特征值特征向量的应用

1、特征值特征向量的应用1)求方阵的高次幕一般说，求矩阵的高次幕比较困难，但若矩阵a可以对角化，即存在可逆矩阵p 使1 .p-ap =diag( i,jl n) =a .其中兀，%,1儿儿是a的全部特征值.且a = pap,，则对任意正整数k有ak = (pap。)k= (pap-pap-|papj1)=pakp.所以可通过a的相似对角阵来求an 0例1作为计算矩阵高次幕的一个实例，考察如下问题：设某城市共有3 0万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保 持不变，而社会调查表明：(1)在这30万就业人员中，目前约有15万人从事农业，9万人从事工业，6 万人经商；(2)在从农人员中，每年约

2、有20%改为从工，10%改为经商；(3)在从工 人员中，每年约有20%改为从农，10%改为经商;(4)在从商人员中，每年约有10% 改为从农,1 0 %改为从工。现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多之后，从事各业人员总 数之发展趋势。解:若用3维向量xi表示第i年后从事这三种职业的人员总数，则已知彳5、xo =9，而欲求xx2并考察在n 一日大n的发展趋势，引进3阶矩阵a=a包j用以刻画从事这三种职业人员间的转移，例如:a23 =0.1表明每年有10%的从工人员改去经商。于是有0.70.20.1a =0.20.70.1 ,由矩阵乘法得0.10.10.8_12.9、x 1 =atx0

3、= ax 0= 19.9 ,x 2 = a x 1= a2x 011.73、10.23所以 x n = a xn=anx要分析xn就要计算a的n次幕an ,可先将a对角化0.7-儿0.20.1即 a 九e =0.20.7九0.1=(1- z)(0.7- )(0.5)0.10.10.8九特征值为 1=1,2=0.7, ， 3 =0.5分别求出对应的特征向量q1,q 2 ,q3 并令 q= q 1 ,q2 ,q3 ,则有 a= qbq 1从而有a n =qbq /，再由 x n =a n x 0 , b=一10：000.700【 00.5,b n一10-000.7n0000.5n可知n 一00一1

4、日由n将趋于0：0010，故知a n将趋于q 0-0010 q，因而0xn将趋于一确定常量x * ,因而x亦必趋于x * ,由x n =ax n，知x*必满足x*=ax*,故x*是矩阵a属于特征值4= 1的特征向量，x *t=,t +t +t,均为=3 =30,t =10,照次规律转移，多年之后,从事这三种职业的人数将趋于相等 10万人。2求方阵a的多项式的行列式的值kk 1设n阶方阵a可对角化，即存在可逆矩阵p使a =pa p一,其中a =diag(兀，九2 jha ),及5 ml 4是a的全部特征值.因此对方阵a的多项式 f(a)=amam +|+aia + ae ,有f(a) =p(am

5、 | aj ae)p.即f( a)| = am am 十 |l + a1a +a()e| =p( axm +| 十 aia 十 a0e )p；=am am + |+aia +ae： = diag( f(一 ), f (一 )j|i, f (?-n)= f()f( 2)111 f( n).例1设n阶实对称矩阵a满足a 2 =a,且a的秩为r,试求行列式的值。解：设ax = kx, x半0,是对应于特征值九的特征向量，因为a 2 = a ,则九x = a x =a x=儿x,从而有(九-九)x=0,因为x w 0所以九(九-1)=0,即九=1 或0,又因为a是实对称矩阵，所以a相似于对角矩阵,a的

6、秩为r,故存在可逆矩 阵p ,使得p,ap= 0 =b，其中er是r阶单位矩阵，从而2e-a = 2pp-pbp ,=2e -b =23由特征值与特征向量反求矩阵若矩阵a可对角化，即存在可逆矩阵p使p -1ap= b ,其中b为对角矩阵，则a =pbp 4例1设3阶实对称矩阵a的特征值为%=-1, % = %=1，对应于的特征向量为p 1= 1，求矩阵ao解:因为a是实对称矩阵，所以a可以对角化，即a有三个线性无关的特征向量，精品资料，x设对应于九2= 1=1的特征向量为p= x2，它应与特征向量p 1正交kx3t即p,pi= 0xi+x2+x3=0,该齐次方程组的基础解系为 p 2= 00、

7、p 3= 1 ，它们即是对应于九2=九3=1的特征向量0 1取 p =(p 1,p 2,p 3 )= 1 01 00 i 11 ,b= 0-0则p,ap= b ,于是0 10 |11 .一 ._a =pbp =10 101 0 i04判断矩阵是否相似0001/21/21001 0100= 00-10 10 1/2 -1/2_ _0-10_例1下述矩阵是否相似20021a 1=020,a 2=02003_p002011 ,a3=0203_p03_解：矩阵a 1,a 2,a 3的特征值都是1=2(二重)，九2=3，其中a1已是对角阵，所以只需判断a 2,a 3是否可对角化先考查a 2,对于特征值九

8、1=2，解齐次线性方程组(2e- a 2)x=0得其基础解系为町=0，由于九 1=2是a2的二重特征值，却只对应于一个特征向量，故a2不可对角化或者说a 2与a 1不相似。再考查a 3,对于特征值=2,解齐次线性方程组(2e- a 3 ,)x=0得基础解系;对于特征值2=3解齐次线性方程组(3e- a 3,)x=0，得基础解系由于a 3,有三个线性无关的特征向量，所以a 3,可对角化，即a 3,与a i相似。5求特殊矩阵的特征值例1设a为阶实对称矩阵，且a2=2a,又r(a)= r“=a，上=，汽,又因为a2=2a,所以a2，u=2a九=27上，所以九2 二2儿，由此可得 九二2或0,因为a是实对称矩阵，所以a必能对角化即a sb二 2、.2，且r(a)=r(b),故2的个数为a的秩数，即a的特征值为r个20