柯西积分公式PPT

关于柯西积分公式PPT1第1页，共50页，2023年，2月20日，星期四2一、问题的提出根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线C

的变化而改变,求这个值.第2页，共50页，2023年，2月20日，星期四3第3页，共50页，2023年，2月20日，星期四4二、柯西积分公式定理证第4页，共50页，2023年，2月20日，星期四5第5页，共50页，2023年，2月20日，星期四6上不等式表明,只要R足够小,左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知,左端积分的值与R无关,所以只有在对所有的R积分值为零时才有可能.[证毕]柯西积分公式柯西介绍第6页，共50页，2023年，2月20日，星期四7关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.(这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.第7页，共50页，2023年，2月20日，星期四8三、典型例题例1解第8页，共50页，2023年，2月20日，星期四9由柯西积分公式第9页，共50页，2023年，2月20日，星期四10例2解由柯西积分公式第10页，共50页，2023年，2月20日，星期四11根据复合闭路定理,回到前面我们讲过的例子：基于化为部分分式现在：只将分母分解因式第11页，共50页，2023年，2月20日，星期四12根据复合闭路定理,回到前面我们讲过的例子：现在：第12页，共50页，2023年，2月20日，星期四13例3解由柯西积分公式第13页，共50页，2023年，2月20日，星期四14例４解根据柯西积分公式知,第14页，共50页，2023年，2月20日，星期四15例5解第15页，共50页，2023年，2月20日，星期四16例5解第16页，共50页，2023年，2月20日，星期四17由闭路复合定理,得例5解第17页，共50页，2023年，2月20日，星期四18例6解根据柯西积分公式知,第18页，共50页，2023年，2月20日，星期四19比较两式得第19页，共50页，2023年，2月20日，星期四20课堂练习答案第20页，共50页，2023年，2月20日，星期四21四、高阶导数问题:(1)解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1)解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么?第21页，共50页，2023年，2月20日，星期四22定理证第22页，共50页，2023年，2月20日，星期四23根据导数的定义,从柯西积分公式得第23页，共50页，2023年，2月20日，星期四24第24页，共50页，2023年，2月20日，星期四25第25页，共50页，2023年，2月20日，星期四26再利用以上方法求极限第26页，共50页，2023年，2月20日，星期四27至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推,利用数学归纳法可证[证毕]高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.第27页，共50页，2023年，2月20日，星期四28高阶导数典型例题例7解第28页，共50页，2023年，2月20日，星期四29第29页，共50页，2023年，2月20日，星期四30根据复合闭路定理第30页，共50页，2023年，2月20日，星期四31第31页，共50页，2023年，2月20日，星期四32例8解第32页，共50页，2023年，2月20日，星期四33第33页，共50页，2023年，2月20日，星期四34例9解由柯西－古萨基本定理得由柯西积分公式得第34页，共50页，2023年，2月20日，星期四35第35页，共50页，2023年，2月20日，星期四36课堂练习答案第36页，共50页，2023年，2月20日，星期四37例10解第37页，共50页，2023年，2月20日，星期四38根据复合闭路定理和高阶导数公式,第38页，共50页，2023年，2月20日，星期四39第39页，共50页，2023年，2月20日，星期四40例11(Morera定理)证依题意可知第40页，共50页，2023年，2月20日，星期四41参照本章第四节定理二,可证明因为解析函数的导数仍为解析函数,第41页，共50页，2023年，2月20日，星期四42例12证不等式即证.第42页，共50页，2023年，2月20日，星期四43四、小结与思考柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西–古萨基本定理,它的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数的重要工具.柯西积分公式:第43页，共50页，2023年，2月20日，星期四44高阶导数公式是复积分的重要公式.它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论,同时表明了解析函数与实变函数的本质区别.高阶导数公式第44页，共50页，2023年，2月20日，星期四45思考题

1.柯西积分公式是对有界区域而言的,能否推广到无界区域中?

2.解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同?第45页，共50页，2023年，2月20日，星期四46思考题1答案可以.其中积分方向应是顺时针方向.放映结束，按Esc退出.第46页，共50页，2023年，2月20日，星期四47思考题2答案这一点与实变量函数有本质的区别.放映结束，按Esc退出.第47页，共50页，2023年，2月20日，星期四48Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西资料第48页，共50页，2023年，2月20日，星期四49作业:习题