值 为 2a | F2Q| = 10 2,10.2例5已知双曲线C： X2

17、-丄 1 , R、F2为分别是其左右焦点，点Q（4,-） , M是C上的动点，32求MF2 + MQ的取值范围。分析猜想：经计算，Q点在双曲线右支开口内部。由于双曲线是不封闭曲线，显然MF2 + MQ可以无限大，故要求 MF2| +|MQ的取值范围，关键是求出 MF2|+|MQ的最小值。根据光线的“最近 传播”特点，我们猜想：从 Fi射出经双曲线反射后经过点 Q的光线所经过的路程往往是最短的，再结 合双曲线的光学性质（从一个焦点射出的光线经椭圆周反射，反射光线的反向延长线经过另一个焦点）可作出从Fi射出被双曲线反射后经过点 Q的光线：连接FiQ，与双曲线的交点即为使得|MF2 +|MQ 最小的

18、点，设为 P点，光线从F2 Pr Q。（见图2）（二）证明：如图2:按猜想作出点 P，由于所求点P显然不在双曲线的左支上（此时显然距离 之和不会最小），故在右支上另取一点 P，由双曲线定义知：PF1 - PF2 =|PR - PF2 |，即PFi+|PF2=PFi +PF2I，因为 |PFi|+|PQ 勻 PQ +|PFi|，两边同加 | PF?得：图 3.2.5所以 PFi| +|PQ + PF2 | PQ 屮 PFi| + |PF2 | =|PQ PFi PF2I,故 PQ|+|PF2勻 PQ|+|PF2|，猜想得证。(三) 计算：由题意知9- Fi(-2,0),Q(4,-),- | PQ

19、 | |PF2 冃FQ |-|FiP| IPF2I11 EFTigr例6.已知抛物线C： y2 =4x, F是其焦点，点Q(2,1), M是C上的动点，求MF + MQ的取值范围。分析：由于抛物线不是封闭曲线，显然没有最大值，因此关键是求最小值。根据抛物线光学性质（从焦点射出的光线经抛物线反射，反射光线与对称轴平行， 反之也成立），结合光线的“最近传播”特点,我们猜想：过 Q与对称轴平行的直线与抛物线的交点可能就是使距离之和最小的点，设为P点（见图3.2.6 ）。可由抛物线的定义证明猜想是正确的。且PF + PQ工33. 3.圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用。光线反射总是满

20、足反射定律（入射角等于反射角），光线被曲线反射也 不例外，此时的法线就是过反射点的曲线的切线的垂线。可见，曲线的切 线和与曲线有关的反射问题有着密切联系。以椭圆为例：如图3.3.1 ,1是过椭圆周上一点 P的椭圆的切线，m是P点处的法线，光线从（F2）射出被椭圆反射经过F2（F,）,满足/仁/ 2，且/ 3= / 4。2 2例7已知I是过椭圆C： 11上一动点P的椭圆C的动切线，过C的左焦点卩!作I的垂线，16 12求垂足Q的轨迹方程。分析：如图3.3.2，本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，或许借助椭圆参数方程可以求解，但运算相当繁琐。由于 I是椭圆的切线，切点为 P，联想到椭圆光学性质

21、及反射定律，可知：I是ZF,PF2的外角平分线，F,关于直线I的对称点F2在F2P的延长线上。这样，由于 PF, =|PF2j，故 |F, F2 二 PF，HPF2 |=2a =8，而 Q、O 分别是 RF,、F2F2 的中点，所以 Q0-4。 从而Q点轨 迹是以0为圆心、以4为半径的圆。即点 Q的方程为X2 y2 =163. 4在生产生活中的作用例&某种碟形太阳能热水器的外形示意图如图3.4.1 ,其中F为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线以cm为单位的设计尺寸如图3.4.2 为了达到最佳加热效果,F应距碟底多少?解：以碟形内壁底为原点，抛物线的对称轴为X轴，开口方向为X轴的正向，建立坐标系如图3.4.2 ,则内壁抛物线方 程为y2 = 2px .据所示尺寸，抛物线过坐标为 （40,85）的点，2所以85 -2p 40 = 80p , p 90.3 加热点F应置于抛物线的焦点.焦点坐标为（p ,0） （45.2,0）.所以F应距碟