与圆有关的轨迹方程的求法

1、精品文档与圆有关的轨迹方程的求法若已知动点r （ a , 3）在曲线c: 它满足关系：f1(x,y ) =0上移动,动点 p (x,y )依动点r而动,7欢在下载x x(y y(则关于a、3反解方程组,g(x, y) h(x, y)代入曲线方程f i （x,y ） =0,即可求得动点p的轨迹方程c： f （x,y）=0.例1、（求轨迹）：已知线段ab的端点b的坐标是（4, 3）,端点a在圆（x1)2y24上运动，求线段 ab的中点m的轨迹方程.【例2】已知点a（3 ,。），点p在圆x2+y2=1的上半圆周上, 点q的轨迹方程./ aop勺平分线交pa于q求【法一】如图所示，设 p（x。，yo）

2、（ yo0）qx, y). oc /aop勺平分线，pqqa|op|oq|又因1xo 3 -3vo13131334yo1)xovo4x343y2xo16 yoo,一9163 yq.q分pa的比为.q的轨迹方程为(x -)2y2 (y o).416例3、已知圆4,过(40)作圆的割线 abc则弦bc中点的轨迹方程为(a. (x1)2(x1)24(0 x1)c. (x2)2(x2)24(0 x1)变式练习1 ：已知定点b(3,0)占八、a在圆上运动，m是线段ab上的一点1am -mb,则点 m 3的轨迹方程是1 二斛：设 m (x, y), a(x1，y1).am - mb , (x x1, y

3、31 y1)-(3 x, y),3x x1yy11 (3 x)31一 y3x1y14x34一 y31.,点a在圆x2y21上运动,2 . . x12y11,42(4x 1)3,4 、2 (-y)3即(x34)99, 点 m16的轨迹方程是(x1)29162:已知定点b(3,0)，点a在圆1上运动，aob的平分线交ab于点m点m的轨迹方程是解：设 m (x, y), a(x1, y1) . omaob的平分线，lammboaob1 一 am - mb .3由变式1可得点m的轨迹方程是(x3、229-)y4163：已知直线y kx 1与圆x24相交于a、b两点，以oa、ob为邻边作平行四边形oap

4、b ,求点p的轨迹方程.m是op的中点，点m解：设p(x, y) , ab的中点为m . oapb是平行四边形，的坐标为 c,y),且om ab. .直线y kx 1经过定点c(0,1) ,om cm ,， 2 2om cm (-,y) (-,- 1) (-)2 y(y 1) 0,化简得 x2 (y 1)2 1.点p的轨 2 22 222 2迹方程是x2 (y 1)21 .4、圆(x 2)2 (y 1)2 9的弦长为2,则弦的中点的轨迹方程是 -5、已知半径为1的动圆与圆(x 52 (y 7)2 1廓目切，则动圆圆心的轨迹方程是()a.(x 5)2 (y 7)2 25b . (x 5)2 (y

5、 7)217 或(x 5)2 (y 7)215c. (x 5)2 (y 7)29d. (x 5)2 (y 7)225 或(x 5)2 (y 7)296.已知两定点 a(-2,0),b(1,0), 包围的面积等于(b )a p b 4 p c 8如果定点p满足pa=2pb则定点p的轨迹所p d 9 p7：已知点m与两个定点一,一，.1o(0,0), a(3,0)的距离的比为 1,求点m的轨迹方程28如图所示，已知圆o：4与y轴的正方向交于 a点，点b在直线y 2上运动,过b做圆。的切线，切点为c,求 abc垂心h的轨迹.b分析：按常规求轨迹的方法， 设h (x , y),找x, y的关系非常难.

6、由于h点随b , c点运动而运动，可考虑 h, b, c三点坐标之间的关系.,一 、一 . 、 ， 、 _解：设 h (x , y) , c(x , y ),连结 ah , ch ,则 ah bc, ch ab, bc是切线 oc bc , 所以 ocah, choa, oa oc ,所以四边形aoch是菱形.所以chy 2, x.2,2又 c(x , y )满足 x y 4,所以x2 (y 2)2 4(x 0)即是所求轨迹方程.说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识.采取代入法求轨迹方程. 做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已

7、知，可考虑代入法.9.已知圆的方程为 x2 y2 r2,圆内有定点 p(a ,b),圆周上有两个动点 a、b,使pa pb,求矩形apbq的顶点q的轨迹方程.分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解.解法一：如图，在矩形 apbq中，连结 ab , pq交于m ,显然 om ab ,ab pq在直角三角形 aom中，若设q(x, y),则m (土上 -). 22,222由 om am oa ,即x a 2 y b、21222(-2)(工2-) -(x a) (y b) r，222,22、也即x y 2r (a b ),这便是q的轨迹方程.22 o 22 o斛法一：设 q(x,y

8、)、a(x1，yi)、b(x2,y?),则为y1r ,x?y r .-2_ 2又pq ab ,即、22222(xa)(yb)(xxz) (y1 y)2r2(x1x2y皿) .又ab与pq的中点重合，故x a x1 x2 , y b y1 y2 ,即,、2,.、2_2_,、(xa)(yb)2r2(x1x2 yiy2)十，有 x2 y2 2r2 (a2 b2).这就是所求的轨迹方程.解法三： 设 a(rcos , r sin )、 b( r cos , r sin )、 q(x, y),由于apbq为矩形，故ab与pq的中点重合，即有x a r cos r cos ,y b rsin r sin

9、,又由pa pb有回一b 一b1r cos a r cos a联立、消去 、，即可得q点的轨迹方程为x2 y2 2r2 (a2 b2).说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中.10、由动点p向圆x2 y2 1引两条切线pa、pb,切点分别为 a、b,apb=600,则动点p的轨迹方程是.解：设 p(x, y) . apb =600, .opa =300.oa ap ,op 2oa 2 ,练习巩固：设庆(c,0), b(c,0)(cfx2 y2 2,化简得x2 y2 4 , 动点p的轨迹方程是x2 y2 4.0)为两定点，动点p到

10、a点的距离与到b点的距离的比为定值a(a 0),求p点的轨迹.解：设动点p的坐标为p(x, y).由，闿 a(a 0) ,得 义x- c)y化简得(1 a2)x2lpblv(x c)2 y2(1 a2)y2 2c(1 a2)x c2 (1 a2) 0.当a 1时，化简得x222cy2 2c(1 a ) x c2 0,整理得(x -2-c)1 aa 12ac1)2当a 1时，化简得x 0.所以当a 1时，p点的轨迹是以1 a2(二一c,0)为圆心, a 12aca2 1为半径的圆;当a 1时，p点的轨迹是y轴.11、已知两定点 a( 2,0), b(1,0),如果动点p满足pa 2pb ,则点p的轨