圆锥曲线求圆锥曲线方程

1、求曲线（或直线）的方程、基础知识:1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等），那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替），从而该方程便可参与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。可以说两个方向各有侧重，一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳 理2、所学方程中字母的几何意义（1）直线：k :斜率；xo,y :直线所过的定点（

2、2） 圆： a,b :圆心的坐标；r:圆的半径（3）椭圆：2a :长轴长，焦半径的和； 2b:短轴长；2c :焦距（4） 双曲线：2a :实轴长，焦半径差的绝对值；2b:虚轴长；2c :焦距注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着 a,b,c展开，通过这些条件也可以求出 a,b,c 的值，从而确定曲线方程。例如（椭圆与双曲线共有的）：c2b2离心率：e ；通径（焦点弦长的最小值）： 等aa（5 ）抛物线：p：焦准距3、待定系数法中方程的形式：（1 ）直线与曲线方程通式：直线：y kx m，xmy t圆：x2 y2 DxEyF 0椭圆：2 2 标准方程： 一2 每 a b1 ab 02 2yx

3、、，（或一22 1 a b 0，视焦点所在轴来决定）a b椭圆方程通式：mx22ny1 m0,n0双曲线:一X2标准方程：a2 y b21 a0,b02（或爲a双曲线方程通式：mx22ny1mn0抛物线：标准方程：y2pxp 0等抛物线方程通式：2ymx，x2myx71 a 0，b 0，视焦点所在轴决定）（2）曲线系方程：具有一类特征的曲线的集合，通常曲线方程中含有参数。曲线系方程的一大好处在于若根据题目条件设出合适的曲线系方程，则将问题转化为利用条件求解参数，让解题目标更为明确， 曲线系方程也是待定系数法求方程的一种方法。 常见的曲线系方程如下：I1Ci过相交直线11 A1%l2 : A2x

4、i2 0 即 Ax与直线Ax与直线Ax过相交两圆C20ByBy若直线l : AxRyCiC22:x2:xByByDyC10的交点的直线系方程为:C204x B2y C20平行的直线系方程为:0垂直的直线系方程为:2yD1x E1y F1y2 D2X E?y F2y2D1X E0与圆C1 : x（其中为参数）AxBy0 （其中为参数）BxAy0 （其中为参数）0交点的圆系方程为:Fix22yD2x E2y F20DxEyF 0有公共点，则过公共点0的圆系方程为:C l 0 即 x2DxEy FAxBy 相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线2x2a2 y b21渐近线相同的双曲线系方程为:、典型例题

5、:2x2a2 2例1 :已知椭圆C :訂爲 1 aa2b2b 0的长轴长为4,若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线I与椭圆相交于M , N两点，记直线PM , PN的斜率分别为k1,k2，且&k2则椭圆的方程为()2 22 2a.x_ y_ 1B.x y 116442思路：由已知可得a2，所以只需利用条件MX1, y1，则NX, %。22 y.2X2 /C. X1d.y 1441k1k2求出b的值即可，设4Px）,y0 ，则 k1 y1 y0,k2 y1 y0从而X1X0X1X0k1k2 峑y。*y。2*22y。2X1X。X1X0X011，由分子分母平方差的特点及 M,P在椭圆上联想42x_

6、 到点差法，得：4x|_42y_b22b21 2 2X1Xo412 2b? y1yo2 20，所以巴一2X| Xo222X2即b 1，所以椭圆方程为y 14答案：D2 2例2:椭圆C :笃y2a b1 a b 0的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为A,B，且AB.52BF(1)求椭圆C的离心率(2 )若斜率为2的直线I过点0,2，且I交椭圆C于P,Q两点,OPOQ，求直线I的方程及椭圆C的方程解：（1）由椭圆方程可得：A a,0 ,B 0.b ,F c,0AB Va2 b2, BF| Jb2 c2 aQ AB IBFb275a24b2a 2b2:1: .3.32(2)由（1）可得椭圆方程为:2x

7、4b22y_b2x24y2 4b2P Xi，% ,QX2,y2,QOPOQuuu uurOP OQX1X2y20由已知可得,直线的方程为2x联立方程:2x 24y24b2，消去y可得:22x 24b20,即:17x232x164 b216X-|X24b217，X1322x12 2x2X2174x-|X24 x1X214 -174 b216 4b2X-|X2y2171 4b217经检验：当b满足直线与椭圆有两个交点,所以符合条件例3:已知直线丨:kx 1，椭圆2XE :92y21 m 0 ，m（1）若无论k为何值,直线I与椭圆E均有公共点，试求 m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数关系式10（

8、2）当k -10时，直线I与椭圆E相交于A,B两点，与y轴交于点M，若AM13UULT2MB，求椭圆E的方程解：(1 )由l : y kx 1可知直线l过定点0,1Q l与E恒有公共点0,1在椭圆上或椭圆内02121 m 19 m2Q m 9 m3m的范围为m 1,3 U 3,若 m2 91 m 3，则 a29,b2m2ca2 b29 m2a 3若 m29m3，则a2m2,b29ca2b2. m29c vm 9 ea 3综上所述：e m29厂,m,1 m3(2)由已知可得:1,M 0,1设 A X1,y1 ,B X2,y2uuuu AMX1,1uuiry1 ,mbX2,y2 1uuunUULT

9、X12x2Q AM2MB1y12 y2 1联立直线与椭圆方程可得:x2x32y2m10x2X1X2Q X11，消去6 10xy可得：m9 1 m2輕,X1X2m2102x2可得:1 m22x210x1x2x1x210X210m2109 1 m280,即m2 109 1 m2109m2，整理后可得:10m49 m290x2y2椭圆方程为19622例4 :过点A 4,0 ，向椭圆爲1 aab2VABC为正三角形，贝Uab最大时椭圆的方程为2 , 222x 4y.A.1x B. 8y 143832 2m 6 或 m 15 (舍)720m210解得:b 0引两条切线，切点分别为B,C，且()2x C.

10、43y2 142xD.83y2 18思路：由题意可知本题确定 a,b值的关键在于ab达到最大值时，a,b的取值，那么需要得到关于a,b的关系（等式或不等式），作出图形可知，若 VABC为正三角形，则AB,AC 的斜率为于，进而能够得到AB,AC的方程。以AB为例：y x 4，与椭圆方程2 20 a2 3b216，则考虑利用均值不等式得到0 ab 冬仝，等号成立条件为3334222240即 12a b 192a b 36a b 0由均值不等式可得:3b22、3a2b22 3ab2.3ab 16ab（等号成立条件为:3b2)ab的最大值为2 a2 a3b23b2 16b2椭圆方程为:x2 3y28

11、 82 2 2 2a 3b，再结合a 3b 16即可求出a,b的值，从而确定椭圆方程解：依图可知:.3AB的方程为yx4 ，联立方程：3.3y4，消去2 2 1 2 2 2 2 y : b x -a x 4a b，整理后可得.2 2 2 22 23b x a ya b2 2 2a 3b x8a 2a 3b 16x16a23a2 b20Q AB与椭圆相切8a2 24 a23b216a2 3a2 b2064a464a4 12a4b2 192a 2b2 36a2b4答案：D例5:已知点F是椭圆C的右焦点,代B是椭圆短轴的两个端点，且 VABF是正三角形（1）求椭圆C的离心率（2）直线l与以AB为直径

12、的圆0相切，并且被椭圆 C截得的弦长的最大值为 2、,3，求椭 圆C的标准方程2c,由VABF是正三角形2 2 X y解：（1）设椭圆标准方程为22 1 a b 0，焦距为a2 b2可得：a 2b，因为a2 b2 c2解得：a : b: c 2:1:-、3（2）由（1）可得椭圆的方程为：x2 4y2 4b2 ,设I与椭圆C的交点为M X1, y1 , N x2, y2若I斜率不存在，可得弦长 MNs/3b若I斜率存在，设I : y kx m，联立方程:y kx m2222222 4k 1 x 8kmx 4 m b 0x2 4y2 4b28km厲朴24 m2 b21 4k22MN1 k2xi2X

13、21 k22x1 x24x1x2，整理可得:MN16 1k2 b2m2 4k2b24k2Q l与圆x2 y2b2相切bm2b21 k2代入到上式可得:MN2 16b23k21 k212 24k216（等号成立条件:23k21k2MN2b3k2122 24 k2k2 24b22b 2、3 b .32max仝10(2)设点C的坐标为0, b ,N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐a 2、3椭圆方程为：2 X2y 1123例6：设椭圆2 2E的方程为x2 y21 ab 0，点0为坐标原点，点A的坐标为 a,0 ，a 2 b可解得：b 3a 3-、5椭圆方程为y 1 459点B的坐标为0

14、,b，点M在线段AB上，满足BM2 MA，直线OM的斜率为(1 )求E的离心率e.5X标为7 ,求E的方程2uuuuimr解(1)由M在线段AB上和BM 2 MA可得：BM 2MA(2)由(1 )中 a: b :c.5:1：2，可设AB：x由 A a,0 ,C 0, b 可得:，设N的对称点N7X0,2Q A a,0 , B 0,bKomb3b5uuu1 uuu2 uuu2 12a10OM OB-OAa, b2a333 33a 、一 5ba:b: c5 :1:2c 2e ；52乜5依题意可得:5b22x例7：已知椭圆E :二 a2 y b2的半焦距为c ,原点0到经过两点c,0 , 0,b的直

15、线的距离为c2(1 )求椭圆的离心率(2)如图，AB是圆M : x若椭圆E经过A,B两点，求椭圆E的方程5的一条直径,解：(c,0 , 0,b 的bxcy bc 0dobcb2c2bc 1c2b22c可得:c23a24(2)由(1)可得:2:1: .32x椭圆方程为：r4b22yb2x2 4y24 b22由圆方程 x 2 y5可得:2,1,r102设 A X1，y1 ,B X22x1 x22AB| 2r.10x24AB ,10X1设 AB: y1，联立方程:y k x x2 4y21 4k2 x12 消去y可得:4b4b2，整理后可得:28k 1 2k x 4 1 2k4b2X28k 1 2k

16、1 4k2X24 1 2k 2 4b21 4k28k1 2k 44k2X1X28 2 b2ABX2212x-i x24x1x2Q AB10 b22,10b2b23x2椭圆方呈为：石2y32x例8:已知双曲线aPF1PF222=PF12PF22 PF1 PF2 160,b0的两个焦点为FnF2，其中一条渐近线方程为y x b N ，P为双曲线上一点，且满足 OP 5，若PFj , F1F2 , PF2成等比数列,则双曲线C的方程为解：Q PF1 , F1F2 , PF2成等比数列2 2F1F2IPF1 PF24c PF|PF2b由渐近线方程y x b N 可知：a 2，不妨设P在右支上2PF1

17、PF2 2a 422916 8c22 c22OP即 OP2 8 3c2 8 3 a2 b220 3b2OP即 PF1PF2 8c 2 2由中线定理可知：PF1PF22 OF2 OP 16203b225 b253由bN可知b 1双曲线方程为：专y2 1答案：x221T y 1小炼有话说：AB2AC22AD2BD2由余弦定理可知:ABADBD2 ADBD cosADB同理，在VADC中，有:，证明如下：在VADB中,ACADCD2 ADCD cosADCQ ADB ADC且由D是BC中点可知:BDCD中线定理：已知AD为VABC中底边BC的中线，则有可得:ABii: yAC2 ADBD2CD ，即

18、ABACADBD（2014，福建）已知双曲线2E ：Xia2 y_ b20,b0的两条渐近线分别为2x， l2 : y 2x（2）如图，O为坐标原点，动直线（1 ）求双曲线E的离心率l分别交直线li,l2于A,B两点（A,B分别在第一、四象限），且VOAB的面积恒为 8,试探究：是否存在总与直线 有一个公共点的双曲线 E若存在，求出双曲线E的方程； 说明理由解：（1）由双曲线方程可知，渐近线方程为y -xa2 b 2ac2 a2 b2 5a2.5(2)若直线l不与x轴垂直，设l : y mx t, A Xi, yi ,BX2,y2联立方程:x my ty 2xXiyiti 2m2ti 2m，同理可得my t2xXiyiti 2m 2ti2m设直线I与x轴交于C t,0S/OAB2 |OC| |yi1y2 即 2 t2ti 2m2ti 2mt24m2由直线I与渐近线的交点A,B分别在第一、四象限可知:i 4m20t21 4m2由(i)可得双曲线方程为:2 x2a2土 i4a联立I与双曲线方程:x my t4x2 y24 a24m2i y28mty4 t2因为I与双曲线相切8mt 2 i6t24m2整理可得：4m1 4m24m2所以a24双曲线方程为:x22 yi6存在一个