高一函数单调性奇偶性经典练习

1、函数单调性奇偶性经典练习一、单调性题型高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用，也有很多题会以判断单调性单独出题或有的题会要求先判断函数单调性才能进行下一步骤解答，另有部分以函数单调性质的运用为主.（一）函数单调性的判断函数单调性判断常用方法：即f ( x2 )单调增函数f ( x1 ) f ( x2 ) 0 f (x1)定义法（重点）：在其定义域内有任意x1， x2且 x1x2即f ( x2 )单调增函数f ( x1 ) f ( x2 ) 0 f ( x1)复合函数快速判断： “同增异减 ”f ( x)g( x)增基本初等函数加减（设 f ( x)为增函数，g(x)为减函

2、数）：f ( x)为减函数g(x)增f ( x)g (x)为增函数f (x)减g ( x)互为反函数的两个函数具有相同的单调性 .例 1 证明函数 f ( x)2x3 在区间 (4， ) 上为减函数 （定义法）x4解析：用定义法证明函数的单调性，按步骤“一假设、二作差、三判断（与零比较）”进行 .解：设 x1， x2(4，) 且 x1x2 ， f (x1)2x132x2311(x2 x1 )f (x2 )4x24( x1 4)( x24)x1q x2 x14x2x10 ， ( x1 4)0 ， (x2 4) 0f ( x1 )f (x2 )故函数 f (x) 在区间 (4， ) 上为减函数 .

3、练习 1 证明函数 f ( x)2x 1 在区间 ( 3，) 上为减函数 （定义法）x3练习 2证明函数f ( x) x22 3x 在区间 (2， ) 上为增函数 （定义法、快速判断法）3练习 3求函数f ( x)x3 定义域，并求函数的单调增区间(定义法 )x2练习 4求函数f ( x)x22x 定义域，并求函数的单调减区间（定义法）（复合函数，基本初等函数相加减问题，反函数问题在本章结束时再练习）（二）函数单调性的应用单独考查单调性：结合单调函数变量与其对应函数值的关系求参数定义域与单调性结合：结合定义域与变量函数值关系求参数值域与单调性结合：利用函数单调性求值域例 1若函数 f ( x)

4、 是定义在 r 上的增函数，且f ( x22x)f (3a) 恒成立，求实数a 的范围。练习 1若函数f ( x) 是定义在 r 上的增函数，且f ( x2 )f (3a) 恒成立，求实数a 的范围练习 2若函数f ( x) 是定义在 r 上的增函数，且f ( a2 )f (32a) 恒成立，求实数a 的范围例 2若函数 f ( x) 是定义在2，2 上的减函数，且f (2m3)f (m2 ) 恒成立，求实数m 的取值范围 .练习 1若函数f ( x) 是定义在13， 上的减函数，且f (2 m3)f (54m) 恒成立，求实数m 的取值范围 .例 3 求函数 f (x)x2x 1 2x 在区

5、间1上的最大值 .，2练习 1求函数 f ( x)3x22x 1 4x 在区间11， 上的最大值4 4二 、奇偶性题型（1）判断函数定义域是否关于原点对称（2）求出 f (x)的表达式f ( x) f (x)偶函数函数奇偶性判断：判断步骤f ( x)f (x)奇偶函数（3）判断关系f ( x)f (x)f (x)非奇非偶函数f ( x)f (x)f (x)即是奇函数又是函数注：判断奇偶性先求出定义域判断其是否关于原点对称可加快做小题速度奇 奇 =奇偶偶 =偶基本初等函数之快速判断：奇偶 =非奇非偶奇偶相乘除：同偶异奇（1）利用函数奇偶性求值函数奇偶性质运用： （2）利用函数奇偶性表达式（3）利

6、用奇偶性求值域定义在 r上任意函数均可表示为一个奇函数与一个偶函数之和：例 1判断下列函数的奇偶性1)f xx x212） f x1 x2x2 11x21x03） f xx 2x 24） f x21 x21x02解： 1） fx 的定义域为 r， fxx21xx21fx 所以原函数为偶函数。x2）fx的定义域为1x20即 x1，关于原点对称，又f1f 1 0 即x210f1f 1 且f1f1，所以原函数既是奇函数又是偶函数。3） fxx202 ，定义域不关于原点对称，所以原函数既不是奇函数又不是偶函数。的定义域为2x即 x04）分段函数f x 的定义域为,00,关于原点对称，当 x0 时，x

7、0 ， fx1x11 x211 x2 1f x2222当 x0 时，x 0， fx1x11 x211 x2 1f x2222综上所述，在,00,上总有fxfx所以原函数为奇函数。注意： 在判断分段函数的奇偶性时，要对x 在各个区间上分别讨论，应注意由x 的取值范围确定应用相应的函数表达式。练习判断下列函数的奇偶性x6x211） f xx62）x4） f xx 2 x 25）2x223 x2f x3） f xx 3x 22x2xx0fxx2xx0例 2设 fx 是 r 上是奇函数，且当x0,时 fxx 13 x ，求 fx 在 r 上的解析式解： q 当 x0,时有 fxx 13 x ，设 x,

8、0 ， 则x0,，从而有fxx13xx 13 x，qfx 是 r 上是奇函数，fxfxx 13xx0所以 f xf x x 13 x ，因此所求函数的解析式为 f x3x 1xx0注意 ：在求函数的解析式时，当球自变量在不同的区间上是不同表达式时，要用分段函数是形式表示出来。练习 1 已知 yfx 为奇函数，当x0 时， fxx22x ，求 fx 的表达式。例 3已知函数fxx5ax3bx8 且 f210 ，求 f2 的值解：令 g xx5ax3bx ，则 fxg x8f2g2810g218q g x 为奇函数，g 2g 218g218f2 g 28 18 8 26练习 1 已知函数 f xa

9、x7bx5cx3 dx4且 f39，求 f 3的值例 4设函数fx 是定义域 r 上的偶函数，且图像关于x2 对称，已知 x2,2 时， fxx2 1求 x6, 2 时 f x 的表达式。解： q 图像关于 x2 对称，f2xf2x ，fxf22x= f4xf x4 fx4fxfx4t4x6, 2x 42,2f x 4x 421 f x所以 x6, 2 时 f2x 的表达式为 f x = x 4 1练习 1设函数fx 是定义域 r 上的偶函数， 且 f (x2)f (4x) 恒成立，已知 x1,2 时， fx2x23求 x 5,8 时 f x 的表达式例 5定义在 r 上的偶函数fx 在区间,

10、0 上单调递增，且有f2a2 a 1f3a2 2 1求 a 的取值范围。22解：q 2a2a12 a170 ， 3a22a13a120 ，且 fx 为偶函数， 且在上,04833单调递增，fx在 0,上为减函数，2a2a13a2210a3所以 a 的取值范围是0,3练习 1 定义在1,1上的奇函数fx 为减函数，且f1af 1a20，求实数 a 的取值范围练习 2定义在2,2 上的偶函数g x ，当 x0 时， g x 为减函数，若g 1mg m 成立，求 m 的取值范围 .综合练习1.判断函数yxx95 的奇偶性2.求下列函数的单调区间(1) y x2x 12 ; (2) y1x22xx22

11、；（3） f x3x 1x2x2x3x23 函数 f (x) 在 0,) 上是单调递减函数，则f (1x2 ) 的单调递增区间是4.若函数 fx 在区间a33,2 a上是奇函数，则a=()a.-3 或 1b。 3 或-1c 1d -3已知函数 f x3x34，则它是（）x2a 奇函数b 偶函数c 即是奇函数又是偶函数d 既不是奇函数又不是偶函数5判断下列函数的奇偶性x1x0（ 1） f x21 x3（2） f x0x 0xx1x 06.已知定义在 r上的奇函数f (x) ，满足 f ( x4)f (x) ,且在区间 0,2 上是增函数 ,则 ().a. f ( 25)f (11)f (80)b.f (80)f (11)f ( 25)c. f (11)f (80)f (25