第五章测量误差及测量平差

1、第五章测量误差及测量平差 5.1测量误差概述一、测量误差的概念某量的各测量值相互之间或观测值与理论值之间的往往存在着某些差 异，说明观测中存在误差。观测值与真值之差称为测量误差，也叫真误差。冷-X（i=1、2、n） X为真值。二、研究测量误差的目的分析测量误差的产生原因、性质和积累规律；正确地处理测量成果，求 出最可靠值；评定测量结果的精度；为选择合理的测量方法提供理论依据。三、测量误差产生的原因1测量仪器因素2观测者的因素3外界条件的因素测量观测条件一一测量仪器、观测人员和外界条件这三方面的因素综合 起来称为测量观测条件。等精度观测一一测量观测条件相同的各次观测称为等精度观测。非等精度观测一

2、一测量观测条件不相同的各次观测称为非等精度观测。四、测量误差的分类1. 系统误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小、符号表现 出系统性，或按一定的规律变化，或保持不变，这种误差称为系统误差。其特点：具有累积性，但可以采用适当的观测方法或加改正数来消除或 减弱其影响。2. 偶然误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测， 如果误差的大小和符号不定, 表面上没有规律性，但实际上服从于一定的统计规律性，这种误差称为偶然 误差。偶然误差单个的出现上没有规律性，不能采用适当的观测方法或加改正 数来消除或减弱其影响。因此，观测结果中偶然误差占据了主要地位，是偶 然误差影响了观测结果的精确性

3、。五、减少测量误差的措施对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。 对偶然误差，通常采用多余观测来减少误差，提高观测成果的质量。 5.2偶然误差的特性一、精度的含义1准确度准确度是指在对某一个量的多次观测中，观测值对该量真值的偏离程度。2精密度精密度是指在对某一个量的多次观测中，各观测值之间的离散程度。3精度精度也就是精确度，是评价观测成果优劣的准确度与精密度的总称，表 示测量结果中系统误差与偶然误差的综合影响的程度。由于系统误差总是可以采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其 影响，我们认为观测结果中的误差主要是偶然误差。实际测量中通常真值是 不知道的，所以测量中所讲

4、的精度，通常指的是精密度。测量学上研究的误差是偶然误差。二、偶然误差的特性通过对偶然误差统计规律的分析，来找出其具有的特性。本例以对一三 角形内角和观测结果（独立观测162次）来说明。真误差一一观测值与真值的差值。 i= li-X ,i=1,2,162将162个真误差先进行统计分析，取误差区间d为0.2，各误差区间 的个数为k，相对个数为k/n，n为总个数，见表5-1。从表5-1中可以看 出一些规律。为了更直观表示误差的分布情况，可用直方图的形式来表示。其方程式为：式中：x= ，f（X）=（T =m（中误差），即标准偏差根据以上分析，偶然误差有以下特性:1. 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对

5、值不会超过一定的限值2. 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的机会多。3. 绝对值相等的正、负误差出现的机会均等。4. 偶然误差的算术平均值随观测次数的无限增加而趋向于零，即:.lim 0“匸n 5.3衡量测量精度的指标精度一一误差分布的密集或离散程度 衡量测量精度的指标主要有中误差、相对中误差和极限误差。一、中误差各个真误差的平方的平均值的平方根，称为中误差，用m表示。式中：戶 12+ 22+ + n2 m值越大，精度越低，m值越小，精度越高。二、相对中误差评价测距精度时，用以上绝对的误差值是不能反映实际精度的高低, 而应用相对中误差来评价。相对中误差是观测值中误差的绝对值与观测值之比，

6、通常化成分子 为1的分数式。m 1 T =一 =丄l MT值越小，表示精度越高，即 M越大，精度越高。三、极限误差极限误差也称为容许误差或限差。根据偶然误差的特性，在一定的 观测条件下偶然误差不会超过一定的限度，这个限值即为极限误差。统计表明， m的概率为32% 2m的概率为5% 3m的概率为0.3%因此,通常取三倍中误差作为偶然误差的极限值，即容二 3m要求严格时，也常取二倍中误差作为极限误差，即容=2m 5.4误差传播定律有些未知量是不能直接测定的，而是要通过观测值按一定的函数关 系计算而得，那么，函数中误差与观测值中误差的关系如何呢？ 误差传播定律：阐述函数中误差与观测值中误差之间的关系

7、。、观测值一般函数的中误差设有函数Z = f(X1 ,X2,xn)对函数取全微分得：dXndz 二耳 dXi耳 dX2VX1x2xn令观测值X1, X2,Xn的真误差为 X1,X2, Xn,函数Z的真误差为 Z,由于真误差一般都很小，故上式可写成：A 拼丄吋丄吋AXXiX2Xn.X1X2Xn当函数关系确定时，偏导数为常数，则令：.Xi二 ki,工二 k2,二 kn&2GXn Z=k1 X1+ k2 x2+ + knA Xn设对观测值Xi, X2,Xn进行了 n次等精度观测，则有 Z=kl X11+ k2 X21+ + kn Xn1 Z=k 1 X12+ k2 X22+ + kn Xn2 Z=k

8、1 X1n+ k2 X2n+ kn Xnn把上式两边平方，相加后再除以 n得：2 2 2凹*2亠k22J .汀山nnnn2k1k2XX 2k2k3XX31 .nn根据偶然误差的特性4，上式写成：2 2 2 凹十/亠k22亠 V亠 nnnn根据中误差的定义，有：2,2 2 , 2 2 , 2 2mz =k1 mX1 + k2 mX2 + + kn mkn 即：I cf 2 2_2 2_2 2mz 二、()m1( ) m2( ) mnV CX-!CX2CXn例：量得一球体的直径为 10.5cm,已知其量测中误差为土 0.5mm,求 该球的体积及其中误差。解：函数关系为：V =4 二R3二(D)3

9、J-：D3 =606.1cm33326/ 矽、22 eV1c r2兀小2mv = . () mDmD3 D mDD mD.:D:D623= 8659mm3= 8.659cm、求观测值函数中误差的基本步骤1按问题的要求，列出具体的函数关系式;2. 对各观测值求偏导数；3. 写出函数中误差与观测值中误差的关系;4. 计算相应函数值的中误差。三、几种观测值典型函数的中误差1. 和差函数的中误差设有函数Z= X1 X2 X2mz 二.m12 m22 爲-:mn2若m1=m2=mn贝U: mz = m . n2. 倍数函数的中误差设倍数函数 Z=kx则有mz=km说明所求值与观测值是倍数关系的话，其中误

10、差也是倍数关系3. 线性函数的中误差设有线性函数 Z=k1X1 k2X2 土土 knXn则有：mz _ - . k12m12 k22m22 学 * kn2mn2 5.6等精度观测的直接平差、求最可靠值1.算术平均值若对某一量进行n次等精度观测，观测值为11,12,ln,则这些观测值的 算术平均值x为：h 2IX =2.等精度观测值的最可靠值算术平均值有什么作用呢？设该量的真值为X,则有:r 1=1 1 X 2=1 2 X n=1 n X上式相加得：l1 l InXn即上丄Xn-x时，即x= x，表明当观测次数无限多 实际上观测次数总是有限的，在这种情况/n，所以算术平均值是观n n根据偶然误差

11、的特性4,当 时，算术平均值就是该值的真值， 下，算术平均值与真值之间只差一个微小量 测值的最可靠值 二、精度评定当被观测量的真值知道时，可用下式计算中误差:* n若被观测量的真值不知道时，则应用下式计算中误差:- VV1v为观测值的改正数。1.观测值的改正数观测值的算术平均值与观测值之差，称为观测值的改正数。当观测次数 为n时，有：V1= x 11V2= X12 Vn= X In将上式相加得：v= n x I =0, 即v =0,用于计算检核。2.观测值的中误差在实际测量中，某量的真值往往是不知道的，因此要先求出算术平均值， 再得出改正数，按下式计算中误差：其推导过程为：设对真值为X的某一量

12、进行n次等精度观测，则有r 1= IlX I 2= b X、 n= In X并移项得：广 i = Vi (X x) 2= V2 (X X)- n= Vn (X X)式两边平方后再相加得：2 =vv+n(X x) +2(X x)V 即得 =vv+n(X x)2式中(X-x )是算术平均值的真误差，无法求得，用算术平均值中误差 M 代替，上式两边同除n得：二二vvm2=r n n n将m2-三代入上式,2 vv m2 m =n n整理得：m二一一黑该式即为当真值未知时用改正数计算观测值中误差的计算公式。n-1为多余观测数。例：对某距离丈量了5次，结果为：15.154m, 15.158m, 15.1

13、55m，15.156m, 15.157m。求观测值中误差及相对中误差。解：先求出算术平均值：i 0412 3x1515415156mm = 15.156mn5再求改正数：2 2vi =(15156-15154)=4vv=10V22=4 ,2 人22 人V3 =1 ，V4 =0 ， V5 =1mvvn1tQ丄l 9600510- 25 = -1-58mm3.算术平均值的中误差设对某量进行n次等精度观测，观测值中误差为 m，则算术平均值的中误差M为：M = m，其推导过程如下:Pn丄.Jnnn nnv(-)2m1(-)2m2+(-)2m12nnnm,则有:M =和（丄）2m2 nY n即 M = -m.n从上式可看出，取多次观测值的平均值可以提高