矩阵在数学中的应用本科毕业论文

1、本科毕业论文（设计）题 目 矩阵在数学中的应用 _ 学 院 机电与信息工程学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2011级 学 号 2011117055 姓 名 吕海霞 指 导 教 师 薛海波 成 绩 优 2014 年 11 月 20 日目 录摘要iabstract.ii1 前言12 有关概念及重要结论12.1矩阵的概念12.2矩阵的秩22.3矩阵的逆32.4 用矩阵表示二次型33 矩阵的应用63.1矩阵的高次幂63.1.1 矩阵的幂63.1.2矩阵高次幂的求法73.2 解线性方程组133.2.1线性方程组的有解判定定理133.2.2 线性方程组一般形式的运用143.3 解矩阵方程163.4

2、矩阵对角化方法193.4.1 讨论对于有个特征单根的阶方阵193.4.2 讨论对于有特征重根的阶方阵21结论23致谢24参考文献24 矩阵及应用杨灿（重庆三峡学院数学与统计学院数学与应用数学专业2010级 重庆万州 404100）摘要: 矩阵理论既是学习经典数学的基础,又是一门很有实用价值的数学理论.随着科学技术的发展,这一理论已成为现代各科技领域处理大量数据的有效工具.本文就是利用矩阵的基本理论,把矩阵作为计算工具,对实际问题如方程组的解、矩阵的幂、二次型进行了较为系统的研究并简化了一些计算.关键词: 矩阵;矩阵的幂;线性方程组matrix and its applicationyang c

3、an(grade 2010, mathematics and applied mathematics, college of mathematics and statistics, chongqing three gorges university, wan zhou, chongqing 404100 )abstract: matrix theory is not only the foundation of learning classical mathematics,but also is a very useful mathematical theory.with the develo

4、pment of science and technology,this theory has become the effective tool for modern technology in the field of large amounts of data.this article is on the undamental theory of matrix,the matrix as a calculation tool,the practical problems such as the solution of the equations,the power of matrix,t

5、he two type are systematically studied and some simplified calculation.keywords:matrix; the power of matrix; linear equation1 前言矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的主要研究对象之一,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语.而实际上,矩阵在它的课题诞生之前就已经发展的很好了.18世纪中期,数学家们开始研究二次曲线和二次曲面的方程简化问题,即二次型的化简.在这一问题的研究中,数

6、学家们得到了与后来的矩阵理论密切相关的许多概念和结论.1748年,瑞士数学家欧拉(leuler,17071783)在将三个变数的二次型化为标准形时,隐含地给出了特征方程的概念.1773年,法国数学家拉格朗日(jllagrange,17361813)在讨论齐次多项式时引入了线性变换.1801年德国数学家高斯(cfgauss,1777一1855)在算术研究中,将欧拉与拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广,给出了两个线性变换的复合,而这个复合的新变换其系数矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积.另外,高斯还从拉格朗日的工作中抽象出了型的等价概念,在研究两个互逆变换的过程中孕育了两个矩阵的互逆概念.在线性

7、方程组的讨论中,我们看到,线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上,并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外,还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念,并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究,甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题,归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象,也是处理高等数学很多问题的有力工具.矩阵的秩是一个基本的概念,也是矩阵最重要的数量特征之一,它在初等变换下是一个不变量矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念

8、,无论是在线性代数中,还是在解析几何中,甚至在概率论中,都有不可忽略的作用矩阵方幂在高等代数题解、矩阵稳定性讨论及预测、控制等方面有广泛的应用,它的求解原理贯穿于代数教学过程的始终,可以用到矩阵各方面的知识.其计算量往往较大,但方法适当,可大大简化其计算难度.本文将给出六种求矩阵方幂地方法.矩阵方程是矩阵运算的一部分,这里我们主要讨论如何求解矩阵方程的问题.掌握简单的矩阵方程的求法,对于求解复杂的矩阵方程有很大帮助.2 有关概念及重要结论2.1矩阵的概念为了便于叙述并考虑以后的应用,我们引进矩阵的概念.由个数排列而成的行（横的）列（纵的）的表称为一个矩阵.定义1 把矩阵的行换成同序数的列得到的

9、新矩阵, 称为的转置矩阵, 记作(或). 即若则. 2.2矩阵的秩 定义2 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩;所谓矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩. 引理1 如果齐次方程组的系数矩阵的行秩,那么它有非零解.定理1 矩阵的行秩与列秩相等.定理2 矩阵的行列式为零的充分必要条件是的秩小于.推论1 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的行列式等于零. 2.3矩阵的逆我们知道,阶单位矩阵单位性质,即对于任意阶方阵都有,是否存在阶方阵使得呢？即是否与数域中数一样的性质:.为此,我们引进逆矩阵的概念. 定义1 阶方阵称为可逆的,如果有阶方阵,使得. （2.3.1）这里是级单位矩阵.并

10、且称为的一个逆矩阵.定义2 如果矩阵适合（2.3.1）,那么就称为的逆矩阵,记为.定理1 阶矩阵可逆的充分必要条件是非退化,此时,的逆矩阵为. 定理2 给出了矩阵可逆时逆矩阵的计算公式.下面给出可逆矩阵的一些性质: 性质1 如果阶方阵可逆,那么,并且. 性质2 如果矩阵同级且都可逆,那么与也可逆,且. 性质3 如果阶方阵可逆,那么也可逆,并且. 性质4 如果阶方阵可逆,那么也可逆,并且. 性质5 如果阶方阵可逆,那么,有. 定理3 是一个矩阵,如果是可逆矩阵,是可逆矩阵,那么 . 推论1 在定3的假设下有,成立.2.4 二次型及矩阵表示定义1 设是一个数域,一个系数在数域中的的二次齐次多项式

11、. （2.4.1）定义2 记,把元二次型（2.4.1）,写成对称形式. （2.4.2）这样,系数可以构成一个对称矩阵, （2.4.3）称（2.4.3）为元二次型（1）的矩阵.令,则有, =, =, = , （2.4.4）这就是二次型的矩阵表示.对确定的元二次型（2.4.1）,就确定唯一的对称矩阵（2.4.3）通过（2.4.4）联系起来,即. 因此,一个元二次型（2.4.1）对应一个阶对称矩阵.每个二次型都有一个对称矩阵与之对应;反之,每个对称矩阵也有一个二次型与之对应.二次型与它的矩阵是相互唯一确定的.一般地,关于二次型的矩阵有下列结果.定理1 设是矩阵,则是一个二次型,它的矩阵为.2.5 特

12、征值与特征向量 维线性变换空间与矩阵空间是同构关系,可以通过矩阵来研究线性变换的性质,我们希望找到一组基使得线性变换在这组基下的矩阵的形式最简单.这个问题的一个简单设想是是否可以是对角形式？即.这个设想可以归结为:对线性空间的线性变换,.这就是线性变换的特征值与特征向量.定义1 设是数域上线性空间的一个线性变换,如果对于数域中一数,存在一个非零向量,使得.那么称为的是一个特征值,而称为的属于特征值的一个特征向量.定义2 设是数域上一级矩阵, 是一个文字. 矩阵的行列式,称为的特征多项式, 这是数域上的一个次多项式.上面的分析说明, 如果是线性变换的特征值, 那么一定是矩阵的特征多项式的一个根;

13、 反过来, 如果是矩阵的特征多项式在数域中的一个根, 即, 那么齐次线性方程组 (2.5.1) 就有非零解. 这时,如果是方程组(2.5.1)的一个非零解, 那么非零解向量.满足（2.5.1）式, 即是线性变换的一个特征值, 就是属于特征值的一个特征向量定理1 设是数域上维线性空间的一个变换,则是的一个特征值当且仅当是的特征多项式的一个根.定理2 设是线性空间的线性变换的一个特征值,则集合 (2.5.2)构成的一个子空间.在有限维情形,其中,是在在某个基下的矩阵. 定义3 设是线性空间的线性变换的一特征值,式（2.5.2）定义的的子空间称为的对应特征值的特征子空间因此, 确定一个线性变换的特征

14、值与特征向量的方法可以分成一下几步: (1)在线性空间中取一组基, 写出在这组基下的矩阵; (2)求出的特征多项式在数域中全部的根, 它们也就是线性变换的全部特征值; (3)把所得的特征值逐个代入方程组（2.5.1）式, 对于每一个特征值, 解方程组（2.5.1）式,求出一组基础解系, 它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基下的坐标, 这样, 我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量 矩阵的特征多项式的根有时也称为的特征值, 而相应的线性方程组（2.5.1）式的解也就称为的属于这个特征值的特征向量3 矩阵的应用3.1矩阵的高次幂3.1.1 矩阵的幂 定义1 设方阵, 规

15、定称为的次幂. 方阵的幂满足以下运算规律（假设运算都是可行的）: (1) (2) 注意: 一般地, 为自然数 命题1 设均为阶矩阵, 则有 为自然数,反之不成立. 3.1.2 矩阵高次幂的求法 矩阵方幂在高等代数题解、矩阵稳定性讨论及预测、控制等方面有广泛的应用,它的求解原理贯穿于代数教学过程的始终,可以用到矩阵各方面的知识.其计算量往往较大,但方法适当,可大大简化其计算难度.本文将给出六种求矩阵方幂地方法. 3.1.2.1 利用凯莱哈密尔顿（cayleyhamilton）定理求方阵的幂 定理1 （cayleyhamilton定理）设a是n阶矩阵,是a的特征多项式,则. 设是数域上阶方阵,其特

16、征多项式为,为求an（n是正整数）,令,做带余除法,.由定理1知,并且的次数小于的次数,进而可得. 利用上定理求幂时在计算过程中可分为两种情形: 1、所求矩阵的幂指数相对较低,可直接利用定理1及余式定理求出. 例1 已知 ,求. 解 令矩 阵的 特 征 多 项 式 为 做带余除法, 于是,由定理1知 2、所求矩阵的幂指数相对较高,不便用上法直接求出余式.此种情形下矩阵的特征多项式有重根和无重根时分别给出下面的解法. (1)矩阵的特征多项式无重根. 对于,以其个不同的特征值分别代入此式即可求出. 例2 已知,求. 解 令. 矩阵的特征多项式为. 做带余除法,注意到的次数是3,即. 以分别代入上式

17、得 . . . 所以.由定理1 ,. （3）矩阵的特征多项式有重根. 同上法,为获得足够的信息求出,可对求导. 例3 已知,求. 解 a的特征多项式是 令,做带余除法 以分别代入上式,有 为求,就对求导得 以代入上式,有,从而求得 ,于是 . 3.1.2.2 对于秩为1的n阶方阵a有下面定理 定理1 对于n阶方阵a,若,那么a可分解为一个列向量与一个行向量的乘积,其中. 例4 已知,求. 解 显然,并且, 而,所以. 3.1.2.3 可分解为数量矩阵和零幂矩阵之和的情况 要点 观察推敲矩阵,看其是否可以分解为一个数量矩阵与一个零幂矩阵之和,即,其中,但,因为数量矩阵和可以交换,于是由二项式定理

18、得.例5 已知矩阵,求.解 观察矩阵的特点,可先将其分块写成,其中,则,下面就先求和.显然,即,这里,且,所以.至于,满足,代入上述给出的二 次项式公式.因此本题得解 .3.1.2.4 归纳法 例6 已知,求其次幂. 解 先来计算的较低次幂和,由矩阵乘法直接计算得 ,由此猜想. 以下用数学归纳法加以证明.（1）当时成立.（2）归纳假设结论对时亦成立,即.所以当时,而,即当时成立,从而证明结论成立.即.3.1.2.5 利用相似变换法 要点 若已知矩阵可以经过相似变换化为对角阵时,即存在可逆矩阵,使,其中为对角阵,其对角线上元素为矩阵的特征值.由上可得,.于是求的方幂就转化为求过渡矩阵和对角阵,而

19、对于和阵,我们应用代数知识要好求得多了,具体如下: 例7 已知,求其次幂. 解 经过计算,矩阵的特征值和,对于特征值有线性无关特征向量和.对于特征值有特征向量. 令, 即可逆,且有 于是计算得 .3.1.2.6 利用jordan标准形 例8 已知,求. 解 第一步:首先求矩阵的若尔当标准形.由 . 从而初等因子为,故的若尔当标准形. 第二步:求可逆矩阵使,即.设,所以有 . 由得,设,则由 , 而有解,故,又,从而即 , 于是有,所以得.令,则.于是,再解. 于是求得. 第三步:由第二步得. .3.2 解线性方程组3.2.1线性方程组的有解判定定理 定理1 （克拉默法则） 如果线性方程组 （4

20、.2.1）的系数矩阵的行列式那么线性方程组（4.2.1）有解,并且解是唯一的,解可以通过系数表为其中是矩阵中第列换成方程组的常数项所成的矩阵的行列式,即 定理(线性方程组的有解判定定理) 线性方程组有解的充分必要条件为它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.3.2.2 线性方程组一般形式的运用 例9 求下述齐次线性方程组的一个基础解系 把方程组的系数矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵: 于是方程组的一般解为: 其中是自由未知量.令得 得 得这里就是方程组的一个基础解系. 例10 解线性方程组: 解 把此方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵: 从而得到此方程组的一般解为: 其中是自由未知量. 对

21、于方程个数与未知量个数相等的非齐次线性方程组,如果它的系数行列式不为零,我们还可以用克莱姆法则求解.但是这种方法计算量很大,因此我们一般不用它,只是对少数字母系数的方程组采用克莱姆法来进行求解. 例11 非齐次线性方程组 求当为何值时方程组有解？此时有多少解？ 解 把方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵: 显然,当时,方程组无解;当时,方程组无解,此时由于阶梯形矩阵的非零行有2行,而未知量有4个,所以方程组有无穷多个解,易求出一般解为 其中是自由未知量.3.3 解矩阵方程矩阵方程是矩阵运算的一部分,这里我们主要讨论如何求解矩阵方程的问题.掌握简单的矩阵方程的求法,对于求解复杂的矩阵方程

22、有很大帮助.简单的矩阵方程有三种形式:如果这里的、都是可逆矩阵,则求解时需要找出矩阵的逆,注意左乘和右乘的区别.它们的解分别为例如,求解方程先考察是否可逆,如果可逆时,方程两边同时左乘,得即这里要注意只能左乘不能右乘,因为矩阵的乘法不满足交换律.同样,对于方程只能右乘,得即而对于方程只能是左乘而右乘,得即看下面解矩阵方程例题: 例12 解 先求出,则则 例13 解 先求出,则则 例14 解 先求出,则, 则 当矩阵方程中的、不是方阵或者是不可逆的方阵时,前面的方法就不能用了.这时,我们需要用待定元素法来求矩阵方程.设未知矩阵的元素为,即,然后由所给的矩阵方程列出所满足的线性方程组,通过解线性方

23、程组求出所有元素,从而得到所求矩阵. 例15 解矩阵方程 解 利用元素法,先确定的行数等于左边矩阵的行数3,的列数等于积矩阵的列数2,则是的矩阵. 设,则. 即,于是得方程组.解得,所以,其中为任意实数. 例16 解矩阵方程其中,.解 由于,所以是不可逆矩阵,需要用元素法求解.设则,即.比较第一列元素得,解得 同样,比较第二、三列元素可得对应方程组,分别解得,所以可得,其中是任意实数.总之,对于矩阵方程,当系数矩阵是方阵时,先判断是否可逆.如果可逆,则可以利用左乘或右乘逆矩阵的方法求未知矩阵,如果方阵不可逆或是系数矩阵不是方阵,则需要用待定元素法通过解方程确定未知矩阵.3.4 矩阵对角化方法3

24、.4.1 讨论对于有个特征单根的阶方阵3.4.1.1 基本原理引理 设是秩为的阶矩阵,且 其中是秩为的行满秩矩阵,则齐次线性方程组的一个基础解系即为矩阵所含的个行向量.引理 矩阵的特征矩阵经过一系列行初等变换可化为上三角形的矩阵,且的主对角线上元素乘积的多项式的解为矩阵的全部特征根.引理 对于数域上的阶方阵,若的特征多项式在内有个单根,则由特征向量构成的阶可逆矩阵,使得定理 若数域上的阶方阵的特征多项式在内有个单根,则可通过如下方法对角化:设为上三角形矩阵,则有方阵的特征根即为中主对角线上各个元素乘积的解;对于方阵的每一个特征根,总有中零行向量所对应的中的行向量与之对应.3.4.1.2举例说明

25、例17 设,问方阵是否可以化为对角形,若可以,求出其对角化后的方阵.解 =由题意知=0, ,此时方阵有个特征单根,故方阵可以化为对角形;将代入中知的第三行为零,由定理知的第三行向量即为属于的特征向量,同理可知分别为属于的特征向量.于是可得,使得.3.4.2 讨论对于有特征重根的阶方阵对于有特征重根的方阵,可以通过上述方法将其化为上三角形矩阵,接着再对上三角形矩阵施行一系列初等变换将其化为对角形矩阵,这样就避免了上三角形矩阵中非零行向量可能不构成行满秩的情形.3.4.2.1基本定理 定理 设,则且为对角形矩阵,则有对于的每个特征根,中与的零行对应的行向量即为属于的特征向量;设为的所有不同的特征根

26、,重数分别为,则可以化成对角形中的零行数目等于的重数.由此我们不难得到对于有特征重根的方阵化为对角形方阵的简单步骤如下:作,其中,则的特征根恰为的根;若的特征根全在内,且每个有中零行数目等于的重数,则可以化为对角形方阵,否则不可以化为对角形方阵;对于每个特征根,在中取出与中零行对应的行向量得属于的特征向量且都是线性无关的.3.4.2.2 举例说明例18 ; 问方阵和是否可以化为对角形,若可以,试求出其对角化后的方阵.解 由题意知,因为中零行数目的重数,故不可以化为对角形方阵. .由题意知,此时中零行数等于的重数,故可以化为对角形方阵; 将代人中知的第一行和第三行为零,由定理知的第一行向量和第三行向量即为属于的特征向量,同理可知为属于的特征向量. 由此可知使得.结 论 通过以上对矩阵的学习,我们知道,想要在学习过程中灵活应用矩阵思想,首先要理解矩阵思想,在此基础上,遇到难解的数学问题,能发现矩阵是可以解决此类问题的关键,最后能正确无误的利用矩阵思想把数学问题得以解决.矩阵是代数特别是线性代数的一个主要研究对象,他对于研究矩阵的相