数值分析计算方法试题集及答案

1、数值分析复习试题 第一章 绪论 一.填空题 1. X* 为箱确值X的近似值：y* =为一元函数yl = /（X）的近似值； y =/（x*）为二元函数y2 = fx. y）的近似值，请写出下面的公式：: X* -X JV* （1J（计心）耳（V1-）耳罟.r（x *） 心2,茅（；尸）（）+沢;，）列严） *)1 e(x*) df(x*,y*) e(y*) dx 冋+ 2、计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这吋所产生的误差叫 舍入误 1O -xlQ-* 2 3、分别用2. 718281, 2.718282作数e的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7_位：又取73 1.73 （三位

2、有效数字）,则 声一173卜 4、设X, = 1.216,x2 =3.654均具有3位有效数字，则勺兀的相对误差限为 0.0055 O 5、设X, =1.216,x2 =3.654均具有3位有效数字，则西+花的误差限为 8、 0.01 位和4 位有效数字。 9、若x =2.71828 = /, x有6位有效数字.其绝对误差限为1/2料（P。 10、设x*的相对误差为2%,求（x*）n的相对误差0. 02n 11、近似值工=0231关于真值x = 0.229有（2 ）位有效数字； 12、计算方法主要研究（截断）误差和（舍入）误差： 13、为了使计算y = 10+丄 + 土=J 的乘除法次数尽量地

3、少，应将该表达式 牙 _1 （X-1）2 （牙 _1）3 y = 10+(3 +(4 6/)f)/, t = 改写为片_ 为了减少舍入误差，应将表达式血而-J両亍改写 15、设 = 2.3149541. 二、单项选择題： 舍入误差是（A 只取有限位数 观察与测量 1、 A. C. 2、 ）产生的误差。 B.模型准确值与用数值方法求得的准确值 D.数学模型准确值与实际值 A. 6 B. 5C. 4 D. 7 3、 用近似表示 e所产生的误差是（C ）误差。 A. 模型B. 观测C.截断 D. 舍入 X 也+x所产生的误差是（ 4、 用1+3近似表示 D ）误差, A. 金入B. 观测C.模型 D

4、. 截斷 5、 -324. 7500是舍入得到的近似值，它有（ C ）位有效数字。 A. 5 B. 6C. 7 D. 8 6、 （D ）的3位有效数字是0.236X102。 (A) 0. 0023549X103 (B) 2354. 82X10-2 (0 235. 418 (I ( 235.54X10-1 3. 141580是n的有（B ）位有效数字的近似值。 7、取忑目1732计算x = （J?-1）,下列方法中哪种置好? 16 ) 16 2 为 V200T + V1999 o 14、改变函数fM = Jx+-yx （ /1 ）的形式，使计算结果较箱确 取5位有效数字，则所得的近似值x二二31

5、50. 16、 已知数e=2. 718281828.,取近似值x=2. 7182,那麽x具有的有效数字是4。 (C) (4 + 2/5) ； （D）宀+1）“。 (A) 28-16.(B) (4-2#)2. 三、计算题 1有一个长方形水池，由测量知长为(500. 01)米，宽为(250. 01)米，深为(200. 01)米，试 按所给数抵求出该水池的容积，并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式，并求出绝对误差限和 相对误差限. 解:设长方形水池的长为L,宽为W,深为H,则该水池的面积为V二LWH 当 L二50, W二25, H=20 吋，有 V二50*25*20=25000 (米 3) 此时

6、，该近似值的绝对误差可估计为 SV8VdV A(V)A(L) + A(IV) + S(H) =VVHA(L) + HL (W) + LWS (H) 相对误差可估计为：,(#)= 而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足 |a(l)| o.oi,|a(iv)| o.oi,|a(h)| o.oi 故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为 a(v)|w/7|a(l)| + hl|a(w)|+lw|a(h)| 25*20*0.01+50*20*0.01+50*25*0.01 = 27.50 2. 已知测量某长方形场地的长a=110米，宽b=80米.若a-d S0(米)，bb S0.1(米)

7、试求其面积的绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形的面积为s=ab 当 a=110, b=80 时.有 S=110*80=8800(米 此时，该近似值的绝对误差可仕计为 A小孰+孰 =bA() + r/A(/?) 相对误差可估计为：($)=”! S 而已知长方形长.宽的数扌居的绝对误差满足 |a()|o.i,|a(/?)|o.i 故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为 |a(5)|/?|a()|+z () 80*0.1 + 110*0.1 = 19.0 Ar(5)| = 0.002159 八丿I I s |8800 绝对误差限为19.0；相对误差限为0. 002159o 3、设x*的相对

8、误差为2%f求(x*)“的相对误差 解：由= xn, f (x) = nxnl,故 g = (F) -x 2 n(x*),_l(x-x*) 故 g,. = n / = ns,. = 0.02“ (x ) x 4、计算球体积要使相对误差为1%,问度董半径R允许的相对误差限是多少？ 解：令y = /(R)= 打用，根据一元函数相对误差估计公式，得 (/?) = (R) = 3r(R)G% 从而得r(R)5 1 300 5正方形的边长大约为100cm,问怎样测量才能使面积的误差不超过IcM 解:da=ds/(2a) =1 cm2/(2*100)cm=0. 5*10 2cm,即边长 a 的误差不超过

9、0. 005cm 时，才能保证 其面积误差不超过1平方厘米。 6.假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50. 00m和100. 00m,且已知其测量误差为 0. 005m。试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。 解：V = )2h V*-V=27?(r*-r)=2*3. 1415926*50*100*0. 005=157. 0796325 v*-v V 匸二二0 0002 第二章 插值法 一、填空题: 4 1 设xi(i=0,1,2,3,4)为互异节点,lj(x)为相应的四次插值基函数.则工(f+2%(x) = /=o (x“+2) 2设Xj(i=0,1,2, 3,4 , 5)为互异

10、节点，lj(x)为相应的五次插值基函数，则 工(X： + 2a;4 + +1 * (x) = x5 + 2x4 +x3 +1 r-() /(x) = 2x3 + 5,贝忧1,2,3,4 =2, /1,2,3,4,习=0 4. f(x) = 3x?+l,则fl,2,3 =3,fl,2,3,4 = 0。 5. 设 /(x) = 3z2 +5,ta = kh,k = 0,1,2, 则兀“耳山尤*=3, yxn,xn+1, xn+2 ,召+二=0 6. 设了図=4, +2十+3x2 +1和节点心=上$2,上= 0,12则仏0，巧,，心=4. 7. 设/(0) = 0,/(1) = 16,/(2) =

11、46,则 fO,l=16 ,f0,l,2=7 , f(x)的二次牛 顿插值多项式为 0+16(x-0)+7(x-0) (x-1)。 8如有下列表函数： 0.2 0.3 0.4 /() 0. 04 0.09 0. 16 则一次差商 f 0.2,0.4 =0.6 9、2、/(1)= 一1，/=2, /=1,则过这三点的二次插值多项式中F的系数为二 2,拉格朗日插值多项式为 L,(A-) = -l(x-2)(x-3)-2(x-l)(x-3) + l(x-l)(x-2)rA 2 2 -2x2+9x-8 10、对/(兀)=点 + x +1,差商 / 023 =(1), / 023,4=(。)； 1仁 已

12、知f(1) = 2, f(2) = 3 , f=5.9,则二次Newton插值多项式中，系数为 (0.15 ); 12、设/()= ，/=16, /=46,則厶(x) = 7(兀_2) , f(x)的二次牛顿插值多项式为 N2(x) = 16x + 7x(x-l)。 13. ，A，丿”是以整数点4,州，,心为节点的Lagrange插值基函数，則 1?”(小一I一，巴，当心 2 时 20 工(卅+川+3儿(兀)=, A-o( x +3 ) 14、设一阶差商 7(氏，心)= 心一心 61 42 则二阶差商 /(x1?x2?x3) = 心 g=M沁)一加申)_ %1巴-11 4-16 15、通过四个

13、互异节点的插值多项式p(x),只要满足三阶均差为0,则p(x)是不超过二次的多 项式 16、若/(x) = 3x4 + 2x + 1 则差商/2,4,8,16,32 =3 二、单项选择題： 仁设f H)=1, f (0)=3, f (2)=4,则抛物插值多项式中/的系数为(A )o A.0. 5B05 C2D-2 2、拉格朗日插值多项式的余项是(B )，牛顿插值多项式的余项是(C ) o (A) f (x, x0, x1, x2, , xn) (x x1) (x x2)(x xn 1) (x xn), MW)怙 (C) f (x, xO, x1, x2, , xn) (x xO) (x x1)

14、 (x x2)(xxn1) (xxn), /? (x) = /(x) - Pn (x) =(X) (D) 5 + 1)! 3、有下列数表 X 0 0.5 1 1.5 2 5 2. f( X) -2 -1.75 -1 0. 25 2 25 4. 所确定的插值多项式的次数是( A ) o (A)二次； (B)三次： (C)四次； (D)五次 4、由下列数表进行Newrton插值，所确定的插值多项式的最离次数是( D ) 1 1.5 2 2.5 3 3.5 心) -1 0.5 2.5 5.0 8.0 11.5 (A)5； 4；(0 3；(D) 2。 工灿() = 5、设U)是以为节点的Lagrang

15、e插值基函数，則()(C ) (A) * ;(B) * ;(C):(D) 1。 6、由下列数据 X 0 1 2 3 4 1 2 4 3 -5 确定的唯一插值多项式的次数为(A ) (A) 4：2;(01：(D)3o 三. 问答題 1. 什么是 Lagrange 插值基函数？它们有什么特性 ？ .0J芒丿=1，刃)的n 次插值 厶()= 答：插值基函数(剧(？ = 入屈是满足插值条件 O 二（x _ xj a _ xjx _ XiQ （x _ 耳） 多项式，它可表示为 （无一 ）（舌一 1）（血一心+1）（一心）并有以下性质， 刀右（X）= 1 2给定插值点（Zifi）Q = 0,1,卫）可分别

16、构造Lagrange插值多项式和Ne毗on插值多项式，它 们 是 否 相 同？ 为 什 么？ 它 们 各 有 何 优 点？ 答：给定插值点后构造的Lagrange多项式为GO） Newton插值多项式为它们形式不同 但都满足条件Lfc）=（）=fi =于是L*（吗）-地（吗）二,：二0,1，力它表 明n次多项式厶（力-（力有n+1个零点，这与n次多项式只有n个零点矛盾，故 L/a） = 27/x）即GO）与N（x）是相同的。L/x）是用基函数麦达的，便于研究方法的稳定性和 收敛性等理论研究和应用，但不便于计算，而NW 每增加一个插值点就增加一项祈面计算都有 效，因此较适合于计算。 3. Her

17、mite插值与Lagrange插值公式的构造与余项表达式有何异同？ 答：Hermite插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange插值复什一些， 但它们都用基函数方法构造，余项表达式也相似，对Lagrange插值余项表达式为 兀（沪4（_。）（一心） （“十1）!，而Hermite插值余项在冇条件的点心看作重节点，多一个条 件相当于多一点，若一共有m+1个条件，则余项中祈面因子为（观+1后面相因子J改为 2 仗-召）即可得到hermite插值余项。 四、计算题 仁设/（x） = x7+5x3 + 1,求差商 解：/2 = 7,/2, = 169,/22 = 16705 ,故

18、/2,2| = 162,/222 = 826 f(x)=x3时，公式左=1/5,公式右=5/24 公式的代数精度二2 12. 证明定枳分近似计算的抛物线公式 /b _ aa b 丄畑弧-丁疗+ 4/(4 / 131 一b = a = 、b = 所以当I 2 ,即 22时. 畑-y（X” J =学广（X”）+ OS ） = OS） 局部截斷误差为2 、儿亠一丿（旺山）=一?丁气七） 局部截斷误差的主项为4,该方法为二阶方法。 r 9、（15分）取步长力= 0.1,求解初值问题v =_v + 1用改进的欧拉法求y（l）的值: b，（0） = l yZ =ylt + hf（xn，儿）=o9 儿 +

19、o.i 儿利=yn + -lf（xn，儿）+ fg, y 籍）=0905儿 + 0.095 解：改进的欧拉法：2 所以$（1）=力=1； 10、（10分）对于一阶微分方程初值问題J y 2Ay ,取步长 =2,用Euler预报一校 0） = 1 正法求丁（02）的近似值。 解：Euler预报一校正法 /必” + 2（2七-儿）=0.4x + 08儿 .儿+严儿+。1（2七-儿+ 2 J -必）=016七+ 02x”d + 0.82j j（0.2） q y = 0.2 x 0.2 + 0.82 x 1 = 0.86 ,儿+产儿+力（兀”,儿）+（%,儿i）i 11. （10分）用二步法2求解一阶

20、常微分方程初 y=/u,j） q 值问題b（xo）= Jo ，问：如何选择参数6戸的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出此时的 局部裁斷误差主项，并说明该方法是几阶的。 解：局部裁斷误差为 几H = y（x”+J - y E）-号（X”（叫）+ 刃（x”3（x” J） ”2力3人 =爪”）+妙心）+令丿（兀”）+专广（兀”）+ 0（小_皿）-寸引心”）+肋仏） =y（x） + hyxn） + 专 ynxn） + 专严（叫）+ O（h4） _ y （叫）-扌 ayxn） 一細U)-妙g+? g )+O(h3) = /t(l-y-y)jr(xn) + (1 +) + (- /?) Jw(x,) +

21、 O(/|4) a = 3 .0 = j （8 分）已知常微分方程的初值问题： cly/dx = x/y, 1K 1.2 ）=2 用改进的Euler方法计算（L2）的近似值，取步长力=02。 k、= /(x0,y0) = 0.5 k2 = /(X), y0 + hk)= l.l/(2 + 0.2 x 0.5)= 0.5238095 y, =+ %】+ (0 （C）A3 = 1+，,迭代公式：仏=（1 +丘严 Xk 2Xl 3 X*, = T+Z Xui = T+r (D)9o 5、用二分法求方程x+4x一 10 = 在区间【1,2内的实根，要求误差限为2X1 ,则 对分次数至少为（A ） （A

22、） 10：（B）12：（08: 不收敛的是（C ） 叫+1 = (B) (C)畑=x； 如何构造收敛的不动点迭代函数？ 6、已知方程x ?-2x-5 = 0在x = 2附近有根，下列迭代格式中在xo = 2 （A） %=畑+5 : x -2+5 （D）% _ 2 o 三、问答题 1. 什么是不动点？ 答：将方程仗）=改写为玄=卩仗）若汙亡仪上使涉=矽仗*）则称点x*为不动点而祕兀）就是 不动点的迭代函数，迭代函数矶兀）可以有很多，但必须使构造的卩（汇）满足条件 （1）a兰卩（x）b. （2）MAX（fi（x） L axb r V 7 若X*已知，且防（产）|1 时也收敛，称为局部收敛。 2.

23、对于迭代法益収=血;K =从）初始近似 当|0（心）| 1时为什么还不能斷定迭代法 收敛? 答：迭代法是否收敛一定要按收敛定理的条件判斷，定理6.1是全局收敛性，需要在包含心的 区间固，列上证明。兰0図兰卜且蠶“0Ivl才能说明由必出是迭代法心+i =锁X）收敛 如果用局部收敛定理6.2,则要知道不动点为龙*才可由bOTkl证明其收敛性，由 |0 （心）| V1还不能说明迭代法收敛。 3. 怎样判斷迭代法收敛的快慢？ 一个迭代公式要达到P阶收敛需要什么条件？ 答：衡量迭代法快慢要看收敛阶p的大小，若序列心h攵敛于汇二 记为%=兀一卅若存在 lia |%叙| 一 PNixo,使皿百二 则称序列心

24、为P阶收敛，P越大收敛越快，当P=1,则C：越小, 收敛越快。一个迭代公式心+1 : （?） 二旅乓）若兀半为矽的不动点，P为大于1的整数，（X）在X*连续, 且何冋=.=严（巧=0而信叫們毛0则此迭代公式为p阶收矢 4方程/仗）二0求根的Newton法是如何推出的？它在单根附近几阶收敛？在莹根附近是几阶 收欽? 答：用曲线y二能）在点叫上的切线=了飢）+f（冷）仅-%）的零点近似曲线零点得到 X* ；7 龙亦L =/蔥）就是 Newton法，在单根附近2阶收夕攵，当兀朮为重根时是线性收敛。 5、简述二分法的优缺点 答：优点（a）计算简单，方法可靠；（b）对f （x）要求不鬲（只要连续即可）：

25、（c）收敛性总能 得到保证。缺点（a）无法求复根及偶重根；（b）收敛慢 牛顿迭代公式就是切线与x轴交点的横坐标, 6、画图说明牛顿迭代公式的几何意艾。 所以牛顿法是用切线与x轴的交点的横坐标来近 似代替曲线与X轴交点的横坐标。 四、计算题 1、用二分法求方4JLX2 -x-l = 0的正根，使误差小于005 解 使用二分法先要确定有根区间么旬。本题f（x）=x2-x-1二0,因f（1）=-1,f（2）=1,故区间 1,2为有根区间。另一根在-1,0内，故正根在1,2内。用二分法计算次迭代值如表。 N % 畑符号 0 1 2 1.5 - 1 1.5 2 1.75 + 2 1.5 1.75 1.6

26、25 + 3 1.5 1.625 1.5625 - 4 1.5625 1.625 1.59375 - 耳k-x=*|4 = 0 05 心“.59375 其误差 ZI 2532 2.求方程x5-x2-l = 0在xo=i,5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应 迭代公式. (1) A = l+ ,迭 代 公式 XA+1 =十二 F =1+? ,迭 代 公式 1 函+1 =(1+就尸 2 1 1 区1 X - 1 ,迭 代 公式 %A-i 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根. 在1.3,1.6且 1 2 1.3.6,甲(力=l + -?()

27、e1.3?1.6.Cx) = (1 )取区间/且X 2 3-在1.3,1中0488兰|0|兰0.911,则L1,满足收敛定理条件，故迭代收敛。 2x ,在1-3,1.6中有 故迭代法发散。 (2)於)=初 + 卅,在131.6中仍(x)E 1.3,1.6,且0G)= 丁 (1+疋) |(x)|0.46 = 1 厂、11- （3）讥亠右“产，在心“附近叫心, 在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取 X! = 1.481248, x2 = 1.472706,x3 = 1.468817, =1467048 心=1.466243, a6 =1.4658

28、77, = 1.465710,= 1.465634 心=1.465599,x10 = 1.465583,= 1.465577, j12 = 1.465574 x13 =1.465572, =1.465572 3给定函数广，设对一切X, /W存在，而且。血（SM.证明对 M的任意常 数兄，迭代法昭1 =歹（心）均收敛于方程/仗）=0的根. 解：由于广仗）了（力为单调增函数，故方程/W = 的根是唯一的（假定方程有根 X*）。迭代函数=, 0（兀）二1-久丁仗）。令|0（无）,则 Z = max|l-2A|,|1-|1,由递推有 心-打扇_/卜%_打T0,即曲心二玄 4. 用Newton 法求下列

29、方程的根，计算准确到 4位有效数字. （1）=x-3x-i = a在 心=2 附 近 的 根 /W =_3乳_，+ 2 = 0在二1附近的根. 解 : ( 1 ) j s = 1 Newton 迭代 法 也咖-1） 取 7 = 2、 则 xx = 1.8889,z2 = 0.25751,x3 =0.25753, : =0.25753 ,取1.879 此龙)=x2 -3x-?y + 2,/W = 2x-3-ey X X/ T 2xk . c 3抵 7+2 ( 2 ) 51 G 2aa - 3 令入0 = 1,则心=0.26894,= 0.25751,= 0.25753,z4 = 0.25753

30、取兀宋期 0.2575 5应用Newton法于方程/ -Q = 0,求立方根編的迭代公式，并讨论其收敛性. 解： 方程 x3 - a = 0 的根为 h二a , 用 Newton 迭代法 仍（兀）=兀+砂之）-S*） - 0,1- 丰 0= 此公式迭代函数 ,则33 xl/a故迭 代法2阶收敛。 6用牛顿法求方程力丫一1=0的根，x0=0.5,计算结果准确到四位有效数字。 解：根据牛顿法得 X, 严 耳+1= 取，迭代结果如下表 V*X k 0 O5 1 6 571 02 2 0. 567 16 3 O 567 14 所以，方程的根约为0.56714 7、构造求解方程“+10 x_2 = 0的

31、根的迭代格式习r+i =0（5）丿=02.讨论其收敛 性，并将根求出来，1入+】一兀17。 1 / 1 答案：解：令 /(%)= + 102,/(0) = -20,/(1) = 10 + 0 且 /r(A-) = ex +100 对Vxw(8, + 8),故 /(x) = 0 在(o,i)内有唯实根将方程 /(x)=0变形为 丄(2-eA) 10 则当x w (0,1)时 处)誌(2 J) 0(兀)匕-缶综(15分)方程疋一 x-l = 在x = L5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式(1) a- = V7+1对应迭代格式兀+1 =卜+1 : (2)x_y 对应迭代格式曲 丿 ；(3) x

32、 = -1对应迭代格式兀”+】=兀一1。判斷迭代格式在Ao =1-5的收敛性，选一种收欽格式计算 x = L5附近的根，精确到小数点后第三位。 1 -二 解：(1)以小尹，|0(15)| = 0咏1,故畑； (pM = (2) 2x V X , 10(1.5)| = 0.171,故发散。 选择() x() = 1.5 X =1.3572 小=1.3309 x3 = 1.3259 x4 = 1.3249 x5 =1.32476 x6 =1.32472 10、(6分)写出求方程4x = cos(x)+1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收欽 性。 耳小=0(x“)= ：l + cov“)

33、解：4, n=0,1,2,- U(A-)| = _|sin(A-)l_由Newton迭代公式： 5( 由det(2/-BG) = 0,求得Bj的特征值为：人=儿=0,心=2/,则p(BG) = 2er ,当 Gauss-Seidel迭代法收敛; 4x, + 2x2 + = 11 “ Xj +4x2 + 2x3 = 18 7. 用高斯-塞徳尔方法解方程组2“+勺+5勺=22,取列”=(0,0,0),迭代四 次(要求按五位有效数字计算)。 答案：迭代格式 兀严)=(22_2旺e_x；m) k 屮 厶 -v； 0 0 0 0 1 2. 7500 3.8125 2. 5375 2 0.20938 3.

34、 1789 3. 6805 3 0. 24043 2.5997 3. 1839 4 0.50420 2. 4820 3. 7019 3x)+ 2x2 +IOX3 = 15 lOXj -4x2 - x3 = 5 8、对方程组12心+10七-4乃=8 (1) 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由: (2) 取初值x(f = 00)7 ,利用(1 )中建立的迭代公式求解，要求 |兀伙+1)一*伙)|10-3 8o 解：调整方程纽的位置，使系数矩阵严格对角占优 10X| -4x2 一 勺=5 2%| + 10 x2 一4兀3 = 8 3牙+ 2 牙2 +10 = 15 故对应的高斯一塞徳尔迭代法收敛迭代格式为 堵+1）=丄（ 1 10 + 4址)+8) + 15) ）=（-2卅Z 犷）=加3严） 取兀（）丿=（0,0,0）7，经7步迭代可得: 乜 0 1 -3 1 X. 一 1 J 一1 x* x7) =(0.999 991 459,0.999 950 326,1.000 010)7 9、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 取F =（0,0, 0） T,列表计算三次，保留三位小数。 解：Gauss - Sei del迭代格式为： 301 1 -31 1 -1 4 系数矩阵L严格对角占优，故Gauss-Seidel