曲面及其方程

1、1 2 1 空间直角坐标系 2 两矢量和在轴上的投影 3 矢量积的分配律的证明 4 混合积的几何意义 5 一般柱面 F(x,y)=0 6 一般柱面 F(y,z)=0 7 椭圆柱面 8 双曲柱面 9 抛物柱面 10 旋转面的方程 11 双叶旋转双曲面 12 单叶旋转双曲面 13 旋转锥面 14 旋转抛物面 15 环面 16 椭球面 17 椭圆抛物面 18 双曲抛物面 19 双曲面的渐近锥面 20 单叶双曲面是直纹面 21 双曲抛物面是直纹面 22 一般锥面 23 空间曲线圆柱螺线 24 空间曲线在坐标面上的投影 25 空间曲线作为投影柱面的交线(1) 26 空间曲线作为投影柱面的交线(2) 27

2、 作出平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的立体图形 3 28 图形 所围立体作出曲面0, 0, 0, 222222 zyxazxyx，a 29 形在第一卦限所围立体图平面 azyx,az,ay,ax 30 . 1 1 2222 所围立体图形和 作出曲面zyxyxz 4 八个卦限八个卦限 z y x 0 1. 5 八个卦限八个卦限 z y x 0 . 1. 6 八个卦限八个卦限 z y x 0 M x y N z (x,y,z) M (x,y,z) 点的坐标点的坐标 . 1. 7 0 z y x 0 M x y N z (x,y,z) (x

3、,y,z) 坐标和点坐标和点 M 1. . 8 0 z y x 0 N M点到坐标面的距离点到坐标面的距离 M点到原点的距离点到原点的距离 M点到坐标轴的距离点到坐标轴的距离 P Q 到到z轴轴: 22 1 yxd 到到x轴轴: 到到y轴轴: 22 2 yzd 22 3 zxd M(x,y,z) d1 d2 d3 . . . 1. . 9 x 0 z y M点的对称点点的对称点 关于关于xoy面面: (x,y,z) (x,y,-z) 关于关于x轴轴: (x,y,z) (x,-y,-z) Q 0 关于原点关于原点: (x,y,z) (-x,-y,-z) 1. . M(x,y,z) x R P (

4、x,y,-z) (x,-y,-z) (-x,-y,-z) 10 u A B c 两矢量的和在轴上的投影等于投影的和两矢量的和在轴上的投影等于投影的和 A B c 2. 两矢量和在轴上的投影两矢量和在轴上的投影 11 A c u A B c B CAAC jPr CBBC jPr BAAB jPr CACBBA ACBCAB jPr jPr jPr . . 两矢量的和在轴上的投影等于投影的和两矢量的和在轴上的投影等于投影的和 2. 两矢量和在轴上的投影两矢量和在轴上的投影 12 引理引理 ca c a 1 a 将矢量将矢量a一投一转（转一投一转（转900），）， 证明证明 sin| a 引入引入

5、 证毕证毕 (a+b) c=(a c)+(b c) ) 2 cos(| a 0 ca c0 3.3. : 两矢方向两矢方向: 一致一致； a2 |a2|= |a1| a2 得得a2 13 (a+b) c=(a c)+(b c) c 0 ca b a a+b 1 b 11 ba 0 cb cacac )(| 0 cbcbc )(| 0 cbacbac )()(| 0 0 )(cba (a+b) c a c 由矢量和的平行四边形法则，由矢量和的平行四边形法则， 1 a11 ba 1 a 1 b 得证得证 c0 3.3. : . . b c 将平行四边形一投一转将平行四边形一投一转 (a+b) c=

6、(a c)+(b c) 14 b c a b a S=|a b| h | | abc|jPr| cba ba h S V 4.4. 混合混合积的几何意义积的几何意义 |cba 15 h a c a b b 4.4. 混合混合积的几何意义积的几何意义 . | | abc|jPr| cba ba h S V |cba 16 h a c a b b 4.4. 混合混合积的几何意义积的几何意义 . 其混合积其混合积 abc = 0 | | abc|jPr| cba ba h S V |cba 三矢三矢 a, b, c共面共面因此，因此， 17 x z y 0 母线母线 F( x,y )=0 z = 0

7、 准线准线 (不含不含z) M(x,y,z) N (x, y, 0) S 曲面曲面S上每一点都满足方程；上每一点都满足方程； 曲面曲面S外的每一点都不满足方程外的每一点都不满足方程 点点N满足方程，故满足方程，故点点M满足方程满足方程 5.5. 一般一般 18 母线母线 准线准线 (不含不含x) F( y, z )=0 x = 0 x z y 0 6.6. 一般一般 19 1 2 2 2 2 b y a x a b z x y o 7.7. 椭圆椭圆 20 z x y = 0 y 1 2 2 2 2 b z a x o 8.8. 双曲双曲 21 pxy2 2 z x y o 9.9. 抛物抛物

8、 22 曲线曲线 C 0 0),( x zyf C y z o 绕绕 z轴轴 10.10. 旋转旋转的方程的方程 23 曲线曲线 C 0 0),( x zyf x C y z o 绕绕 z轴轴 . 10.10. 旋转旋转的方程的方程 24 曲线曲线 C 0 0),( x zyf 旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 S CS M N), 0( 11 zy zz 1 z P MPy | 11 y 1 z y z o 绕绕 z轴轴 . 22 yx f (y1, z1)=0 M(x,y,z) 10.10. 旋转旋转的方程的方程 . x S 25 曲线曲线 C 0 0),( x zyf 旋转一周得旋转

9、一周得旋转曲面旋转曲面 S x CS M N ), 0( 11 zy zz 1 z P MPy | 11 y 1 z 0),( 22 zyxfS： . 绕绕 z轴轴 . . 22 yx f (y1, z1)=0 M(x,y,z) f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0 10.10. 旋转旋转的方程的方程 . y z o S 26 x z b y a x 双曲线双曲线 0 y 11.11. 绕绕 x 轴一周轴一周 27 x z b y a x 双曲线双曲线 0 z y 绕绕 x 轴一周轴一周 11.11. 28 x 0 z y 得得双双叶叶旋旋转转双双曲曲面面 1 2 22 2 2 b

10、 zy a x . z b y a x 双曲线双曲线 11.11. . 绕绕 x 轴一周轴一周 29 a x y o 12.12. 上题双曲线上题双曲线 绕绕 y 轴一周轴一周 0 1 2 2 2 2 z b y a x 30 a x y o z 上题双曲线上题双曲线 绕绕 y 轴一周轴一周 0 1 2 2 2 2 z b y a x 12.12. 31 a . x y o z 得单叶旋转双曲面得单叶旋转双曲面 1 2 2 2 22 b y a zx . . 12.12. 上题双曲线上题双曲线 绕绕 y 轴一周轴一周 0 1 2 2 2 2 z b y a x 32 0 0 2 2 2 2 =

11、z = b y a x 13.13. 旋转锥面旋转锥面 两条相交直线两条相交直线 绕绕 x 轴一周轴一周 x y o 33 0 0 2 2 2 2 =z = b y a x . 两条相交直线两条相交直线 绕绕 x 轴一周轴一周 x y o z 13.13. 旋转锥面旋转锥面 34 x y o z 0 0 2 2 2 2 =z = b y a x . 两条相交直线两条相交直线 绕绕 x 轴一周轴一周 得旋转锥面得旋转锥面 0 2 22 2 2 b zy a x . 13.13. 旋转锥面旋转锥面 35 y o z 0 2 x azy 14.14. 抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周 36 y o

12、 x z 0 2 x azy 抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周 14.14. 37 y a yx z 22 . o x z 生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？ . 14.14. 0 2 x azy 抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周得旋转抛物面得旋转抛物面 38 14. 例例 . 39 15.15. y x o r R )0() 222 rRryRx（ 圆圆绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面 40 15.15. z 绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面 y x o . )0() 222 rRryRx（ 圆圆 41 15.15. z 绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面 22

13、222 )(ryRzx 环面方程环面方程 . 生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？ y x o )(4)( 222222222 zxRrRzyx 或或 . . )0() 222 rRryRx（ 圆圆 42 . 15.15. 43 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 截痕法截痕法 用用z = h截曲面截曲面 用用y = m截曲面截曲面 用用x = n截曲面截曲面 a b c y x z o 16.16. 44 x z y 0 截痕法截痕法 用用z = a截曲面截曲面 用用y = b截曲面截曲面 用用x = c截曲面截曲面 17.17. z q y p x 2 2 2 2

14、2 45 x z y 0 截痕法截痕法 用用z = a截曲面截曲面 用用y = b截曲面截曲面 用用x = c截曲面截曲面 17.17. . z q y p x 2 2 2 2 2 46 用用z = a截曲面截曲面 用用y = 0截曲面截曲面 用用x = b截曲面截曲面 x z y 0 z q y p x 2 2 2 2 截痕法截痕法 （马鞍面）（马鞍面）18.18. 双曲抛物面双曲抛物面 47 截痕法截痕法 . 18.18. 双曲抛物面双曲抛物面 （马鞍面）（马鞍面） x z y 0 用用z = a截曲面截曲面 用用y = 0截曲面截曲面 用用x = b截曲面截曲面 z q y p x 2

15、2 2 2 48 截痕法截痕法 . 18.18. 双曲抛物面双曲抛物面 （马鞍面）（马鞍面） x z y 0 用用z = a截曲面截曲面 用用y = 0截曲面截曲面 用用x = b截曲面截曲面 z q y p x 2 2 2 2 49 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 0 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 单叶单叶： 双叶双叶： y x z o 在平面上，双曲线有渐近线。在平面上，双曲线有渐近线。 相仿，相仿，单叶双曲面单叶双曲面和和双叶双曲面双叶双曲面 有有渐近锥面渐近锥面。 用用z=z=h h去截它们，当去

16、截它们，当| |h h| |无限增大时，无限增大时， 双曲面双曲面的截口椭圆与它的的截口椭圆与它的渐进锥面渐进锥面 的截口椭圆任意接近，即：的截口椭圆任意接近，即： 双曲面和锥面任意接近。双曲面和锥面任意接近。 渐近锥面：渐近锥面： 19.19. 锥锥 50 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 例如，储水塔、例如，储水塔、 电视塔等建筑都电视塔等建筑都 有用这种结构的。有用这种结构的。 . 20.20. 51 z b y a x 2 2 2 2 21. 21. 52 n次齐次方程次齐次方程F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面；的图形是以原点为顶点的锥面； 方程方程

17、 F(x,y,z)= 0是是 n次齐次的：次齐次的： ).,(),( zyxFttztytxF n 若若 准线准线 顶点顶点 n次齐次方程次齐次方程F(x,y,z)= 0.反之，以原点为顶点的锥面的方程是反之，以原点为顶点的锥面的方程是 锥面是直纹面锥面是直纹面 x 0 z y t是任意数是任意数 22.22. 一般锥一般锥 53 23.23. 圆柱螺线圆柱螺线 P 同时又在平行于同时又在平行于z轴的方向轴的方向 等速地上升。等速地上升。 其轨迹就是圆柱螺线。其轨迹就是圆柱螺线。 圆柱面圆柱面 222 ayx y z 0 x a x = y = z = acos t bt M(x,y,z) a

18、sin t t M 螺线从点螺线从点P Q 当当 t 从从 0 2 ， bPQ 2叫螺距叫螺距 N . Q （移动及转动都是等速进（移动及转动都是等速进 行，所以行，所以z与与t t成正比。成正比。) ) 点点P在圆柱面上等速地绕在圆柱面上等速地绕z轴旋转；轴旋转； 54 。平平面面的的投投影影在在的的交交线线及及求求曲曲面面 2 2222 xoyLyxzyxz 22 22 2 yxz yxz 1 . 1 1 22 z yx 解解 y x z o 得得交线交线L： 24. 24. 由由 55 z =0 . 2 1 1 1 22 z yx y x z o 解解 1 22 yx L 所求投影曲线为

19、所求投影曲线为 1 22 yx 0 1 22 z yx . . . 得得交线交线L： 24. 24. . 投影柱面投影柱面 22 22 2 yxz yxz 由由 。平平面面的的投投影影在在的的交交线线及及求求曲曲面面 2 2222 xoyLyxzyxz 56 1283 442 22 22 xzy zxzy 将将其其换换成成 L: x z y 0 ( ) 投投影影柱柱面面的的交交线线 25. 25. 消去消去zy2 = 4x y2 = 4x 57 1283 442 22 22 xzy zxzy 将将其其换换成成 L: x z y 0 ( ) 投投影影柱柱面面的的交交线线 消去消去z (消去消去x

20、 ) 25. 25. . y2+(z 2)2 = 4 y2+(z 2)2 = 4 y2 = 4x y2 = 4x 58 1283 442 22 22 xzy zxzy 将将其其换换成成 L： L: x z y 0 L 转动坐标系，有下页图 ( ) 投投影影柱柱面面的的交交线线 转动坐标系，有下页图 . 消去消去z (消去消去x ) . y2+(z 2)2 = 4 y2 = 4x y2+(z 2)2 = 4 y2 = 4x 25. 25. 59 L： L x z y 0 y2+(z 2)2 = 4 y2 = 4x (消去消去z) y 2 + (z 2)2 = 4 (消去消去x) y2 = 4x

21、26. 60 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 27. 27. 作图练习作图练习 x 0 z y 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所围成的立体图所围成的立体图 61 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 . x 0 z y 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所围成的立体图所围成的立体图 27. 27. 作图练习作图练习 62 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 . 6 6 6 x 0 z y 4 2 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所围成的立体图所围成的立体图 27. 27. 作图练习作图练习 63 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 . 6 6 6 x 0 z y 4 2 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所围成的立体图所围成的立体图 27. 27. 作图练习作图练习 64 4 2 x+y+z=6 . x 0 z y 6 6 6 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所围成的立体图所围成的立体图 27. 27. 作图练习作图练习 65 4 2 . x 0 z y 6 6