第1章数字电子基础知识

1、第一章数字电子基础知识内容提要：1. 数制和码制、数制之间的转换2. 逻辑代数的公式和定理3. 逻辑函数的表示方法一一真值表、函数式、逻辑图、卡诺图4. 逻辑函数的两种标准形式及最小项和最大项5. 逻辑函数的化简一一公式法和卡诺图教学大纲基本要求：熟练掌握以下内容：1. 二进制数、十进制数、八进制和十六进制数之间的转换；2. 8421BCD 码3. 逻辑函数的基本定律和定理4. 逻辑问题的描述方法5. 逻辑函数的化简与变换重点与考点：1. 各种常用数制之间的转换（常见考点）；2. 逻辑代数中的基本公式、常用公式、基本定理和基本定律；3. 逻辑函数的四种表示方法及其相互转换；4. 最大项和最小项

2、的概念及关系；5. 逻辑函数的公式化简法和卡诺图化简法，重点是 5变量以下的卡诺图化简， 包括任意项的逻辑函数的化简。难点：1. 多变量逻辑函数的公式化简；2. 多输出逻辑函数的简化。教学内容：一、逻辑代数与基本逻辑函数逻辑代数即是应用于二值逻辑电路中的布尔代数。其特点：一是它的所有变量与函数值仅有两个特征值0和1,具有排中性，它们所表示的是一对互为相反 的差异，它的公式、规则、定理和定义均用二值逻辑的因果关系来理解。二是逻辑代数只有三种基本运算，即与、或、非，对应的即是逻辑与、逻辑或、逻辑非, 利用这些逻辑运算则可得出处理实际逻辑问题的各种复合逻辑，如与非、或非、 与或非、异或、同或等，用来

3、实现这些基本逻辑运算和复合逻辑运算的单元电路 统称为门电路，其逻辑符号、逻辑函数式、输入输出真值表及基本运算规则如下 所示、逻辑代数的基本公式与定理(1) 逻辑代数的基本公式又称为布尔恒等式，在二至逻辑中，这些公式反映了值逻辑的基本思想，体现了逻辑代数的运算规律，是逻辑运算的重要工具，逻 辑代数的基本公式如表2所示:表2逻辑代数的基本公式(2) 逻辑代数的常用公式18、A AB = A 吸收法项多余在一个与或表达式中，一项包含了另一项，则该19 A A A B 消因子法 两个乘积项相加时，若一项取反后是另一项的 因子，则该因子是多余的20、 AB AA 并项法两个乘积项相加时，若两项中除去一个

4、变量相反外，其余都相同，则可用相同的变量代替这 两项21、AB AC B AB AC消项法若两个乘积项中分别包含了 A和A反两个因子，而这两项的其余的因子组成第 三项时，则第三项是多余的。22、AB AC二AB AC求反函数法(3) 逻辑代数的基本定理1、代入定理：任何一个含有变量 A的逻辑等式，如果将所有出现变量 A的位置 都代之以另外一个逻辑等式，则等式仍成立。2、 对偶定理：对于任何一个逻辑函数式 Y，若将其中的“变“ +”，“+”变1变0, 0变1,则得出一个新的式子丫，Y 为丫的对偶式。“四变一不变” 变0, 0变1原变量变反变量，反变量变原变量，得出的新函数式是原函数的3、反演定理

5、：对于任意一个式子 丫，将其中的”变“ + ”，“ +” 变 “.”，1反函数。“六变二不变”对于反演定理的应用要特别注意： 保持原函数的运算优先顺序。 不属于同一个变量上的非不能去掉。三、逻辑函数及其化简常用的方法：公式法和卡诺图法。一些重要的概念：最小项、最大项和卡诺图 最小项：在n个变量的逻辑函数中，若 m为包含n个因子的乘积项，每个变 量均以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次，则这些与项称为n个变量的最 小项记为mi。最小项的性质：n个变量有2n个最小项每个最小项等于1的机会只有一次；任意两个最小项的积为0；全体最小项的和为1 ；只有一个变量不同的两个最小项，可以合并成一项（去掉不同

6、变量而保持相 同变量）。 最大项：n变量的最大项就是n个变量的和，而且每个变量都以原变量或反变 量的形式在这个和项中出现一次，且仅出现一次。最大项的性质：n个变量有2n个最大项；（n个变量有2n个最小项）2n最大项等于0的机会只有一次；（最小项等于1的机会只有一次）全体最大项的积为0；（全体最小项的和为1）任何两个最大项的和为1 ；（任意两个最小项的积为0）只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和；（只有一个变量不同的两个最小项可以合并为一项，消去不同的变量） 最小项和最大项的关系:M i = mi 卡诺图：把n变量的全部最小项用n个小方格表示，并使具有逻辑相邻的最小 项在几何位置

7、上也相邻地排列起来，所得到的图形叫 n变量的卡诺图。(3、4变 量的卡诺图画法要熟练)卡诺图是特点：几何位置相邻的最小项在逻辑上都具有相邻性几何相邻：相接一紧挨着；相对一任一行或任一列的两头；相重一对折起来位置 重合的。 具有无关项的逻辑函数的化简：任何一个n个变量的逻辑函数总可以用 m个最小项之和的形式来表示，若剩 下的2n -m个最小项使函数式的逻辑值为 0,这就表明此函数式与其2n个最 小项都有关。2n一个n变量的逻辑函数，有时并不是与它的2n个最小项都有关，而是只与其 中的一部分有关，与另一部分则无关，这一部分无关的最小项并不决定函数 的值，故称为无关项。2n -m无关项的出现一般有两

8、种情况，一是某些实际问题中，加在逻辑电路中的输 入变量的某些取值不可能或不允许出现，这种对于输入变量取值所加的限制称为约束，所对应的最小项称为约束项。二是输入变量的某些取值的出现不 会影响逻辑函数的有效取值，通常把这些输入变量的取值所对应的最小项称 为任意项或随意项。约束项和任意项称为无关最小项，可以填入卡诺图中并 可随意视为0或1参与化简，而使函数式化简为最简形式，并不会影响该逻 辑函数的实际功能。四、数制之间的转换及码制五、考点及常见题型分析：例 1. (158.828125) io=( 10011110.0110101 2解：十进制数转换为N进制数的方法是：整数部分连续除基数 N，至商为

9、0，取 余数逆序排列；小数部分连续乘基数 N，取整数顺序排列。例 2. (10011110.110101 2=( 158.828125 10解：任意进制数转换成十进制数可用权展开式法一一具体来说是：见1加其权。例 3. (10011110.110101 2=(236.65) 8 =(9E.D4) 16解：用分组法可将二进制数转换为 2n进制数一一以小数点为界，向左右 n位分 一组，左右端不够可以补 0。注意：有的教材二、八、十六进制分别用下标B、0、H表示。例5. 4个不同进制的数 376.125D、576.10、110000000B 17A.2H，按大小排列的次序是()()()()。(浙江大

10、学1989年)解：二进制数 110000000B= 180H八进制数 576.1Q= 101111110.001B=17E.2H十进制数 376.125D= 178.2H十六进制数17A.2H得：180H 17E.2H 17A.2 178.2H所以排列次序如下：110000000B 576.1Q 17A.2H 376.125D课堂练习：1. 100i0=( 110010C) 2=( 144) 82. 0.85156250=( 0.1101 101) 2=( 0.DA) 163. 1101 011t=(215)10=(D7)16例4.试判断一个8位二进制数A=A 7A6A5A4A3A2A1A0所

11、对应的十进制数能否被 810整除(华中理工大学1999)。解：首先将二进制数A转换成十进制数，然后除以810，若余数为0,则能被810 整除。设二进制数A对应的十进制数为D，利用权展开式法，得D =A7 27 A6 26 As 25 A4 24 A3 F A 22 A 21 民 2-(A724A323As22A,21-A3)23(A222A,21A02)由上式可见，前5项都含有23,因此可以被8整除；后3项之和为0 7,所 以，只有后3项为0,数D方可被8整除。23810例5 .将十进制数0.85937转换成二进制小数，要求截断误差不能大于0.02。解：考查小数点后取几位。因为 26 = 0.

12、0156250.02,所以小数点后取5位即可 满足。0.8593710= 0.110112例6 .用8421BCD码表示十六进制数B7E16。解：首先把十六进制数转换成十进制数，然后表示之。B7E16 =11 162 7 161 14 160 =2942。=0010100101000011bcd例7.个15位的二进制数最大可表示多大的十进制数？ 一个5位的十进制数最多需要几位二进制数表示？解：15位二进制数的最大值：215- 1= 3276710,即最大可表示5位的十进制数。 一个5位的十进制数最大值为9999910, 217 -1 =13107110因此216-仁655351o999991o

13、217-1=131O711o故5位的十进制数需17位二进制数 来表示。例8.判断 一个二进制数的低2位为0,则该数可被4整除。(V) 一个二进制数的低4位为0,则该数是16的整数倍。(V) 一个十六进制数，只有最低位数为0时，则该数才是8的整数倍。(X)(最 低位数为8时，也是8的整除倍。)例 9.已知函数 =F(A, B,C,D) 7 m(0,2,8,10,12,14)丫2 二 F(AB,C,D)m(0,1,2,4,5,11,13,15)用卡诺图求函数运算(第 Y2) O (丫!二丫2)的值(上海大学2000)解：画出两个函数的卡诺图，然后求(丫1 +丫2)然后求(丫丫2)，最后求出。答案是

14、：Y=A+D+B例10.若F =ABC (A B C)(AB BC AC)请直接写出：F的对偶式和反函数(南邮2000)s F一(A + B + C)ABC + (A + B)(B + C)(A+C)解：_F = (A B C) ABC (A B)(B C )(A C)例11.函数F二A(B CDE)的反函数为(B)(国防科大1999)A. A(B CDE) B. A B(C D E)C. A B(C D E) D. A BC D E例12.若已知xy + yz + yz = xy +z判断等式成立的最简单方法是依据以下()。(北邮 1997)A.代入规则B.对偶规则C.反演规则D.互补规则例

15、13.用基本公式和定理证明下列等式： AB BDAB D (反演律的应用) (A 二 B) O (AB) =AB证：左=(AB AB) O (AB)二(AB) O (AB)+(AB) O (AB)= (AB)(AB) AB AB (AB)(AB) ABAB= AB(Ab AB)例14.函数F二AB二BC AC的最简与或非式为()解：F 二 AB 二 BC AC = AB * BC AB * BC AC=(A B)BC AB(B C) AC = ABC ABC AC画该函数卡诺图，然后圈0画简，得函数Y的反函数，进而求出函数 Y的最简与或非式。丫二Ac Ab bc注意：从卡诺图圈0化简，可得到函

16、数的最简与或非式。例 15.设 丫1=迟 m(0,4,8,12)，丫2=迟 m(1,4,7,9,11)则 L Y 丫2=( m4 )，丫1丫2 =(mo m8 mb)例16.以下说法正确的是：d (北邮1997)a. 一个逻辑函数的全部最小项之和恒等于 0。b. 一个逻辑函数的全部最大项之和恒等于 0。c. 一个逻辑函数的全部最小项之积恒等于 1。d. 一个逻辑函数的全部最大项之积恒等于 0。例17.利用卡诺图化简函数FM (M2,M3,M6,M7,M9,M11,M13)，并用或与表达式表示。解：F ：| M (M1,M2,M3,M6,M7,M9,M11,M13)二m(0,4,5,8,10,1

17、2,14,15)最小项与最大项的关系画卡诺图：然后求出其反函数，由反函数得F的与或非表达式，然后根据反演律 变成与非一与非式，最后求得或与表达式。由卡诺图圈0得：F =AC ACD - BD由上式得函数的与或非表达式：F = AC BD ACD最后写出其或与表达式：F =(A C)(B D)(A C D)例18.用图形法化简函数为最简与或式：(北理1999)f(a,b,c,d)= AbC Abd bcd Bcd约束条件为：ABC Bcd abc =o解：画卡诺图：直接写最简与或式：F = AB AC BD AC六、本章练习题：1. 和 8421BCD 码(1010100)等值的二进制数是(11

18、0110)。(南理 2000)2. (144) 8=(64) 16=( 1100100) 2=( 100) 10(南邮 2000)3. (01111001.1 8421 = (01001101.1100 ) BCD 格雷码=( )2=( ) 164. 下列几种说法与BCD码的性质不符合的是(c)a. 一组四位二进制数组成的码只能表示一位十进制数。b. BCD码是一种人为选定的09十个数字的代码。c. BCD码是一组四位二进制数，能表示十六以内的任何一个十进制数。d. BCD码有多种。(国防科技大学1999)5. 将一 TTL异或门(输入端为A,B )当作反相器使用，则 A和B应当如何连 接？(

19、 a)a. A或B中有一个接1b. A或B中有一个接0c. A或B并联使用d. 不能实现(国防科技大学2000)6. 判断a. 连续“同或” 2001个1的结果是“ 1”。(V)b. 正“与非”门也就是负“或非门” 。(V)c. 已知 x+y=x+z 贝U y=z。(X)d. 已知xy=xz，则y=z。（x）（国防科技大学2000）7 .将十进制数586分别用8421码、余3码和格雷码表示出来。（中国科学院自 动化研究所1997）解：58610= 0101 1000 0110i421BCD=1000 1011 1001 余3 码=01111100010Gray8. 一个8位的二进制计数器，对输

20、入脉冲进行计数，设计数器的初始状态为0 问：计入75个脉冲后，计数器的状态时什么？要表示所有 3位十进制数，至少 需要几位二进制数？解：7510= 010010112。该题实际上时将十进制数 75转换成二进制数。3位十进制数为000 999,而29- 1= 511999i0210-1=1023,所以至少需用 10位二进制数。化简为最简与或非式9将逻辑函数 FSBCWABC ABD ABC ACDB C +BCD =0（北理1998）解：利用卡诺图圈0得函数的反函数，然后求最简与或非式 答案：丫二 AB AC ACD考题集锦:1. 用代数法证明：（A二B） V =（A V）二B二（BC） （宁波

21、大学2004年） 证明：左=2. 写出下列函数的最简与或式（16分，宁波大学2004年） R 二 BC D D（B C）（AD B） F2 二為 mi （i =0,2,7,13,15）约束条件： mi （i = 1,3,4,5,6,8,10） = 0 ,（用卡诺图化ii简。）解:F1 = BC D (B C)(AD B)二 BC D ABD ACD BC 二 B DF2 二 BD AB 或者 F2 二 BD BD4. 利用卡诺图将下式化简成最简与或式（画出卡诺图）F （0,1,2,368） 、d（10,11,12,13,14,15）（ 宁波大学 2005年 10 分）F 二AB CD BD5.

22、 逻辑代数基础题（18分重庆邮电学院2004年） 用公式法将下列逻辑函数简化成与或表达式（9分）f = A 二 B AB AB ABCAB Ab AB AB ABC解.=A B AB ABC=Ab +ab +ABC二 b AC 用图形法将下列逻辑函数简化成与或表达式。（9分）Z（A,B,C,D）八 m（0,5,8,10,12,15） d（1,2,6,11,14）Z =AC AD BD ACD6. 简答题（要求用尽可能简明扼要的文字回答问题，每题1分 重庆邮电学院2004 年） 什么码叫BCD码？并列出8421BCD3。 与十进制数136对应的等值的二进制数是多少？10001000 与二进制数1

23、01010101.1101对应等值的十进制数是多少？341.8125 与二进制数11010010.1010对应等值的八进制数和十六进制数是多少？322508D2A67. 十进制数30.25转换为十六进制数为（1E.416 ），转换为二进制数为（11110.01 ）。每空2分，重庆邮电学院2003年8. 常用的逻辑函数的表示方法有（）、（）、（）和（）。每空2分，重庆邮电学院2003年真值表、逻辑函数式、逻辑图、卡诺图9. 当i = j时，同一逻辑函数的两个最小项 mi mj =（）;两个最大项Mi M j二（）。每空2分，重庆邮电学院2003年0 110. 已知函数F = ABC BC则其最简与非一与非式为（）最简或非一或非式为（）最简与或非式为（）每空2分，重庆邮电学院2003年与非与非式：F二ABC BC二ABC BC根据已有的与或非式,F = AB BC BC = (A B)