2013高三数学总复习9-5线面、面面垂直的判定与性质练习新人教B版

1、9-5线面、面面垂直的判定与性质基础巩固强化1.（文）（2011 北京海淀区期末）已知mi n是两条不同的直线，“、3是两个不同的平面.下 列命题中不正确的是（）a.若 m/ a , a n 3 = n，则 m/ nb.若 m/ n, ml a ,贝u n, ac.若 ml a , ml 3 ,贝u a / 3d.若 ml a , m? 3 ,则 a 3答案a解析 选项a中，直线m与直线n也可能异面，因此 a不正确.（理）已知两条不同的直线m n,两个不同的平面 a、3 ,则下列命题中的真命题是 （）a.若 mla, n，3, a，3,则 ml nb.若 m/ a , n / 3 , a /

2、3 ,则 m/ nc.若 m!a,n/3, a，3,则 ml nd.若 m/ a , n 3 , a，3 ,则 m/ n答案a解析m_! a、i? m/ 3 或 m? 3 a x 3 jr ? ml n,故 a正确；n1 3如图，ml a , nx a满足n ii 3 ,但m/in,故c错；如图（2）知b错；(2)(3)如图（3）正方体中， m/ a , n 3 , a，3 ,知d错.2 .（文）（2011 北京市朝阳区模拟）设a、3、丫是三个不重合的平面，l是直线，给出 下列命题若a，3 , 3，丫，则a，丫；若l上两点到a的距离相等，则l / a ；若l， a , l / 3 ,则 a _

3、l 3 j 若 a ii 3 , l ? 3 ,且 l ii a ,则 l / 3 .其中正确的命题是（）a. b.c.d.答案d解析对于：若 a 3 , 3，丫，则可能“，丫，也可能“/ 丫 .对于：若l上 两点到a的距离相等，则l / a ,显然错误.当l，a , l a a =八时，l上到a距离相等的 两点到a的距离相等.显然正确.（理）如图，三棱柱 ab（c- abc的侧面 aabebx bc且ac与底面成45角，ab= bc= 2,则该 棱柱体积的最小值为（）a. 4 3b. 3 3c. 4d. 3答案c解析 由已知得平面 aabbl平面abc且交线为ab,故ai在平面abc的射影d

4、在ab 上.由ac与底面成45角得 aid= dcbc1 ab,，当cd最小即cd= bc时ad最小，此时11vnin=2xabx bcx ad= 5x 2x2x2= 4.故选 c.3. （2012 河北邯郸临漳一中模拟 ）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积 是（）-23 -h1h 主视图 俯视图1a.2b. 3c.3d. 22答案a解析由三视图知，该几何体是一个横放的四棱锥ab= 1, cd= 2,高 bo 1,棱锥的高 po 1,体积 v= 1x 1x(1+2) x1 x1= 1. 322d4.(2011 广东省深圳巾高二调研)如图，在立体图形左视图p abcd其底面abc四直

5、角梯形，d- abc中，若 ab= cb ad= cd) e是ac的中点，则下列结论正确的是 （a.平面 abcl平面 abdb.平面abdl平面bdcc.平面abcl平面bde且平面 adcl平面bded.平面abcl平面 adc且平面 adcl平面bde答案c解析 要判断两个平面的垂直关系，就需找一个平面内的一条直线与另一个平面垂直.因为 ab= cb且e是ac的中点，所以 bex ac同理有 del ac于是acl平面bde因为 ac在平面 abcft,所以平面 abcl平面bde又由于 ac?平面acd所以平面 acd_平面bde 所以选c.5 .定点a和b都在平面 a内，定点p?a

6、, pbl a , c是a内异于a和b的动点，且 pc lac那么，动点c在平面a内的轨迹是（）a. 一条线段，但要去掉两个点b. 一个圆，但要去掉两个点c. 一个椭圆，但要去掉两个点d.半圆，但要去掉两个点答案b解析连接 bc .pbl a , . .ac pb又. pc acacl bc. c在以ab为直径的圆上.故选 b.6 .（文）（2011 广东广州一模）已知1、m是不同的两条直线，“、3是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是 （）a.若 1 _l a , a _l 3 ,贝u 1 / 38 .若 1 / a , a，3 ,则 1 / 3c.若 1，m, a/3,n? 3,则

7、1，ad.若 1，a, a/3,n? 3,则 1，m答案d解析（理）（2011 济宁三模）在正三棱柱 abg-abc中，若ab= 2, aa= 1,则点a到平面 abc的距离为（b.f答案解析解法1:取bc中点e,连接 ae ae,过点 a作afl ae,垂足为f. a1ax平面 abc a1a bc. ab= ac .-.ae bc，bcl 平面 aeabcl af,又 af ae,af，平面 abc，af的长即为所求点 a到平面abc的距离. aa=1, ae= 313,af=乎.113解法 2： va abc=、$ abc-8=3x3*1 =事又 ab= ac=乖,在abe中，ae= a

8、b2 be =2. 1 .$ abc= 2*2x2= 2.-1 一 八 2:na-abc= gxsaabc h=h.，h=，h= .，点a到平面 abc距离为.mc平面abcd7 .如图，在直四棱柱 abcdabcd中，/ ad仔90 ,且aa=ad= dc= 2当dm1平面 acd时，dm=答案22解析da= dc= aa=dd且da dc dd两两垂直，故当点 m使四边形 adc场正方形 时，dm1平面 aicid, . dm= 2 2.8 .如图所示，在四棱锥 p abc阴，pal底面abcd且底面各边都相等，m是pc上的一动点，当点m满足 时，平面mbd_平面pcq只要填写一个你认为是

9、正确的条件即可)答案dml pq或bml pc等）（不唯一）解析连接ac :四边形abc西菱形，. acl bd,又pal平面abcdpal bd,又 acn pa= a,，bdl平面 pac. bdl pc当 dml pc或 bml pc等）时，即有pc1平面mbd而pc?平面pcd平面 mbd_平面pcd卜列命9 .已知正方体 abcd-aibicid的棱长为1, e、f、g分别是 ab bc bg的中点. 题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；p在直线fg上运动时，api deq在直线bc上运动时，三棱锥 a- dqc的体

10、积不变；m是正方体的面 aibgd内到点d和c距离相等的点，则 m点的轨迹是一条线段. 答案解析三棱锥 a abc勺四个面都是 rta,故错；p在fg上运动时，pf，平面abcdpf du 又在正方体 abc冲，e、f 为 ab bc中点，af, de，de平面 paf /. del pa 故真；va- dqc= vq- adc, . b(c/ ad, . . bc/平面 adc, .无论点 q在 bc上怎 样运动，q到平面adc距离都相等，故真；到点d和g距离相等的点在经过线段 gd的中点 与dc垂直的平面”上，故点m为平面a与正方体的面 abcd相交线段上的点，这条线段 即aq.10 .

11、(2012 北京东城二模)如图，矩形 amn所在的平面与直角梯形 mbcnf在的平面互 相垂直，mb/ nc mnl mb求证：平面amb/平面dnc(2)若 mcl cb 求证 bcl ac证明(1)因为mb/nc mb平面dnc nc?平面dnc所以mb/平面dnc因为四边形amn偎矩形，所以ma/ dn又ma?平面dnc dn?平面dnc所以ma/平面dnc又 mao mb= m 且 ma mb 平面 ame?所以平面am日平面dnc（2）因为四边形 amn典矩形，所以 aml mn因为平面 amnd平面 mbcn且平面 amnd平面 mbcn mn所以aml平面 mbcn因为bc?平面

12、mbcn所以aml bc因为mcl bc m（p am= m 所以bcl平面 amc因为ac?平面amc所以bdac能力拓展提升11 .（文）（2012 广东深圳一调）如图，三棱柱 abc- aibg中，aa，平面abc aia= ab= 2, bc= 1, ac= g 若规定正（主）视方向垂直平面 accai,则此三棱柱的侧（左）视图的面积为()c. 4答案a解析b. 2 5d. 2a1过b作beeac垂足为e，平面bbe交ac于e,则bt,由题意根据三视图的规则知，几何体的侧视图表示长为 2g,宽为2的矩形，所以几何体的侧视图的面积为 s=坐x2 55455,故选a.（理）如图，在棱长均为

13、 1的三棱锥s- abc, e为棱sa的中点，f为 abc勺中心，则直线ef与平面abc所成角的正切值是（）b. 1a. 2 2c. 2答案c解析二下为正三棱锥底面中心， sf，平面abc 平面safl平面abc / efajef与平面abc/f成的角，易知 ae= ! af=净,又ef=sa= 1, 2322cosz fae=a=+a=ef _32af - aesin / faee= 11 cos2a=专，. . tan / fae=卷由于r2saf中e为sa的中点，/ fae= / efa 故 tan / efa=业12 .（文）（2012 安徽理，6）设平面e与平面3相交于直线 m直线a

14、在平面“内，直 线b在平面3内，且bmj则“ a，3 ”是“ a，b”的（）a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件答案a解析 : a n 3 = mi b? 3 , a 3 , b my b b a ,又,a? a ,，ba.当a? a , a/m时，: bx rn b bx a,而此时平面 a与平面3不 一定垂直，故选a.（理）过正方形 abc出顶点a作pal平面abcd若pa= ar则平面 abp与平面cdpw成 二面角的度数为（）a. 30b. 45c. 60d. 90答案b解析过p作直线l /ab,则l为二面角的棱，易证/ apd为所求. ap=

15、ad, / pa氏 90 , / apd= 45 .13 . （2012 山西联考）已知四棱锥 p- abcd勺顶点者b在球 o的球面上，底面abcdi矩形， 平面padl底面abcd pam正三角形，ab= 2ad= 4,则球 o的表面积为 .64答案不兀3解析 过p作pe/zab交球面于 e,连接be ce贝u be/ ap, ce/dp三棱柱 apd- bec正三棱柱，球 o 的半径 r= 22+233 = -43,答案解析b如图，d e为 ab bc的中点，de/ac,.act pde ac/ t pde取ac中点m则由正三棱锥知，pml ac bml ac . . acl平面 pbm

16、. acl pb;ac/ de, del bm bml de故ab与口日垂直,从而 ab!t pde错误.15.如图，已知 abl平面acd de/ ab, ac*正三角形，iad= de= 2ab 且 f是 cd的2 64球o的表面积s= 4兀r = .314.在正三棱锥 p abc中，d e分别是ab bc的中点，有下列三个论断： acl pb ac/平面pdeabl平面pde其中正确论断的序号为 .中占i 八、e(1)求证：af/平面bce(2)求证：平面bcel平面cde证明(1)取ce的中点p,连接fr bp, .f为cd的中点，,-1 .fp/ de,且 fp= de1又 ab/

17、de 且 ab= 2de .ab/ fp,且 ab= fr，四边形abpf%;平行四边形，af/ bp又af?平面bce bp?平面bce .af/ 平面 bce(2) .acm正三角形，aflcd. ab,平面 acd de/ar . del平面 acd又 af?平面 acddel af又 ah cd cm de= d,，af，平面 cde又 bp/ af,bp,平面 cde又bp?平面bce 平面bcia平面cde16.（文）（2011 北京模拟）如图，正方形 adef与梯形abcd/f在的平面互相垂直，adlcd abi/ cd ab= ad= 2, cd= 4, m为 ce的中点.(1

18、)求证：bm/平面adef(2)求证：平面 bdel平面bec证明(1)证明：延长 da与cb相交于p,. ab= ad= 2, cd= 4, ab/ cd，b为 pc的中点， 又m为ce的中点，bm/ er bm?平面 adef ep?平面 adefbm/ 平面 adef(2)证明：由 知，bc= 1pc= 2jpd+ cd= 2y2, 又 bd= rd+ ab = 2小,. bd+bc= cd, . bdl bc又平面adef平面abcd ed! ad. edl平面 abcd edl bcem bd= d,bc1平面 bde又bc?平面bec 平面 bdel平面bec(理)(2012 北京

19、文，16)如图1,在rtabc中，/ c= 90 , d e分别为 ac ab的中 点，点f为线段cd上的一点，将 adegdew起到 a1de的位置，使 aflcd如图2.(1)求证：de/平面acb(2)求证：afxbe;(3)线段ab上是否存在点 q使ac，平面deq说明理由.分析(1)利用线面平行判定定理证明(关键证明de/ bc.由线面垂直判定定理证得 del平面del ad,del aq,(2)由平面图形知折叠后，del cddel cdacd 贝u del af,又由 afcd 易证得 af，平面 bcde 贝u a1fxbe(3)采取先找再证的办法处理.由da= dc联想到等腰

20、三角形底边上的中线是底面边上的高，可取ac中点，再由“中点找中点”原则取 ab中点q,证明ac，平面deq利用(2)中的 del平面adc这一z论).解析(1)证明：因为 h e分别为ac ab的中点，所以de/ bc又因为d巴平面acb所以de/平面acb(2)证明：由已知得 acl bc且de/ bc所以 del ac 所以 del ad, del cd所以del平面adc而a1f?平面adc所以del af.又因为af cd所以af，平面bcde所以afxbe（3）线段ab上存在点 q,使ac，平面deq理由如下：如图，分别取 ac、ab的中点p、q 则pqi bc又因为de/ bc所以

21、de/ pq所以平面deqp为平面dep由（2）知，del平面adc所以del ac又因为p是等腰直角三角形 dac底边ac的中点，所以ac dp所以ac，平面dep从而ac，平面deq故线段ab上存在点q使得ac，平面deq点评1.本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，性质定理，折叠问题，存在性 问题等.2.对于折叠问题，关键是看清折叠前后各量的变化与不变（包括长度、角度、位置关系等），对于存在性问题，一般采取先找再证（取特例）的办法解决.备选题库1 . （2011 广东省广州市高三年级调研测试）如图，在四棱锥 p- abcdk平面padl平面 abcd ab/ dc pad等边三角形，已

22、知 bd- 2ad- 4, ab= 2dc= 2v5.求证：bdl平面pad(2)求三棱锥a pcd勺体积.bd解析(1)证明：在 abm,由于 ad= 2, bd= 4, ab= 2y5,ad+ bd=a百.又平面padl平面abcd平面pad?平面 abc呼add bd?平面abcd，bdl平面，adlpad(2)过p作pol ad交ad于o又平面padl平面 abcd pcl平面 abcd,pad边长为2的等边三角形，po=，3.由知，adl bd 在 rtaabd,人一 上,adx bd 4 5斜边ab边上的图为h=b- = 士.114 5. ab/ dc . - saac= 2cdk

23、 h = 2x5x5-=2.va-pcd= vp-acd= sk acd* po=x 2 x332.(2012 河南豫东、豫北十所名校联考)如图所示的七面体是由三棱台abg- abc和四棱锥d aacc对接而成，四边形 abco边长为2的正方形，bb，平面 abcd bb=2ab=2. 求证：平面 aacc，平面bbd(2)求二面角 a ai d c的余弦值.解析因为bb，平面abcdt abc虚边长为2的正方形，所以以 b为原点建立如图所示的空间直角坐标系b- xyz,则有a(2,0,0),b(0,0,0),c(0,2,0),以2,2,0),ai(1,0,2),b(0,0,2) , c(0,

24、1,2). 证明：. bb ac= (0,0,2)(2,2,0) =0,bd- ac= (2,2,0) ( - 2,2,0) =0, , , _ , , _ .bbmc bdlag . . bbag bdlacbb与db是平面bbd内的两条相交直线. acl平面 bbd,又ac?平面aacc, 平面 aacc，平面bbd.(2)aa=( 1,0,2) , ad= (0,2,0) , a1g =(1,1,0)设n = (xi, yi, zi)为平面a ad的一个法向量,则 n aa= xi+2zi= 0,n ad= 2yi = 0,于是yi= 0,取zi=1,则xi=2, n= (2,0,1).

25、设 m= ac=- x2+y2=0mr ad= x2+ 2y2 2z2= 0可得 3y2=2z2,取 z2=3, 则 x2=y2=2,mf (2,2,3).mr n cos (m n =-=|m|n| 邓 乂近7由图知二面角 a- aid- c为钝角，所以其余弦值为一7 ：8585 .3. (2012 石家庄市一模)四棱锥a- bcde勺正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯 形.俯视图(1)若正视图是等边三角形，f为ac的中点，当点 m在ad上移动时，是否总有 bfcm请说明理由；(2)若ab= ac平面abc1平面ade/f成的锐二面角为 45。，求直线 ad与平面ab即成 角的正弦值.解

26、析(1)总有bf cm理由如下：法一：取bc的中点q连接ao由俯视图可知，aol平面bcde cd?平面bcde所以aol cd又cdl bc所以cdl平面abc故cdh bf因为 abc为正三角形，f是ac的中点，所以bf ac又 acn cd= d,故 bf，平面 acd因为cm?平面acd所以bfcm法二：取bc的中点o,连接ao由俯视图可知，aol平面bcde取de中点h,连接ohohl bc以oc oh oa分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 o- xyz.则 a(0,0 ,m)，r1,0,0) , qi,0,0) , d(1,2,0),可求得 f(2, 0,斗),设点m的横坐标为x,可求得点m(x, 2x, 73(1 x)则bf=(2, 0,坐)，cu (x-1,2x, v3(1 -x),bf-