1990考研数二真题及解析

1、1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)r _31曲线r=co上对应于点t=冬点处的法线方程是.I y =3 n 3t67a n11(2) 设 y = e x sin ，贝U y = .x(3) 0 x , 1 - xdx 二.-13-J 3下列两个积分的大小关系是：e dx 辽ex dx.1Ixl 兰 1设函数f(x)，则函数ff(X) = .I。，|x|二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)/ 2 、x(1) 已知lim -ax-b

2、 =0,其中a,b是常数 则()F(x+1丿(A) a =1,b = 1(B) a = T,b = 1(C) a = 1,b - -1 (D) a - 1,b-1设函数f (x)在上连续,则d . f(x)dx等于()(A) f(x)(B) f (x)dx(C) f (x) C (D) f (x)dx已知函数f(x)具有任意阶导数，且f (x) = f(x)2,则当n为大于2的正整数时,f (x)的n阶导数f(n)(x)是()(A)n !f(x)n1(B)nf(x)n 1(C)f(x)2n(D )n !f(x)2ne丄设f (x)是连续函数，且F(x)二 f(t)dt,则F (x)等于()x(

3、A) -ef(ej - f(x)(B) -ef (ef f (x)(C)e(e-f(x)(D) e()f(x)x - o设 F(x)二 x |f(0),，其中f (x)在x=0处可导，广(0)式0, f (0) =0,则x = 0x = 0是F(x)的()(A)连续点(B)第一类间断点(C)第二类间断点(D)连续点或间断点不能由此确定三、(每小题5分,满分25分.) 已知迎：+；)x =9,求常数a.求由方程2y -x =(xy)ln( x -y)所确定的函数y二y(x)的微分dy .1求曲线y 2 (x 0)的拐点.1 +x(4)计算 ln x 2dx .(1-x)求微分方程xlnxdy，(

4、yTnx)dx=O满足条件丫乂三胡的特解.四、(本题满分9分)2 2在椭圆冷爲=1的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线、椭圆及两坐a b标轴所围图形面积为最小(其中a 0,b 0).五、(本题满分9分)1JT证明：当x 0 ,有不等式arctanx -.x 2六、(本题满分9分)x ln t1设 f(x)二 dt,其中 x 0,求 f(x) f(-).1 1 +tx七、(本题满分9分)过点P(1,0)作抛物线 廿 x -2的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形，求此平面图形绕x轴旋转一周所围成旋转体的体积.八、(本题满分9分)求微分方程旳4/ 4y = eax之通解，其中a为实数.

5、1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1) 【答案】y - - = /3( x -8 8TTTT【解析】将t 代入参数方程得x,y在t 处的函数66值：xt 兀=J, y t 兀=;t=6 8t=6 8得切点为(-V3,-).8 8过已知点(x0,y0)的法线方程为y -y0 =k(x-xj,当函数在点(心丫0)处的导TT处的导数.61y =0时,k所以需求曲线在点ty (x。)23sin tcost丄 丄2tant,-3cos tsint由复合函数求导法则，可得dy _ dy dt _ dy dxdx dt dx dt dt

6、1m ；A2法线斜率为k -.3.所以过已知点的法线方程为y 3(x -. 3)88【相关知识点】复合函数求导法则:如果u=g(x)在点x可导，而y=f(x)在点u=g(x)可导,则复合函数y = f lg(x)在点x可导，且其导数为(2)【答案】1 tan e xdydx2 1 一1sec x x j=f (u) g (x)或dy du dx du dx 丫 1 -1 cos 2x x2 11 tan sin e xx【解析】原函数对x求导，有tan1 厂x sin 1 r X tan1=e x i ta n x21 -1 sec 2 x xtan- e xtan 1 e xsin /.1

7、+sin ex1tan1 1sin +e x .sin 1 x 一 Jxtan1e x costan-xx x1COS 2 ex，根据比较定理得到A3A 3edx e dx.-2- _2【相关知识点】对于相同区间上的定积分的比较，有“比较定理”如下：若f(x)与g(x)在区间a,b(a,b为常数,a : b )上连续且可积，且f (x) g(x),bb则有 a f (x)dx 色g(x)dx.【答案】1【解析】对于分段函数的复合函数求解必须取遍内层函数的值域，不能遗漏,求出复合后函数的所有可能的解析式根据f(x)的定义知,当1x1时，有f (x) =1.代入f f(x),又f(1)=1.于是当

8、|x|乞1时，复合函数ff (x) =1 ；当|x|A1时,有f(x)=O.代入f f ( x)又f(0)=1,即当|x$ 1时,也有f f(x)T . 1因此，对任意的(-=)，有f f(x) =1.二、选择题(每小题3分，满分15分.)(1)【答案】C【解析】本题考查多项式之比当x厂：时的极限.2ax-bi(1 a)x2 (a + b)x b =lim z x-f八(1 -a)x2 -(a b)x -b由题设条件，有limFjx + 11 a = 0分析应有否则lim.a+b=0, t所以解以上方程组，可得a=1,b = -1.所以此题应选C.【答案】B【解析】由函数的不定积分公式若 F

9、(x)是 f (x)的一个原函数,f (x)dx = F (x) C ,dF (x)二 f (x)dx，有d f (x)dx = f (x)dx dx = f (x)dx.所以本题应该选(B).【答案】A【解析】本题考查高阶导数的求法.为方便记y = f (x).由丫 = y2，逐次求导得y =2yy =2y , y =3!y y = 3!y， 由第一归纳法，可归纳证明y(n)!yn1.假设n =k成立，即y(kk!yk 1,则y(k1=y=k!yk1 = k 1!yk y二 k 1 !yk 1 1所以n二k 1亦成立，原假设成立.【答案】AC Xe 【解析】对F(x) = x f(t)dt两

10、边求导数得F (x) =f (e)(e)- f (x)(x)(e)- f(x).故本题选A.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式:若 F(t)ot(t)f(x)dx,： (t), -(t)均一阶可导，则F (t)二 1 (t) f：(t) l r(t)(t)l.2.复合函数求导法则:如果u=g(x)在点x可导,而y=f(x)在点u=g(x)可导,则复合函数y = f lg(x) 1在点x可导且其导数为d = f (u) g (x)或dy = dy du dxdx du dx【答案】B解析】由于 ljm f (x)二 lim f (x)二 ljm f (x)_由函数在一点处导数的定义f

11、(x0 ： =x) - f (x0)f(X0讥寸沖0 ( J得 lim F(x)二 f (0) = 0 二 f (0) = F(0),所以函数不连续，且极限存在但不等于函数值，故为第一类(可去)间断点，故本题选B.【相关知识点】1.函数y = f(x)在点X)连续：设函数f(x)在点X0的某一邻域内有 定义，如果lim f(x) = f(x),则称函数f (x)在点X)连续.2.函数f (x)的间断点或者不连续点的定义：设函数f (x)在点x0的某去心邻域内有定义，只要满足一下三种情况之一即是间断点.(1) 在x =x0没有定义；(2) 虽在x = x有定义，但lim f (x)不存在；x)(

12、3) 虽在 x=x 有定义，且 lim f (x)存在但 lim f(x)= f(x);x)通常把间断点分成两类：如果 x是函数f(x)的间断点，但左极限f(xQ及右极限f(xj都存在，那么x0称为函数f(x)的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.三、(每小题5分,满分25分.)1 X)e. x x a aa x (1)axXa、(1)【解析】此题考查重要极限：x + ax (1J lim( ) = lim = lim xYx_a(a)Xe得2a =ln 9= a = ln3.xx丄 2a2a x -ax a x2a或由 lim( ) =lim 1 - x9 x -a

13、x#i x -a同理可得a =ln3.2a二 e(2) 【解析】方程两边求微分，得dx -dyx _ y2dy -dx 二 ln(x - y) d(x - y) (x - y) d ln(x - y)二(dx _dy)ln( x _ y) (x _ y)整理得 dy，ln(X y)dx.3+ln(x-y)( y _.(3) 【解析】对分式求导数，有公式|u =uv；uv，所以 v Jv八J y-g2-1)y (1 + x2)2，y (1 + X2)3 1 11令y = 0得x = 了，y在此变号即是x c了 时,yc0;时，y”0; x ；xx In u1x ln t1 1 t 1乂旦出叮dt

14、n2x.1 t(t 1)1 t 2ln1x-1 ln xxx2/ In xF(x x由牛顿-莱布尼兹公式，有1 2dx ln x,21 ln x112而 F(1)dx=0,故 F(x)=f(x) f(丄) ln2x .xx2【相关知识点】牛顿-莱布尼兹公式：设函数f(x)在a,b上连续,F(x)为f(x)在a,b上的任意一个原函数，则有bbL f(x)dx = F(x)a = F(b)F(a).【解析】先求得切线方程：对抛物线方程求导数yIII123y，得i七、(本题满分9分) ”二十1,过曲线上已知点(x0,y。)的切线方程为 y -y =k(x -冷),当 y(x0)存在时，k = y(x

15、).所以点(心M0 -2)处的切线方程为Y _肛 _2= (x-怡)， 2jx-2此切线过点P(1,0),所以把点P(1,0)代入切线方程得 冷=3,再冷=3代入抛物线方 程得1 1 1y0,y茬TF由此与抛物线相切于H)斜率为2的切线方程为x -2y =1.旋转体是由曲线y = f (x),直线x - 2y =1与x轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周所形成的，求旋转体体积V ： 方法1 :曲线表成y是x的函数,V是两个旋转体的体积之差，套用已有公式得31 2 3 2:一二 gx2 2x)1 4(x -1) dx-二 2C x-2) dx k1 l(x1)34 3方法2 :曲线表成x是y的函数

16、，并作水平分割，相应于ly,y dy】小横条的体积微元，如上图所示,dV =2二 y”(y22) -(2y 1) dy,于是，旋转体体积 V =2二；(y3 -2y2 y)dy =2. iy3 1 y2 1.21432 .丿 0 6【相关知识点】1.由连续曲线y二f(x)、直线x二a,x二b及x轴所围成的曲边梯b o 形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为：7 - f (x)dx.，a2.设f (x)在a,b连续，非负,a 0，则曲线y二f (x)，直线x = a, x二b及x轴围成的b 平面图形绕y轴旋转所得旋转体体积为：V =2二xf(x)dx(可用微元法导出).a八、(本题满分9分)【解析】

17、所给方程为常系数二阶线性非齐次方程 ，特征方程r2 4r 0的根为ri = d = -2，原方程右端 昇=异中的=a .当二a = -2时，可设非齐次方程的特解Y二Aeax,代入方程可得A二1当二a = -2时，可设非齐次方程的特解ax所以通解为y=(G cxlee 2(a+22C/丄、丄X ey = (c, gxje22 ，(a + 2)Y二x2Aeax，代入方程可得A =丄，2(a2),(a2).【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设 y(x)是二阶线性非齐次方y P(x)y Q(x)y = f (x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程 y P(x)y ： Q(x)y =0的通解，则y =Y(x) y*(x)是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x),可用特征方程法求解：即 八P(x)y，Q(x)y =0中的P(x)、Q(x)均 是常数，方程变为y py qy =0 .其特征方程写为r2prq=0,在复数域内解 出两个特征根Ar ；分三种情况：(1)两个不相等的实数