平面向量的概念及线性运算

1、精品文档第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算基础知识貝主学习要点梳理i.向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量：向量的大小叫做向量的（或称）平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意的记作单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向或的非零向量0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等， 不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为02向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算*aa(1)交换律：a+ b=.(2)结合律：(a + b)+ c=减法求a与b的相反向 量一b的和

2、的运算 叫做a与b的差法则a- b = a+ ( b)数乘求实数入与向量a的积的运算(1)1 乔;(2)当?0时，七的方向与 a的方向；当X0时，扫的方向与a的方向;当入=0时，?aX Ma) =； ( Hu)a =；Xa+ b)=3共线向量定理向量a(az 0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入使得.难点正本疑点清源1向量的两要素向量具有大小和方向两个要素用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系同向且等长的有向线段都表示同一向量或者说长度相等、方向相同的向量是相等的向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小2向量平行与直线平行的区别因而要利用向向量平行包括向量共

3、线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合基础自测1化简赤QP + MS-MQ的结果为 2在平行四边形 ABCD中，E为DC边的中点，且a, AD = b，则BE=3下列命题：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；平行于同一个向量的两个向量是共线向量；相等向量一定共线其中不正确命题的序号是 4已知D为三角形 ABC边BC的中点，点 P满足 Pa+ebp+Cp = 0, Ap= ?pd，则实数入的值为5已知0是厶ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且20A +宛+ OC = 0，那么()AAO =ODB.AO = 2ODC.AO= 3OD

4、D.2AO =OD题型分类深度剖析题型一 平面向量的概念辨析【例11给出下列命题： 若ai=|b|,则a= b;若A, B, C, D是不共线的四点，则AB= DC是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；若 a = b, b= c,则a = c;a = b的充要条件是|a|= |b| 且 a / b.其中正确命题的序号是 .探究提高(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键(2) 相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(3) 共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(4) 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈(5) 非零向量a与看的关

5、系是：管|是a方向上的单位向量.变式训蟀计判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由(1) 若向量a与b同向，且|a|b|，则ab;若|a|= |b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3) 若|a|= |b|，且a与b方向相同，贝U a= b;(4) 由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；(6) 若向量AB与向量Cd是共线向量，则 A，B，C，D四点在一条直线上；起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等题型二向量的线性运算上的中点,G为BE上一点，且 GB = 2GE,【例2】在厶A

6、BC中，D、E分别为BC、AC边S设AB= a, AC = b,试用 a, b 表示 Ad , Ag.探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化(2) 用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相 应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果:U 在厶ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设AB = a, AC = b,试用a, b表示AG.题型三平面向量的共线问题【例3|设两个非零向量 a与b不共线,(1)若AB = a+ b, BC = 2a + 8b,

7、CD = 3(a b)，求证：A、B、D 三点共线;试确定实数k,使ka+ b和a+ kb共线.探究提高证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线向量a、b共线是指存在不全为零的实数Xi, 0使入a+加b= 0成立，若 入a + ?sb=0,当且仅当 乃=x= 0时成立，则向量 a、b不共线.燮式训舞3如图所示， ABC中，在AC上取一点N ,在BN的延长线上取点1P,使得NP= 2BN，在CM的延长线上取点Q,使得MQ = XCM时，AP = QA,试确定 入的值.思想9方法111.用方程思想解决平面向量的线性运算问

8、题试题：（14分）如图所示，在 ABO中，OC = OA,OD = 2（Ob , AD与BC相交于点 M，设OA= a,OB= b.试用a和b表示向量Om.审题视角（1）用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.既然OM能用a、b表示，那我们不妨设出 OM = ma+ nb.（3）利用共线定理建立方程，用方程的思想求解.规范解答解设Om =ma + nb,则 Am = Om OA= ma+ nb a = (m 1)a + nb.1 1 使得AN = 3AC，在 AB上取一点 M，使得 AM = AB,- - - 1 - - 1AD = OD O

9、A = 2OB OA =- a + qb.又:A、M、D三点共线， AM与AD共线.存在实数t,使得Am = tAD,i即(m 1)a + nb= t a+qb .1- (m 1)a + nb= ta+ 石tb.m 1 = tt，消去 t得，m 1 = 2n,n= 2即 m+ 2n= 1.又 CM = OM -炭=ma + nb- 1a = m-4a+ nb，CB= = b 4a=- 4a+ 又TC、M、B三点共线， CM与CB共线.存在实数 圮 使得CM = t1CB ,1m 4 a+ nb= t1-1a + b，1 1m ；= 7t1,44 ，消去 t1 得，4m+ n = 1.n= t1

10、由得 m= 7, n = 3, OM = 1a + 7b.3分5分7分10 分12 分14 分批阅笔记(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度.(2)学生的易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题学生易忽视 A、M、D共线和B、M、C共线这个几 何特征.(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会 .思想方法感悟提高方法与技巧1将向量用其它向量（特别是基向量）线性

11、表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式 的基础2可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题如AB / CD且AB与CD不共线，则AB / CD ;若 AB / BC,贝y A、B、C 三点共线失误与防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2. 在利用向量减法时， 易弄错两向量的顺序， 从而求得所求向量的相反向量，导致错误5.1平面向量的概念及线性运算（时间：60分钟）A组专项基础训练题组一、选择题1给出下列命题： 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比

12、较大小； ；9= 0（入为实数），则入必为零； 入为实数，若扫，则a与b共线.其中错误命题的个数为A. 1B.2C.3D.42设P是厶ABC所在平面内的一点，BC+ BA= 2BP,则A. RA+ PB = 0B.PC +PA = 0C.PB + PCD.FA+PB + PC= 03. 已知向量a, b不共线，c = ka+ b （k R）, d= a b.如果c/ d，那么A. k= 1且c与d同向B. k= 1且c与d反向C. k= 1且c与d同向D. k= 1且c与d反向二、填空题4. 设 a、b 是两个不共线向量，AB = 2a + pb, BC = a+ b, CD = a 2b，若

13、 A、B、D 三点共线，则实数p的值为5. 在平行四边形 ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC=瓜E+ A，其中人 口 R,贝廿 ?d-尸f 1 f6. 如图，在 ABC中，AN= 3NC , P是BN上的一点,ff 2 f若AP= mAB+ AC,则实数 m的值为.11三、解答题7. 如图，以向量6A = a, OB= b为边作？OADB ,bM=3bC ,用a、b表示OM、ON、33MN.8. 若a, b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a, tb, g（a + b）三向量的终点在同一条直线上？B组专项能力提升题组一、选择题1. 已知P是厶ABC所在平面

14、内的一点，若CB= ?PA + PB，其中 氏R，则点P 一定在（）A. ABC的内部B. AC边所在直线上C. AB边所在直线上D. BC边所在直线上2. 已知 ABC和点M满足MA + MB + MC = 0,若存在实数 m使得AB+ AC= mAM成立，则m等于（）A.2B.3C.4D.53.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP= OA +入AB ACAB + AC ,入 0,+ ），贝U P的轨迹一定通过厶 ABC的（）|AB| |AC|A.外心B.内心C.重心D.垂心二、填空题4.已知向量 a, b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条

15、件是（将正确的序号填在横线上）. 2a 3b= 4e,且 a + 2b= 3e; 存在相异实数入仏使入a+ yb = 0; x a+ y b= 0（实数 x, y 满足 x+ y = 0）; 若四边形ABCD是梯形，则AB与CD共线.5如图所示，在 ABC中，点0是BC的中点.过点0的直线分别交直线 AB、AC于不同的两点 M、N，若Ab = mAM , AC= nAN,贝ym+ n的值为.6在 ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 AD = 2DB , Cd = |cA + XCB，则 A7. 已知直线x+ y= a与圆x2 + y2 = 4交于A、B两点，且|0A+ OB|=|OA

16、 0B|,其中O为坐标原点，则实数 a的值为.三、解答题8. 已知点G是厶ABO的重心，M是AB边的中点.(1)求 GA + GJB+ GO;若PQ过厶ABO的重心G,且OA= a, Ob = b, OP= ma, OQ= nb，求证：三+* =3.答案要点梳理1.大小方向长度模零01个单位相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2.三角形平行四边形(1)b + a(2)a + (b+ c)三角形(1)|护1(2)相同相反 0入龜?a + 逅 ？a+ ?b3.b = ?a基础自测11.0S 2.b 2a 34. 25.A题型分类深度剖析【例1丨变式训练1解不正确，因为向量只讨论相等和不等，而

17、不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行 佝不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6)不正确，因为AB与CD共线，而AB与CD可以不共线即 AB/ CD.(7)正确.(8 )不正确，因为零向量可 以与它的相反向量相等.【例 2 解 Ad = (aB + AC) = 2a + 2b;- - - - 2 1 - - 2 1 - -AG= AB + BG = AB+ 3BE = AB + ?(BA+ BC) = 3AB+ (AC AB)1 1 1 1=3AB + 3AC = 3a + 3b.变式训练2 解 Ag

18、=Ab + Bg=AB+ ?BE = AB + 2(ba+ BC)入-入- -=1 2 AB + 2(AC AB)=(1 RAB+，AC = (1 为a+ 尹.又 AG= AC + CG = AC+ mCF=AC+ m(CA+ CB)m - m=(1 m)AC + qAB =+ (1 m)b,m1 匕2入1 m=2,解得入=m= 2,恋=fa +【例 3| (1)证明/ Ab = a+ b, BC = 2a + 8b, CD = 3(a b), Bd = Be + CD = 2a+ 8b+ 3(a b)=2a + 8b+ 3a 3b = 5(a + b) = 5AB. AB、Bd共线，又它们有公共点b , A、B、D三点共线.解 / ka + b与a + kb共线，存在实数 入 使ka + b = ?(a+ kb), 即 ka+ b = ?a+ 入 b. (k ?)a =(入 k 1)b. a、b是不共线的两个非零向量， k=入1 = 0, k2 1 = 0. k= 1.变式训练3 2