第10章导体和电介质习题解答

1、第10章静电场中的导体和电介质习题解答在B、C板上分别感应异号电荷_q1和_q2，由电荷守恒得方程10- 1点电荷 q处在导体球壳的中心，壳的内、外半径分别为Ri和R2。试求：（1）r : Ri ；（ 2）Ri : r ： R2 ；（ 3）r R?三个区域的电场强度和电势。r为观察点到 q的距离。当 R1 : r ： R2 时，E2 = 0 E2 = 0,V2q4 二；0r2-q解：由咼斯定理. E dS二-；0得q(1)当 r : R1 时，E12E1Jq(-丄）4脱0r4二；0r4二；0r艮r2当 r -R2时，E3 q 2 E3 q 2,V3-4ns0r4 昭 0r4 兀 E0rRi-

2、Q- - q 111(2)当 r : R1 时，V1E1 dr E2 drE3 dr()”记r24 胧 0 r RR2当 R1 : r : R2 时,R2V2 二 r E2dr =q4 二；0R2当r - R2时,drq4二；0r10-2 一带电量为q，半径为rA的金属球 A,与一原先不带电、内外半径分别为花和rc的金属球壳B同心放置，如图所示，贝U习题10- 2图中P点 的电场强度如何？若用导线将 A和B连接起来，则A球的电势为 多少？（设无穷远处电势为零）解：过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧 会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q。根据高斯定理可得E4 n2 = q/ sd

3、可得P点的电场强度为q当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时，外侧将出现同种电荷q。用导线将A和B连4 二；r2壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是rc，所以A球的电势为q4二；10 3 同轴电缆是由半径为 Ri的直导线和半径为 R2的同轴薄圆筒构成的， 其间充 满了相对介电常数为$的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线和圆筒的带电量分别为+入和-入则通过介质内长为 I，半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？该圆柱面上52ID+q 1$S2JJS0J任一点的场强为多少？解：介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的.在内外半径之间作一个半径为r、长为I的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理

4、， 通过圆柱面的电位移通过等于该面包含的自由电荷，即d = q =入I。设高斯面的侧面为 So,上下两底面分别为 Si和S2。通过高斯面 的电位移通量为 d = ?S D dS=D dSD dSD cS- 2 rID可得电位移为 D = X2 nr 其方向垂直中心轴向外。电场强度为E = D/ $ $ = 2 n oerr方向也垂直中心轴向外。10 4如习题10 4图所示，金属球壳原来带有电量Q,壳内外半径分别为 a、b,壳boarq内距球心为r处有一点电荷q,求球心o的电势为多少?解：点电荷q在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，距 离球心都为a。外壳上就有电荷 q+Q，距离球为bo球

5、心的电势是所 有电荷产生的电势叠加，大小为1_q1 _q 1 Q q4 二；0 r 4二；0 a 4二；0 b210 5如习题10 5图所示，三块平行金属板 A、B和C,面积都是S = 100cm , A、. .、 _8 、B相距d1 = 2mm , A、C相距d2 = 4mm , B、C接地，A板带有正电荷 q = 3 10_ C，忽略边缘效应.求(1) B、C板上的电荷为多少？(2) A板电势为多少？解：(1)设A的左右两面的电荷面密度分别为叼和匝，所带电量分别为q1 = cnS 和 q2 = (2Sq = q i + q2 = cS +c2SA、B间的场强为Ei = oi/qA、C间的场

6、强为E2 = o/ q设A板与B板的电势差和 A板与C板的的电势差相等，设为AU，则U = Eidi = E2d2,即odi = C2d2 -解联立方程和得o = qd2/S(di + d2)所以qi = oiS = qd2/(d 计d2)= 2 10-8(C)-8q2 = q - qi = i W (C)B、C板上的电荷分别为-8qB = -q i = -2 iW (C)-8qc = -q 2 = -i iW (C)10-6无限大均匀带电平面A,带电量为q,在它的附近放一块与A平行的金属导体两板电势差为AU :=E idi = odi/ = qdid2/ S(d计d2)由于k =:9 W09

7、 = i/4 n 0所以0 :-9=i0 /36n因此AU=i44 n= 452.4(V)由于B板和C板的电势为零，所以Ua = AU = 452.4(V)板B,板B有一定的厚度，如习题 iO 6图所示。则在板 B的两个表面i 和2上的感应电荷分别为多少？解：由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得qi + q2 = 0虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S,则面电荷密度分别为o = qi/S o = q2/S、 o= q/S它们产生的场强大小分别为Ei = oi/ Q、E2 =创 q、E = o /0 q在B板内部任取一点 P,其场强为零，其中i面产生的场强向右，

8、2面和A板产生的场强向 左，取向右的方向为正，可得Ei - E2 -E = 0即o - o - o= 0或者说 qi - q2 + q = 0解得电量分别为q2 = q/2, qi = -q2 = -q/210 7如习题i0 7图所示，两平行金属板带有等量异号电荷，若两板的电势差为i20V，两板间相距为i.2mm,忽略边缘效应，求两个金属板的四个表面 的电荷面密度各为多少？解：由于左板接地，所以 o = 0由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以由于两板带等量异号的电荷，所以C2 = - C3两板之间的场强为E = CB/ 33而E = U/d所以面电荷密度分别为-

9、7-2C8 = eE = U/d = 8.84 W (C m )-7-2cs = -(S = -8.84 1W (Cm )10 8 一球形电容器，内外球壳半径分别为 Ri和Rs,球壳与地面及其他物体相距很远。将内球壳用细导线接地。 试证：球面间电容可用公式 C二4 眾RsoRiR3Rs - Ri 表示。（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径RRs）证明 方法一：并联电容法.在外球外面再接一个半径为R3大外球壳，外壳也接地.内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为Ci=4 二；011/ R -1/ R2R R2R2 _ ri外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为Cs11/ Rs -1/R

10、3R3趋于外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联当 无穷大时，Cs = 4 noRs .并联电容为R RC 二GCs =4二；01 s 4二；oRsRs R14二；0氏Rs _RI方法二：电容定义法假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷 q。内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果。由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心 的电势为q . q4 二；4JR因此感应电荷为根据高斯定理可得两球壳之间的场强为qRq2 = 24 二；0r4 二；0&r负号表示场强方向由外球壳指向内球壳.取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为RRiU 二 E d

11、EdrR2R2Ri二.（一R2旦 2）dr4 二；0R2 r耳（丄迟匚警牛 0 R2 RiR24 0 R2球面间的电容为c _ q _ 4 二；0R2U R - Ri10-9如习题10- 9图所示,球形电容器的内、外半径分别为Ri和R2,其间一半为真空，另一半充满相对介电常数为牟的均匀电介质，求该电容器的电容。解：球形电容器的电容为C =4二；0ii/ Ri i/ R2Ri R2R2 - Ri对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半。2兀8 o Ri R2CiR2 Ri当电容器中充满介质时，电容为2o；rRiR2C 2 -R2 -Ri由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并

12、联c =Ci c220（i；r）R,R2R2 -R）10- 10女口习题10- 10图所示，板面积为 S的平行板电容器, 常数分别为 可和*厚度分别为d1和d2,求该电容器的电容。板间有两层介质，介电解：假设在两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容分别为Ci = aS/di 和总电容的倒数为总电容为C2 = 2S/d21 1 1 =+C1 C2；2dt亠】d2；1 ；2 SC _；1；2Ss2d&1d2的，其间充满了介电常数为a的介质，其长为”和-”略去边缘效应。求：(1)两极板间的电势差U ；(2)介质中的电场强度E和电位移D ；(3)电容Co圆柱形电容器是由半径为10- 11R

13、i的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成I。沿轴线单位长度上的导线和圆筒分别带电解：介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的. 在内外半径之 间作一个半径为r、长为I的圆柱形高斯面，侧面为 S。，上下两底面 分别为S1和S2。通过高斯面的电位移通量为化SD dSD dS+ D知L D Q加心高斯面包围的自由电荷为 根据介质中的高斯定理 可得电位为 方向垂直中心轴向外。电场强度为方向也垂直中心轴向外。 取一条电力线为积分路径，电势差为R2U 二 E dl 二 Edr 二q =入I=qD = ”2 nrE = D/ = ”2 ne,rdrr2FIn2二；电容为c=gUIn (R2/RJ在真空时

14、的电容为q2二；olC0 UIn (R2/R1)所以倍数为C/C。= 21012在半径为Ri的金属球外有一层相对介电常数为$的均匀介质，介质层的内、外半径分别为R1和R2。设金属球带电 Qo,求：（1）介质层内、夕卜D、E、P的分布;（2）介质层内、外表面的极化电荷面密度。解：（1 ）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的。在内外半径之间 作一个半径为r的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为毬 d = D dS = 1 ,DdS = 4二r $ D高斯面包围的自由电荷为q = Qo根据介质中的高斯定理d = q可得电位为D = Q o/4 n方向沿着径向，用矢量表示为3D = Q

15、or /4 nr电场强度为E = D/ o $ = Qor/4 n 0&r 方向沿着径向。由于D = soE + P所以P = D -E = (1 -丄)Qo r4二 r3在介质之外是真空，真空可当作介电常量r=1的介质处理，所以D = Qor /4 nr, E = Qor/4 n or3, P =。Qo产生的场为（2）在介质层内靠近金属球处，自由电荷Eo = Qor/4 n or3极化电荷qi产生的场强为3E = qir/4 n or 总场强为E = Qor/4 n os $r3由于E = E o + E解得极化电荷为q1 （ -1）Qo%介质层内表面的极化电荷面密度为4 - R1；r 4

16、- R1在介质层外表面，极化电荷为q2 - - qi面密度为q2 (i i ) Q04 二 R；r 4 二 R；10- 13 两个电容器电容之比 Ci:C2 = 1:2，把它们串联后接到电源上充电，它们的静 电能之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？解：两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W =Q2/2C,得静电能之比为Wi：W2 = C2：Ci = 2:1两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W = CU 2/2，得静电能之比为Wi：W2 = Ci：C2 = 1:210- 14 一平行板电容器的极板面积

17、为S,板间距离为d,接在电源上维持其电压为U。将一块厚度为d、相对介电常数为 的均匀电介质板插入电容器的一半空间内，求电容器的 静电能为多少？解：平行板电容器的电容为C = S/d,当面积减少一半时，电容为Ci = oS/2d另一半插入电介质时，电容为C2 = 0 rS/2d两个电容器并联，总电容为C = C i + C2 = (i + 年)soS/2d静电能为2 2 W = CU /2 = (i + &) oSU /4d10- 15 一平行板电容器的极板面积为S,板间距离为d,两板竖直放着。若电容器两板充电到电压为 U时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常数为&的液体中。求：(1) 电容

18、器的电容 C;(2) 浸入液体后电容器的静电能；(3) 极板上的自由电荷面密度。解：(i )如前所述，两电容器并联的电容为C = (i + &) S2d.(2 )电容器充电前的电容为Co = oS/d,充电后所带电量为Q = CoU当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为2 2 2 2W = Q /2C = C 0 U /2C =SU /(i + r)d(3)电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为Ci = 0S/2d介质中的一半的电容为C2 = rS/2d设两半的所带自由电荷分别为Qi和Q2,贝UQi + Q2 = Q由于C = Q/U，所以U = Q i/C

19、i = Q2/C2解联立方程得CiQC0UQi G +C2 i +C2 /Ci真空中一半电容器的自由电荷面密度为Qi2CoU2 名 0Ui =S/2 (i C2/CJS (i；Jd同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为2CoU2SoSrU:-2 :(Ci/C2 i)S (i；r)d10- 16 一平行板电容器的极板面积为200cm2，板间距离为 i.Omm，电容器内有一块i.Omm厚的玻璃板(点=5)。将电容器与300V的电源相连。求：(1) 维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？(2) 断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？解：平行板电容器的电容为C

20、0 = 0 rS/d静电能为W = CU2/2玻璃板抽出之后的电容为C= )S/d(i)保持电压不变抽出玻璃板，静电能为W= CU 2/2电能器能量变化为2W = W - W0 = (C - C0)U2/22-5=(i - r) eSU /2d = -3.i8 i (J)(2)充电后所带电量为Q = C 0U保持电量不变抽出玻璃板，静电能为W = Q2/2C电能器能量变化为W 二W -W0 =(五-i)uC2电耳su2=(y i)= i.592d-4W (J)10- 17设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为a、b。试证明电容器能量的一半储存在a : r ： . ab的圆柱壳内。人场强为解：设圆柱形电容器电荷线密度为能量密度为w = ee2/2体积元为dV = 2 n rdr能量元为dW = wdV在半径a到R的圆柱体储存的能量为W = v wdV = vR 2 2 扎I扎I4二；dr 二a 4二；or当R = b时，能量为j4二；ob Ina当R二、ab时，能量为W2亠n4二；o | In8二；0所以W2 = Wi/2，即电容器能量的一半储存在半径R= . ab的圆柱体内10- 18两个同轴的导