圆的方程[沐风学堂]

1、学科：数学教学内容：圆的方程【基础知识精讲】1.圆的方程：三个独立条件确定一个圆，根据已知条件可用待定系数法求圆的方程时，如果已知圆心或半径，或圆心到某直线的距离，通常用圆的标准方程，如果已知圆经过某些点，通常可用一般式.学习圆的方程，要正确掌握几何性质.和对应条件：(1)过原点的圆x2+y2+Dx+Fy=0或(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(2)圆心在x轴上的圆x2+y2+Dx+F=0(D2-4F0)或(x-a)2+y2=r2(3)圆心在y轴上的圆x2+y2+Ey+F=0(E2-4F0)或x2+(y-b)2=r2(4)圆心在x轴上，且与y轴相切的圆x2+y2+px=0，或(x-a)2+

2、y2=a2(5)圆心在y轴上，且与x轴相切的圆x2+y2+Ey=0或x2+(y-b)2=b22.直线和圆的位置关系直线与圆心位置关系的判断方法有两种：(1)判别式法(代数法)：将直线和圆的方程联立得到一个关于x、y的二元二次方程组，消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程，则0直线和圆相交(有两个公共点)=0直线和圆相切(有一个公共点)0直线和圆相离(无公共点)若涉及到弦长等问题，则可结合韦达定理进一步解决.(2)几何法：设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r，则dr直线与圆相交(有两个公共点)d=r直线与圆相切(有一个公共点)dr直线与圆相离(无公共点)若涉及到弦长等问题，则可抓住圆

3、心到直线的距离d、圆的半径r、弦长的一半l三者组成的直角三角形解决.3.圆与圆的位置关系，设两个圆的半径分别为R、r，圆心距为d,则(1)两个圆外离dR+r(2)两个圆外切d=R+r(3)两个圆相交R-rdR+r(4)两个圆内切d=R-r(5)两个圆内含0dR-r4.圆系方程：(1)过直线l:Ax+By+C=0和圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的公共点的圆的方程可以写作(Ax+By+C)+(x2+y2+Dx+Ey+F)=0；(2)过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F2=0和圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的公共点的圆(除C2外)的方程可以写成(x2+y2+D1x+E1y+F1)

4、+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0.特殊地，令=-1即得过两个圆的公共点的直线的方程：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.5.圆的参数方程：圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为6.应用代入法、几何法、参数法等方法求与圆有关的轨迹问题.本节学习方法：(1)数形结合的思想方法；(2)充分利用圆的几何性质，简化计算；(3)循序渐近的学习方法.【重点难点解析】同学们现在所学习的圆与初中所学习的圆是一样的，也就是说，圆的几何性质仍然成立.所不同的是现在我们把圆放到平面直角坐标系中去研究.这就需要大家在学习本节时，先复习圆的几何意义，几何性质，要复习曲线与方程的概念，从而

5、学习“圆的方程”这一节内容.例1 求经过点A(-2，-4)且与直线l:x+3y-26=0相切于点B(8，6)的圆的方程.分析一 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0则整理得解得D=-11,E=3,F=-30分析二 设圆心C(a,b)且圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 CA=CB,CBl解得a=,b=- 从而r=故所求的方程的(x-)2+(y+)2= 分析三 设圆心为C，则CBl，CB的方程为y-6=3(x-8),即3x-y+18=0，又AB的垂直平分线的方程为x+y-4=0联立半径r=所求圆的方程为(x-)2+(y+)2=例2 当m为何值时，直线mx-y-m-1=0与圆x2+y

6、2-4x-2y+1=0相交，相切、相离.分析一 (判别式法)将y=mx-m-1代入圆的方程化简整理得：(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0=4m(3m+4)当=0时，得m=0或m=-时，直线与圆相切.当0时,得m0或m-时，直线与圆相交.当0时，得-m0时，直线与圆相离.分析二 (几何法)由已知得圆心坐标为(2，1)半径r=2，圆心(2，1)到直线mx-y-m-1=0的距离d=当d=2时，即m=0或m=-时，相切当d2时，即-m0时，相离当d2时，即m0或m-时，相交例3 已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR)

7、(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交.(2)求直线l被圆C截得的弦长最短的长度及此时的直线方程.分析 若按常规思路只须证圆心O(1，2)到直线l的距离恒小于半径即可.但注意到直线l的方程可变形为x+y-4+m(2x+y-7)=0，则可知直线l恒过定点(3，1)，如果该定点在圆内，问题即可解决，事实上(3-1)2+(1-2)2=525点(3，1)在圆内这样，不论m为何实数，直线l与圆恒相交.(2)由(1)的结论可知直线l过定点M(3，1)，且与过此点的圆O的半径垂直时，l被圆所截的弦长AB最短.MO=且r=5弦长=2=4此时kl=- -=-=2m=-代入直线l得方程2x-y-5=0例

8、4 求两圆C1：x2+y2+2x+6y+90和C2:x2+y2-6x+2y+1=0的公切线方程.分析 要确定公切线的条数，应先判断两圆的位置关系，圆C1的圆心O1(-1,-3),半径r1=1，圆C2的圆心O2(3，-1)，半径r2=3O1O2=24=r1+r2两圆相离，公切线有四条.设公切线的交点为M(x0,y0)(1)外公切线点M分有向线段O2O1的比为=-=-3由定比分点公式得设两圆外公切线方程为y+4=k(x+3)即kx-y+3k-4=0由圆心O1（-1，-3）到其距离为1得=1即有k=0或k=.两圆的外公切线方程为y+4=0和4x-3y=0(2)内公切线点M（x0,y0）分有向线段O2

9、O1的比为=-3由定比分点公式得设两圆内公切线方程为y+=kx即2kx-2y-5=0由点O1(-1，-3)到其距离为1得=1解得k=-切线方程为3x+4y+10=0但由两圆外离，公切线应为4条，说明另一条公切线斜率不存在，则它的方程为x=0.【难题巧解点拨】例1 求过两圆x2+y2+4x-3=0与x2+y2-4y-3=0的交点，且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.分析 一般思路是先求出两交点坐标，再结合圆心在直线上，由这三个条件求圆的方程.但计算量较大.可以考虑过两圆交点的圆系方程可设为(x2+y2+4x-3)+(x2+y2-4y-3)=0(为参数且-1)整理得圆心坐标为(-，)又圆心在

10、直线2x-y-4=0上代入得：-4=0解得=- 代入整理即得所求圆的方程为x2+y2-12x-16y-3=0.例2 已知定点A(3，0)和B(0，4)，P是AOB内切圆上的动点(O是原点)，求PA2+PB2+PO2的最大，最小值.解：本题可直接设P点坐标为(x0,y0),先求出内切圆心方程.再结合P点满足圆的方程代入求其最大.最小值.也可采用参数法求解：由已知AO=3，BO=4，则AB=5.设AOB的内切圆半径为r，则r=1故AOB的内切圆方程为(x-1)2+(y-1)2=1因此可设P点坐标为(1+cos,1+sin)，有PA2+PB2+PO2=(2-cos)2+(1+sin)2+(1+cos

11、)2+(3-sin)2+(1+cos)2+(1+sin)2=20-2sin-1sin1 1820-2sin22PA2+PB2+PO2的最大值是22，最小值是18.例3 已知圆O：x2+y2=4，与点A(4，0)，过A点作圆O的割线交圆O于B、C两点，求BC中点M的轨迹方程.解法一：(定义法)因为BC为圆O的弦，M为弦BC的中点，由垂线定理得OMBC，即OMMA.M点在以OA为直径的圆上.又OA的中点为(2，0)，OA=4.所以点M所在圆心方程为(x-2)2+y2=4.因为ABC是割线，故M点的轨迹是此圆在圆O内部的一段弧.将方程x2+y2=4的两边减去方程(x-2)2+y2=4得x=1,M点的

12、轨迹方程为(x-2)2+y2=4(0x1)解法二：(直接法)设M点的坐标为(x,y)(1)当x0时，kOM=,kBC=kMA=由解法一知DMMA，kOMkBC=-1即=-1，化简得x2-4x+y2=0(2)当x=0时，易知M的坐标为(0，0)，它满足上述方程，结合解法一知点M的轨迹方程为x2-4x+y2=0(0x1解法三：(点差法)设M点的坐标为(x,y)，B、C的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则有-得x21-x22+y21-y22=0即(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0x1x2(否则B与C会重合)x1+x2+(y1+y2)=0又A、M、B、C共线，kB

13、C=kMA=将、代入得2x+2y =0化简得x2+y2-4x=0同法一得0x1.即所求的轨迹方程为x2+y2-4x=0(0x1)解法四：(几何法)OMMA，OM2+MA2=OA2即x2+y2+(x-4)2+y2=16即x2+y2-4x=0同解法一得0x1所求轨迹方程的x2+y2-4x=0(0x1)例4 已知定点A(4，0)和圆x2+y2=4上的动点B，点P分之比为21，求点P的轨迹方程.解：(代入法)设动点P(x,y)及圆上点B(x0,y0)=2于是代入圆方程x2+y2=4，得()2+y2=4P点的轨迹方程为(x-)2+y2=【课本难题解答】教材第82页，习题7.79.答：(1)2x-y-70

14、;(2)(x-1)2+(y+1)22510.答： (0)，为参数【典型热点考题】例1 设圆满足截y轴所得的弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为31，在满足条件的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的方程.分析 首先求出满足条件、的圆的圆心轨迹方程；然后求出圆心到直线x-2y=0的最小距离，最后列出满足圆心坐标与半径r的方程组，确定圆的方程.解法一：设圆的圆心为P(a,b)，半径为r，则P点到x轴，y轴的距离分别为b,a.由条件知圆P被x轴截得的劣弧所对的圆心角为90，从而圆P截x轴所得的弦长为r.r2=(b)2=2b2又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r=,r2=a2+1圆心

15、P的坐标为(a,b)满足方程2b2-a2=1，又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为d=所以5d2=a-2b2=a2+4b2-4ab(a2+4b2)-2(a2+b2)=2b2-a2=1当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1,从而d取最小值.由此有解此方程组得或于是，所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2解法二：同解法一得d= a-2b=d,即a=2b d得a2=4b24bd+5d2将a2=2b2-1代入上式，整理得2b24bd+5d2+1=0把它看作关于b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负.即=8(5d2-1)0，得5d21所以5d2有最小

16、值1，从而d有最小值.代入方程2b24db+5d2+1=0得b=1将b=1代入r2=2b2,得r2=2.由a2=2b2-1得a=1综上知a=1，b=1,r2=2将d=代入d=得：a-2b=1知a,b同号.于是，所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=1或(x+1)2+(y+1)2=2说明：要确定圆心坐标及半径，本题的关键是求出圆心到直线的最小值，解法一利用了基本不等式a2+b22ab求最值.而解法二利用判别式法求最值，这是求最值的两种常用方法.例2 设有圆心为(ak,0)，半径为rk(k=1,2,3,)的一系列半圆C1，C2，C3，每相邻两个半圆互相外切，并且都和直线l:y=-x+1相切，直

17、线l分别切圆Ck、Ck-1于A、B两点(1)用rk表示ak;(2)用rk-1表示rk;(3)若a10,半圆C1和y轴相切，求r1(4)在(3)中的半圆C1是这一系列半圆的左起每一个半圆，面积为S1，第k个半圆的面积为Sk(k=1,2,3,)求S1+S2+Sk+分析 由题设条件，联想到点到直线的距离公式、数列的有关知识进行解题.解：(1)由题设得直线l的方程为3x+4y-4=0.rk=d=ak= (2)连ACk、BCk-1，过Ck作CkDCk-1B，则四边形ABDCk为矩形.kAB=kCD，kAB=tan=-设直线l分别与x,y轴交于M、N两点.tanOMN=tan(180-)=-tan= si

18、nOMN=又sinOMN=rk=rk-1(3)a10,r10,r1=-a1由点到直线距离公式，得r1=r1=2(4)由(2)得rk=rk-1r1=2,r2=,r3=r1,r2,r3,等比数列，q= 又S1=r21=2 S2= r22= S3= r23=,可知S1，S2，S3也成等比数例，公比q=1，S=S1+S2+=.例3 当实数x,y满足x2-2x+y2=3时，求x+y的最大值与最小值.分析 圆心方程可化为(x-1)2+y2=4.令t=x+y,它的图形是顶点在坐标轴上的正方形，这样问题转化为正方形与圆有公共点时，求t的最大值与最小值.与圆有公共点的最小正方形是顶点为(1，0)，(0，1)，(

19、-1，0)，(0，-1)故t的最小值为1，与圆有公共点的最大正方形是两边与圆相切的正方形，由得2x2-2(t+1)x+t2-3=0，由=0,得t=1+2(1-2 舍去)，即t的最大值为1+2，(t的最大值也可用圆心到直线的距离等于半径去解)【同步达纲练习】A级一、选择题1.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是( )A.-3a7 B.-6a4C.-7a3D.-21a192.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.使圆(x-2)2+(y+3)2=2

20、上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( )A.(5，1)B.(3，-2)C.(4，1)D.( +2，-3)4.若直线x+y=r与圆x2+y2=r(r0)相切，则实数r的值等于( )A. B.1 C. D.25.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于( )A.8 B.4 C.2 D.4二、填空题6.过点P(2，1)且与圆x2+y2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 .7.设集合m=(x,y)|x2+y225,N=(x,y)(x-a)2+y29，若MN=M，则实数a的取值范围是.8.已知P(3，0)是圆x2+y2-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在

21、直线方程是 ，过点P的最长弦所在直线方程是 .三、解答题9.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，若OPOQ(O是原点)，求m的值.10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C：y=1+有两个不同的交点，求实数k的取值范围.AA级一、选择题1.圆(x-3)2+(y+4)2=2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是( )A.(x+3)2+(y-4)2=2 B.(x-4)2+(y+3)2=2C.(x+4)2+(y-3)=2D.(x-3)2+(y-4)2=22.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部，则实数a的取值范围是( )A.a1B.aC.a

22、D.a3.关于x,y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是( )A.B=0，且A=C0B.B=1且D2+E2-4AF0C.B=0且A=C0，D2+E2-4AF0D.B=0且A=C0,D2+E2-4AF04.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( )A.(，5)B.(5，1)C.(0，0)D.(5，-1)5.若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点P在圆x2+2=4的内部，则k的范围是( )A.- k-1B.- k1C.- k1D.-2k2二、填空题6.圆x2+y2+ax=0(a0)的圆心坐标和半径分别是 .7.若方程a2x

23、2+(2a+3)y2+2ax+a+1=0表示圆，则实数a的值等于 .8.直线y=3x+1与曲线x2+y2=4相交于A、B两点，则AB的中点坐标是 .三、解答题9.求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.10.光线l从点P(1，-1)射出，经过y轴反射后与圆C：(x-4)2+(y-4)2=1相切，试求直线l所在的直线方程.【素质优化训练】一、选择题1.直线x+y-2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为(全国高考题)( )A. B. C. D. 2.对于满足x2+(y-1)2=1的任意x,y，不等式x+y+d0恒成立，则实数d的取值范围是( )A.-1，+

24、B.(-，-1)C. +1,+D.(-, +1)3.若实数x，y满足x2+y2=1,则的最小值等于( )A. B. C. D.24.过点P(1，2)的直线l将圆x2+2-4x-5=0分成两个弓形，当大、小两个弓形的面积之差最大时，直线l的方程是( )A.x=1B.y=2C.x-y+1=0D.x-2y+3=05.一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )A.1.8米B.3米C.3.6米D.4米二、填空题6.若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值是 .7.若集合A=(x、y)y=-x-2，B=(x,y)(x-a)2+y2=a2满足AB=，则实数a的取值范围是 .8.过点M(3，0)作直线l与圆x2+y2=16交于A、B两点，