第63课时—空间中的角(2)(2)

1、高三数学第一轮复习讲义(63)2004.12.15平面与平面所成的角一.复习目标：掌握二面角及二面角的平面角的概念；熟练掌握作二面角平面角的一般方法. 二知识要点：1. 二面角的概念：2. 二面角的平面角： 3求二面角平面角大小的一般方法： .三课前预习：1.二面角 I内有一点P，若P到平面的距离分别是5,8，且P在平面,的内的射影的距离为7,则二面角I 的度数是(A) 30(B)60(C)120o(D) 150(A) 3335(C)7T3DBB1交AA于点M ,2.已知E, F分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱BC, CC1的中点，贝V截面AEFD1与底 面ABCD所成二面角的正弦值

2、是(B)f3(D)竽33. 对于平面几何中的命题：如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述的命题，可以得到命题:，这个命题的真假性是 4在四面体 ABCD中，AB, BC, BD两两垂直，且 AB BC 2 , 点，异面直线AD,BE所成的角为arccos10，则二面角D AC10大小为四.例题分析：例1 .如图，点P为斜三棱柱 ABC A B1C1的侧棱BB1上一点，PMPN BB1 交 CC1 于点 N , (1)求证：CC1 MN ；(2)在任意 DEF中有余弦定理： DE2 DF2 EF2 2DF EF cos DFE .拓展到空 间，类比三角形的

3、余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角 之间的关系式，并予以证明.例2如图，已知四棱锥P ABCD的底面是直角梯形,AB BC PB PC 2CD，侧面 PBC 底面 ABCD(1) PA与BD是否相互垂直，请证明你的结论；(2) 求二面角P BD C的大小；(3) 求证：平面 PAD丄平面PAB ABC BCD 90,解：(1) PA与BD相互垂直证明如下：取BC的中点O,连结AO，交BD于点E ;连结PO A - PB PC , PO BC .又平面 PBC 丄平面 ABCD , 平面PBC门平面ABCD BC , PO丄平面ABCD . 在梯形ABCD中，可得Rt

4、 ABO Rt BCD ,BEO OAB DBA DBC DBA 90, 即 AO BD , PA BD .(2)连结PE ,由PO丄平面ABCD , AO BD，可得PE BD ,设 AB BC PBPC 2CD 2a，则在 Rt PEO 中，PO ，3a,OE5a,5PEO为二面角P BD C的平面角,tan PEO15.二面角 P BD C 为 arctan 15 .EO(3)取PB的中点N，连结CN，由题意知：平面 PBC丄平面PAB , 则同“(1)”可得CN 平面PAB .取PA的中点M，连结DM ,MN，则由MN/AB/CD ,MN AB CD，得四边形 MNCD为平行四边形.

5、CN / DM , 2 DM丄平面PAB .平面PAD丄平面PAB .解答二：取BC的中点O,由侧面PBC丄底面ABCD , PBC是等边三角形，得PO丄底面ABCD .以O为原点，以BC所在直线为x轴， 过点O与AB平行的直线为y 建立如图所示的空间直角坐标系 设CD 1,则在直角梯形中， 在等边三角形PBC中，PO轴，OAB33)xyz,BC 2,1oy1,0), P(0,0, 3)1,A(1, 2,0), B(1,0,0), D(BD ( 2, 1,0),PA (1, 2,(1) PA与BD相互垂直证明如下： uuu uuur PA BD,PA BD .(2) 连结AO，设AO与BD相交

6、于点由 OA BD 1 ( 2)( 2) ( 1) 0BDPA ( 2)连结PE .uuu0,得 OA1 ( 1)UUUTBD,即 AO2) 0 (3)0,BD .3又 AO为PA在平面ABCD内的射影, PEBD ,PEO为二面角PBD C的平面角在RtBEO 中，OEOB sinOBE5 .5在RtPEO 中，tanPEO -PO.15 .OE面角 P BD C 为 arctan .15.(3)取PA的中点M，连结DM，则M的坐标为uuur 又DM33uuu,PB(1,0,3),uuuuruuu 3-L- DMPA - 10 (2)(.3)022uuuur uuu 33LDM PB100

7、-(3)0.22uuuuruur uuuuruuu DMPA, DMPB,即 DMPA, DM PB DM丄平面PAB .平面PAD丄平面PAB .小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法.五课后作业：班级学号姓名1.过正方形 ABCD的顶点A，引PA丄平面ABCD，若PA AB，则平面ABP和平面 CDP所成的二面角的大小是()(A) 30(B)45(C)60(D) 902已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为，那么的取值范围()(A) 60180(B)60(C)90(D)90 或 603已知正方形 ABCD , AC,BD交于点O ,若将正方形沿 BD折成60的二面角，并给 出四个结论：(1) AC BD ; ( 2) AD CO ; ( 3) AOC为正三角形；(4) cos ADC 3，则其中正确命题的序号为.44.平行六面体ABCD A1B1C1D1的底面是矩形，侧棱长为2cm，点G在底面ABCD上 的射影H是CD的中点，CC1与底面ABCD成60o的角，二面角A CC1 D的平面角等 于30o，求此平行六面体的表面积.5.在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD , PD DC ,E是PC中点，作EF PB交PB于F . (1)证明PA/平面EDB : (2)证明PB 平面E