代数基本规律

1、代数基本规律实数、有理数、无理数基本概念1实数包括有理数和无理数。其中无理数就是 无 限不循环小数，有理数就包括整数和分数。实数的分类数学上，实数直观地定义为和数轴 上的点对应的数。本来实数仅称作数，后 来引入了虚数概念，原本的数称作“实 数”一一意义是“实在的数”。实数可以分为有理数和无理数两类，或正数， 负数和零三类。实数集合通常用字母r或ran表示。而ran表示n维实数空 问。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的 数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际 运用中，实数经常被近似成一

2、个有限小数（保留小数点后 n位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。相反数（只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数）实数a的相反数是-a 绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点 0的距离）实数a的绝对值是：|a|= a为正数时，|a|=aa为。时，|a|=0 a为负数时，|a|=-a倒数（两个实数的乘积是1,则这两个数互为倒数）实数a的倒数是：1/a（a*0分类按性质分类是：正数、负数、0;按定义分类是：有理数、无理数。（一）任何一个有理数都可写成有限小数或者无限循环小数的形式，反之，任何有限小数或无限循环小数都是有理数(二)对

3、无理数的判断注意以下三点：1、无理数是无限不循环小数，所以只能以四种形式出现开方开不尽的数化简后含圆周率 冗的数。“冗”虽然是一个常数，但它是无限不循环小数，属无理数特定结构的数，如 0.100 100 010 000 1,等有些三角函数值2、判断无理数要先化简，不能只看表面形式3、一些除不尽的分数，如 22/7, 1/13,1/7 等，会误认为是无理数，但事实上分数都是有理数相关规律分析1、实数比较大小方法：一、比较被开方数法一般地，当a0, b0时，如果ab,那么不 后,茹遍。也就是说，两个正数, 较大的正数的算术平方根也较大，其立方根也较大。反之也成立。例1、比较大小：(1) 3年50

4、；-次码-班。解析：若要比较形如3哂与碗的两数的大小，可先把根号外的因数 a与c移入 根号内，再根据被开方数的大小进行比较。(1)因为次父5 =席,5必星,且织6,所以回炽,因此，3万c5(2)因为垢鼻2葭3=侬,就= wx2 .箕,且24受4 ,所以祚 0,则鼻=源。在比较一个有理数和一个无理数的大小时，常选用此式於和例2、比较3 的大小。3_10解析：因为3-ill 1311 jul jn 3-ng,又因为g ，于是v g ，即3、乘方法（平方法或立方法） 如果a0, b0,若日 /，那么ab；若a ,那么ab 例3、比较大小：（1） 27（2）正+w与m +旧解析：（1）因为口行而120

5、1577 ,解析：（1）因为疝虱4.有肃l73工所以2 所以恒:3 j（2）因为“而s,所以痴-3幻，所以“ 京。五、作差法作差法的基本思路是，设a、b为任意两个实数，先求出a与b的差。当3-卜口 时，得至u ab;当a口时，得至ij ai=i时，ab；当匕 时，a=b。v3-1 1例6、比较 5 一三的大小。更3lv3-i j解析：因为 5 , ，所以55。七、放缩法（中间值法）如果ac, cb,那么a6 0所以m +屈-2,即加+2一行+ 1。九、特殊值法在解决含有字母的选择题或填空题时, 常常可以采用特殊值法,这样能够比较快 捷地得到答案。例9、已知xy0,设2，则m n、p、q的大小关

6、系是（）。a mqpn b mpqn、cqnpm dnqpmp = 2 q = 2解析：根据条件，不妨设工= -4y=t ,则m=4 n=1,3。不难得到：nqpm因此，应选 do十、数轴比较法数轴上的点与实数成一一对应的关系，数轴上的靠右边的点表示的数大于靠左边 的点表示的数。例10、已知a、b是实数，且i/四，“口3口。试比较a,aa, b的大小 关系。解析：因为|a|bba0 ,故可将a、b两数在数轴上表示出来，如图1。又 因为a与飞j与5互为相反数，根据相反数的几何意义，a与-a,七与-七在数轴 上可表示为图2。所以 di的大小关系是ao图1图2十一、法则比较法正数大于0, 0大于负数

7、，正数大于负数。两个正数，绝对值大的数较大；两个 负数，绝对值大的数反而较小。例11、已知a、b是实数，且a0b, c*0,试比较此/与b-的大小。解析：因为a0,贝u ab口，所以abr0, c” 口，所以力 口，为正数。所以abcmbc。十二、根式定义法该法适用于二次根式和三次根式的大小比较。例12、比较j2一万与他3的大小。解析：根据平方根的定义可知a，所以所以a-3 4 ,故口 o而a op 所 1卯2 _ a va _ 3 o十三、倒数法倒数法的基本思路是，设a、b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数i、 1%再根据当己“时，abc b、acb c、cba d、bca可选用倒解析

8、：当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时, 数法。i _ i + / 75 + a首先，丁瓦tt函-(力+冉,1 _ i2+弓一斤 2-币(2-75)(2+75)1.-后？4十 ?c v5-2 (#- 2)(75 4- 2) 0l111因为苏,小，所以c %,则bc。又因为2毒，所以63 ,则ab。由此可 得：abc。故选a。十四、分子有理化法例14、比较9-.4-病的大小。岳 ”，何-4_(-4)(旧 + 4)_1_解析：1由+ 41+ 4 ,a rtf 4 _(4 一 1)(4 + 3)14-45 = - =一不一二 7t石1 小-4,故近4 4+岳 所以历-4工4-相。总

9、之，具体使用什么方法来进行比较，应当根据题目所给的实数的类型或形式灵 活选用。一-2整式、多项式等相关(一)、因式分解定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式)。例如：m2n2= (m+n) (m-n)意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。 因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些 方法与技巧， 不仅是掌握因式分解内容所必需的， 而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力， 都有着十分独特的作用。 学习它， 既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培

10、养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。分解因式与整式乘法为相反变形。同时也是解一元二次方程中因式分解法的重要步骤。高级结论：在高等数学上因式分解有一些重要结论， 在初等数学层面上证明很困难， 但是理解很容易。1、因式分解与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。 在数学上可以证明， 对于一元三次方程和一元四次方程， 也有固定的公式可以求解。 只是因为公式过于复杂， 在非专业领域没有介绍。 对于分解因式， 三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法， 只是比较复杂。 对于五次以上的一般多项式， 已经证明不能找到固定

11、的因式分解法， 五次以上的一元方程也没有固定解法。2 、 所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解， 所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。 这看起来或许有点不可思议。比如x4+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3，所以一定可以因式分解。如果有兴趣，你也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。 （这是因为，由代数基本定理可知n 次一元多项式总是有n 个根，也就是说， n 次一元多项式总是可以分解为 n 个一次因式的乘积。 并且还有一条定理： 实系数多项式的虚数根两两共轭的， 将每对共轭的虚数根对应的一次因式

12、相乘， 可以得到二次的实系数因式， 从而这条结论也就成立了。 ）3 、 因式分解虽然没有固定方法， 但是求两个多项式的公因式却有固定方法。 因式分解很多时候就是用来提公因式的。 寻找公因式可以用辗转相除法来求得。 标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高， 但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高， 所以反复利用多项式的除法也可以但比较笨， 不过能有效地解决找公因式的问题。4、因式分解是很困难的，但初中所接触的只是因式分解很简单的一部分，真正的因式分解需要研究生的水准，抽象代数在因式分解上有重要的应用。因式分解方法十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，

13、 求根公因式分解没有普遍适用的方法， 初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法，长除法，短除法，除法等。注意四原则 ：1分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=x（-3x+1） ）不一定首项一定为正，如-2x-3xy-4xz=-x（2+3y+4z）归纳方法：1提公因式法 。2 .运用公式法。3 .拼凑法。住中学it学因式分*中.常常遇刊滴如 2jf: + 工 一 $!? -+1 却一匕放学承式的旧式分箫.由于这夷何嵯.常 用的方法有取t字同舞法.苻定本敏段等.

14、但事题堂席”/1祚一定点厘.若阴猾灌法， 第也就此芨埼尊.就k上例.怖出m 在款式中牛片分修用式也2父一4父一62f一3乂打十 ”.又存机式中令算一qt分解因式幡 一班+13-6 = 1%一$,-317+箝*武u+知一幻f拄一期*?)提取公因式法梆下列各式分解囚式：(1) (24*b) *-(”b位； (2) (i+y)i-10(x+j)+25 (3) 4 心一3b(4htb)；：* (4)(炉+7 ,)(始+/-4)+4 , 1、1lajmm各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式， 也可以是多项式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项

15、式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字 母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数 时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项是负的，一般要提出了号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出产号时，多项式的各项都要变号。口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形 看奇偶。例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)ma(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。注意：把2a + j变成2 卜+；)不叫提公因式公

16、式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。 平方差公式：(+= a2 -b2反过来为s2-b2 = (+完全平方公式：(a + &2 =z + 2ab + b2反过来为a2 + 2ab + b2 = ( + b)2(a-b)2 - a2 - 2ab+ m反过来为a2 -2ab + b7 = (a-b)2注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成 两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。两根式：7 t -b+ vb2 -b- vb2ffrz + bx + c = a(x)(x)2a2a立方和公式：a3+b3=

17、(a+b)(a2-ab+b2)立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)完全立方公式：a3=3a2b+3ab2ib3=(a =b)3公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)例如：a2+4ab+4b2 =(a+2b)21 .分解因式技巧掌握：分解因式是多项式的包等变形，要求等式左边必须是多项式。分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考 虑。2 .提公因式法基本

18、步骤：(1)找出公因式(2)提公因式并确定另一个因式第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同解方程法通过解方程来进行因式分解，如：x2+2x+1=0，解，得 x1=-1, x2=-1,就得到原式二(x+1) x (x+1)3竞赛方法编辑分组分解法分组分解是解方程的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种

19、形式：二二分法， 三一分法。比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。同样，这道题也可以这样做。ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 几道例题：1. 5ax+5bx+3ay+3by解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把 5ax和5bx看成 整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。2. x2-x-y2-y解法：=(x2-y2)-(x+y)=

20、(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法 a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决。十字相乘法十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。这种方法有两种情况。x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1;常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三 项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).例 1: x2-2x-8=(x-4)(x+2)kx2+mx+n型的式子的因式分解如果有 k=ab, n=cd,且有 ad+bc=m 时，那么

21、 kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d).例 2:分解 7x2-19x-6图示如下：a=1 b=7 c=2 d=-3因为 -37=-21, 1x2=2,且-21+2=-19,所以，原式=(7x+2)(x-3) 十字相乘法口诀 ：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。例 3： 6x2+7x+2第1项二次项(6x2)拆分为：2耶第3项常数项(2)拆分为：1x22( x )3( x )12对角相乘：1刈+2x2得第2项一次项(7x)纵向相乘，横向相加。与之对应的还有双十字相乘法，也可以学一学。拆添项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项) ，使原式适合于提公因式法、

22、 运用公式法或分组分解法进行分解。 要注意， 必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如： bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)配方法对于某些不能利用公式法的多项式， 可以将其配成一个完全平方式， 然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的

23、一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如： x2+3x-40=x2+3x+2.25-42.25=(x+1.5)2-(6.5)2=(x+8)(x-5) 因式定理对于多项式f(x),如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a.例如： f(x)=x2+5x+6 ， f(-2)=0 ，则可确定x+2 是 x2+5x+6 的一个因式。(事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3) )注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若x=q/p (p,q 为互质整数时)该多项式值为零，则 q 为常数项约数， p 最高次项系数约数2.对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则

24、有a为c/b约数换元法有时在分解因式时， 可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数， 然后进 行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意：换元后勿忘还元。例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12 时，可以令y=x2+x, 则原式 =(y+1)(y+2)-12=y2+3y+2-12=y2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x2+x+5)(x2+x-2)=(x2+x+5)(x+2)(x-1) 综合除法令多项式f(x)=0，求出其根为 x1 , x2, x3, ,xn,则该多项式可分解为f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x- x3)(xxn).例如在分解2x4+7x3-2

25、x2-13x+6 时，令 2x4 +7x3-2x2-13x+6=0 ，则通过综合除法可知，该方程的根为 0.5 ， -3， -2， 1所以 2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与x轴的交点x1,x2,x3, xn ,则多项式可因式分解为 f(x)= f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x- x3)(x-xn).与方法相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。主元法例如在分解x3+2x2-5x-6 时，可以令y=x3+2x2-5x-6.作出其图像，与x 轴交点为 -3， -1， 2则 x3+2x2

26、-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)先选定一个字母为主元， 然后把各项按这个字母次数从高到低排列， 再进行因式分解。特殊值法将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x,即得因式 分解式。例如在分解x3+9x2+23x+15 时，令x=2 ，则x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105，将105分解成3个质因数的积，即105=3x5x7 .注意到多项式中最高项的系数为 1，而 3、 5、 7 分别为 x+1 ， x+3 ， x+5 ，在 x=2 时的值，则 x3+9x2+23x+15

27、可能等于 (x+1)(x+3)(x+5) ，验证后的确如此。待定系数法首先判断出分解因式的形式， 然后设出相应整式的字母系数， 求出字母系数， 从 而把多项式因式分解。例如在分解x4-x3-5x2-6x-4 时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。于是设 x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)胃 + ar + +o f j)-m+ fr -t/jli3 -+ mi + fttjur +- w-: i* - - 514/ + jt+ iih ri - 2jt 4l相关公式=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd

28、由此可得a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4.解得 a=1, b=1, c=-2, d=-4.贝u x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4).也可以参看右图。双十字相乘法双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：ax2+bxy+cy2+dx+ey+fx、y为未知数，其余都是常数用一道例题来说明如何使用。例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12.分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。解：图如下，把所有的数字交叉相连即可x2y 2x3y 6. .原式=(x

29、+2y+2)(x+3y+6).双十字相乘法其步骤为：先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)先依一个字母(如y)的一次系数分数常数项。如十字相乘图中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验，如十字相乘图，这一步不能 省，否则容易出错。纵向相乘，横向相加。二次多项式(根与系数关系二次多项式因式分解)例：对于二次多项式 ax2+bx+c(/ 0)ax2 + bx + c = ax2 + -x + - a a.当=b2-4ac0时，设 ax2+bx+c=0 的解为 x1,x2 =a(x2-(x1+x2)x+x

30、1x2) =a(x-x1)(x-x2).分解步骤编辑如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。也可以用一句话来概括：先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”例题编辑1 .分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 .解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)(补项) =(1+y)+x2(1-y)2-2(

31、1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)(完全平方) =(1+y)+x2(1-y)2-(2x)2=(1+y)+x2(1-y)+2x(1+y)+x2(1-y)-2x=(x2-x2y+2x+y+1)(xa2-x2y-2x+y+1)=(x+1)2-y(x2-1)(x-1)2-y(x2-1)=(x+1)2-y(x+1)(x-1)(x-1)2-y(x+1)(x-1) =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y).2 .求证：对于任何整数x,y,下式的值都不会为33: x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5 .解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y

32、3)+(4xy4+12y5) =x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y) =(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y).当y=0时，原式二x5不等于33;当y不等于0时，x+3y, x+y, x-y, x+2y, x-2y 互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。3. aabc的三边a、b、c有如下关系式：-c2+a2+2ab-2bc=0,求证：这个三角 形是等腰二角形。分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。证明：v -c2+a2+

33、2ab-2bc=0, (a+c)(a-c)+2b(a-c)=0. . (a-c)(a+2b+c)=0.b、c是aabc的三条边， a+2b+c0.a c=0,即a=c, aabc为等腰三角形。4,把-12x2n yn+18xn+2yn+1-6xn yn-1 分解因式。解：-12x2n yn+18xn+2yn+1-6xn n-1=-6xn yn-1(2xn y-3x2y2+1).四个注意因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有 “公”先提 “公”，某项提出莫漏1，括号里面分到 “底”。现举下例，可供参考。例 1 把 -a2-b2+2ab+4 分解因式。解：-a2-b2+2

34、ab+4=-(a2-2ab+b2-4) =-(a-b)2-4=-(a-b+2)(a-b-2)这里的“负 ” ，指“负号 ”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。 防止学生出现诸如 9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y) 的错误。这里的 “公”指 “公因式 ”。 如果多项式的各项含有公因式， 那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“ 1，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这”个公因式后，括号内切勿漏掉1。分解因式， 必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 即分解到底， 不能半途而废

35、的意思。其中包含提公因式要一次性提 “干净 ” ，不留 “尾巴 ” ，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如 4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y(x+1)(4x2-9) 的错误，因为 4x2-9 还可分解为 (2x+3)(2x-3)。考试时应注意：在没有说明化到实数时， 一般只化到有理数就够了， 有说明实数的话， 一般就要化到实数！由此看来， 因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中， 与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话： “先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。应用1 应用于多项式除法

36、。： a(b-1)(ab+2b+a)说 明 ： (ab+b)2-(a+b)2 = (ab+b+a+b)(ab+b-a-b) = (ab+2b+a)(ab-a) = a(b-1)(ab+2b+a) 2 应用于高次方程的求根。3 应用于分式的通分与约分顺带一提，梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展：1, p=4r+3,如果 8r+7 也是素数，贝u: (8r+7)|(2p-1)。即(2p+1) | (2p-1)例如：23|(211-1); 11=4x2+347|(223-1); 23=4x5+3167|(283-1);,.83=4 20+3x2,p=2n 82+1,则(6p+1) |(2p-1)

37、,例如：223|(237-1); 37=2x2mx3+1439|(273-1); 73=222m3+13463|(2577-1); 577=2 2x2 2 2 2 3 c+13, p=2nmmx5s-1则(8p+1) | (2p-1)例如；233|(229-1); 29=2x5-11433|(2179-1); 179=2 2x3 3 5-11913| (2239-1); 239=2 2 2 2 3x5-1分解公式平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2立方和(差)两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差。

38、即 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)证明如下：a3-b3=a3-3a2b+3ab2-b3所以 a3-b3=(a-b)3-3(a2)b+3ab2=(a-b)(a-b)2+3ab(a-b)=(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2)同理 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)十字相乘公式十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。要务必注意各项系数的符号 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab二、方程(一)一元一次方程基本信息：只含有一个未知数(即“元”)，并且未知数的最高次数为1 (即 “次”)的整式方程叫做一元一次方程(英文名：linear equ

39、ation with oneunknown)。一元一次方程的标准形式(即所有一元一次方程经整理都能得到的形 式)是ax+b=0 (a, b为常数，x为未知数，且aw0)。求根公式：x=-b/a。标准形式：一元一次方程的标准形式(即所有一元一次方程经整理都能得到的形 式)是ax+b=0 (a, b为常数，x为未知数，且aw0)。其中a是未知数的系数， b是常数，x是未知数。未知数一般设为x, y, z。方程特点(1)该方程为整式方程。(2)该方程有且只含有一个未知数。(3)该方程中未知数的最高次数是1。满足以上三点的方程，就是一元一次方程。判断方法要判断一个方程是否为一元一次方程，先看它是否为整

40、式方程。若是，再对它进 行整理。如果能整理为ax+b=0 (aw0)的形式，则这个方程就为一元一次方程。 里面要有等号，且分母里不含未知数。变形公式ax=-b (a, b为常数，x为未知数，且aw0)j6求根公式：“ a.通常解法去分母一去括号一移项一合并同类项一系数化为1。两种类型(1)总量等于各分量之和。将未知数放在等号左边，常数放在右边。如: x+2x+3x=6。(2)等式两边都含未知数。如：300x+400=400x, 40x+20=60x1。方程举例2a=4a-63b=-1x=1都是一元一次方程。方程起源“方程” 一词来源于中国古算术书九章算术。在这本著作中，已经列出了一 元一次方程

41、。法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为 代数方程。在19世纪以前，方程一直是代数的核心内容。主要用途一元一次方程通常可用于做应用题，如工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问 题、球赛积分表问题、电话(水表、电表)计费问题、数字问题等。补充说明编辑合并同类项(1)依据：乘法分配律(2)把未知数相同且其次数也相同的项合并成一项；常数计算后合并成一项(3)合并时次数不变，只是系数相加减。移项(1)依据：等式的性质1(2)含有未知数的项变号后都移到方程左边，把常数项移到右边。（3）把方程一边某项移到另一边时，一定要变号（如：移项时将+改为-,x改为十）。等式性质等式的性质一：等式两

42、边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。等式的性质二：等式两边同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），等式仍然成立。等式的性质三：等式两边同时乘方（或开方），等式仍然成立。解方程都是依据等式的这三个性质。解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解法步骤一、去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）；依据：等式的性质2二、去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，可根据乘法分配律（记住如括号 外有减号或除号的话一定要变号）依据：乘法分配律三、移项把方程中含有未知数的项都移到方程的一边（一般是含有未知数的项移到方程左边，而把常数项移到右边）依据：

43、等式的性质1四、合并同类项把方程化成ax=b （a*0）的形式；依据：乘法分配律（逆用乘法分配律）五、系数化为1在方程两边都除以未知数的系数 a,得到方程的解x=b/a。依据：等式的性质2.解方程口诀去分母，去括号，移项时，要变号，同类项，合并好，再把系数来除掉。同解方程如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。同解原理（1）方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。（2）方程的两边同乘或同除同一个不为 0的数所得的方程与原方程是同解方程。求根公式由于一元一次方程是基本方程，故教科书上的解法只有上述的方法。但对于标准形式下的一元一次方程：ax+b=0 （aw0

44、）。可得出求根公式b x =-a函数解法由于一元一次函数都可以转化为 ax+b=0 （a, b为常量，aw0）的形式，所以解 一元一次方程就可以转化为：当某一个函数值为0时，求相应的自变量的值。从图像上看，这就相当于求直线 y=kx+b （k, b为常量，20）与x轴交点的横坐标的值。解法举例例（1）题目：已知ax=b是关于x的方程（a、b为常数），求x的值。分析：要牢牢抓住一元一次方程的定义，进行分类讨论。解：当aw。时，bo当a=0, b=0时，方程有无数个解（注意：这种情况不属于一元一次方程, 而属于恒等方程）当a=0, bwo时，方程无解（注意：此种情况也不属于一元一次方程）例题目：解

45、方程3x +1 3x - 2 2x + 32 = n?分析：按照一元一次方程的解法顺序一步步进行，计算要细心。解：去分母，得5（3工 +1） - 10 x 2 = （31-2） - 2（2工 + 3）去括号，得15x+5-2d=3x-261移项，得-3-4工= 2-6-5 + 20合并同类项，得l6x = 71系数化为1,得检验：把代入原方程7“16是原方程的解等式性质若 a=b,则 a+c=b+c, a-c=b-c (等式的性质 1)。若 a=b,贝 ac=bc, a+c=b+ c (c w0)(等式的性质 2)解应用题做一元一次方程应用题的重要方法：(1)认真审题(审题)(2)分析已知和未

46、知量(3)找一个合适的等量关系(4)设一个恰当的未知数(5)列出合理的方程(列式)(6)解出方程(解题)检验(8)写出答案(作答)注意事项(1)分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；(2)去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号；(3)去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；(4)移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；(5)系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号(6)不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。(7)分、小数运算时不能嫌麻烦。(

47、8)不要跳步，一步步仔细算。(二)一元二次方程定义一元二次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。2一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母，那么分母中无未知数； 只含有一个未知数；未知数的最高次数是2。方程形式一般式：一般地，任何一个关于 x的一元二次方程经过整理，都能化成如 ax2+bx+c=0 (aw0,a,b,c是常数)的形式。这种形式叫一元二次方程的一般形式。 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数； c叫做常数项。一次项系数b和常数项c可取任意实数，而二次项系数 a必须是 不等于0

48、的实数。这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，此方程也就不是 一元二次方程了。要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次 方程化成一般形式。变形式ax/ b 2 b2 -两根式a(x-xi)(x-x21 = 0解(根)的意义 一元二次方程的解(根)的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根(只含有一个未知数的方程的解也叫做这个 方程的根)。 一元二次方程一定且最多有两个解，但不一定有两个实数解。根的个数和判别式(也称韦达定理)。由韦达定理可得，当方程的两根为 x1=p, x2=q时，方程为：ax2-(p+q)x+p

49、q=0 (其中口*0)。求根方法直接开平方法形如x2=p或(nx+m) 2=p(p 0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次 方程。如果方程化成/二p的形式，那么可得江二士百。如果方程能化成伽m +例产=p (p0)的形式，那么代工十洲二士乐,进而的出方程的根。一、/汪忠：等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。方法是根据平方根的意义开平方。配方法将一元二次方程配成(x+m) 2=口的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元 二次方程的方法叫配方法。用配方法解一元二次方程的步骤： + bx- 0(a、b是实数，aw。ax2

50、+c - 0(a、c是实数，aw。or2 二 口(a是实数，aw。配方式利用一元二次方程根的判别式( =b2-4ac)可以判断方程的根的情况。一元二次方程 ar3 + bx + c = 0(口工0)的根与判别式a - b2-4ac有如下关系：当a 0时，方程有两个不相等的实数根；当瓦二q时，方程有两个相等的实数根；当限0时，方程无实数根，有2个不相等的复数根。上述结论反过来也成立。根与系数的关系一元二次方程的两根与方程中各系数有如下关系：r f项+力二一二 ac 用电=- a把原方程化为一般形式；方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半

51、的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。配方法的理论依据是完全平方公式 a2+b2 2ab= （a b） 2配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为 1,然后在方程两边同时 加上一次项系数一半的平方。例一：用配方法解方程3x2 4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1:方程两边都加上一次项系数一半的平方:2 v10原方程的解为用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法 1。用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定

52、a, b, c的值（注意符号）；求出a=4斯的值，判断根的情况（若a0,则方程有2个不相等的复数根;若a之0,则方程有两个不相等的实数根；若 a = 0,则方程有两个相等实数根）；在区二川弟。的前提下，把a、b、c的值代入公式_ -b vi _ -b vb?- 4acx二一2t二五进行计算，求出方程的根。因式分解法因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法。因式分解法就是先把方程的右边化为 0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0,这就能得到两个一元一次 方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次 方程的问题了（数学化归思想）。因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分