运筹学习题解答(chap2)(一)(一)解析

1、第二章对偶问题与灵敏度分析一、写出下列线性规划的对偶问题1、p89,2.1(a)minz 2x1 2x2 4x3s.tx1 3x2 4x2x1 x2 3xx1 4x2 3x2；3；5；xl,x20, x3无约束.解：原模型可化为minz 2x12x24x3x1 3x24x3-2x1 - x2 - 3x3 s.tx1 4x2 3x32；-3；5；yiy2y3x1,x2 0, *3无约束.于是对偶模型为max w 2 yl 3y2 5y3y1 2y2 y32;3y1 y2 4y32;s.t4yi 3 y2 3 y34;yi,y20)3无约束.2、p89,2.1(b)max z 5x1 6x2 3x

2、3x1 2x2 2x35;s.txi5x2x33；4x1 7x2 3x38;x1无约束，x2 0,x30.解：令x3x30原模型可化为max z 5x1 6x2 3x3于是对偶模型为s.tx1 2x2 - 2x35;xi - 5x2 - x3-3;4x1 7x2 -3x38;x1无约束,x20,x3y1y2y30.y1 y2 4y35;2y1 5y2 7y3 6;或2y1 y23y33;y1 无约束，y2,y30.min w 5y1 3y2 8y3y1 y2 4y35;2y1 5y2 7y36;s.t2y1y2 3y33;y1 无约束，y2,y30.二、灵敏度分析1、p92, 2.11线性规划

3、问题max z 3x1 x24x1 x27;s.t5x1 2x2 10x1,x2 0最优单纯形表如下cj3100cbxbbx1x2x3x43x14/3102/3-1/31x25/301-5/34/3j00-1/3-1/3试用灵敏度分析的方法，分析：(1)目标函数中的系数c1,c2分别在什么范围内变化，最优解不变？(2)约束条件右端常数项b1,b2分别在什么范围内变化，最优基保持不变?解：(1) c1的分析：要使得最优解不变，则需cici5所以：2 ci4时可保持最优解不变c2的分析：要使得最优解不变，则需c c 25 c3 0 3 c2033即144 0 3c2033所以：3 c2 6时可保持

4、最优解不变 45(2)”的分析：要使得最优基保持不变，则需12/3-1/3 b1b 1b15/3 4/3 102bl -1035b1 4032b1-10 八 035bl 40 -103th 5b 8所以：5 b1 8时可保持最优基不变b2的分析：要使得最优基保持不变，则需b 1b2/35/314他-1/3 7丁4/3 b235 4b23即所以:14-b2335 4b2b2b1143535b214时可保持最优基不变4342、p92, 2.12已知线性规划问题max z 2x1x2x3xi x2 x3x1 2x2xl,x2,x30在讨论下列问题:先用单纯形法求最优解,目标函数中变量x1,x2,x3

5、的系数在什么范围内变化，最优解不变?(2)两个约束的右端项分别在什么范围内变化，最优基不变?增加一个新的约束 x1 2x2 2,寻找新的最优解。解：化标准型:x1 x2 x3 x46x1 2x2x5 4xi 0列表求解：cj2-1100c bxbbx1x2x3x4x50x461111100x54-12001j2-11002x16111100x51003111j0-4-2-30已得最优解x1 6,x5 10,其余变量均为0.(1) c1的分析：要使最优解不变，必须c111 ci01 ci00 g 0c2的分析：要使最优解不变，必须2 c2 2 0c2 2c3的分析：要使最优解不变，必须3 c3

6、2 0c3 2(2) bi的分析：要使得最优基不变，则需b 1bb10bib1 4b2的分析：要使得最优基不变，则需b 1b1 0 61 1 1blb163、p92, 2.13已知线性规划问题max z 3x1 2x2x1 2 x262x1 x2 8s.t.-x1 x2 1x2 2x1,x2 0用单纯形法求解得最终单纯形表如下cj320000cbxbbxx2x3x4x5x62x24/3012/3-1/3003x110/310-1/32/3000x5300-11100x62/300-2/31/301j00-1/3-4/300试用灵敏度分析的方法，分析:(1)目标函数中的系数cl,c2在什么范围内

7、变化，最优解不变？(2)约束条件右端常数项b3,b4在什么范围内变化，最优基保持不变？(3)增加变量x7,其在目标中的系数c7 4,p7 (1,2,3,2)t,重新确定最优解;(4)增加一个新的约束xi 3,重新确定最优解。解：(1) ci的分析：要使得最优解不变，则需1c14c14c11c2的分析：要使得最优解不变，则需2一 c23 2c223c26c262(2) b3的分析：要使得最优基不变，则需b 1b3312331121331 0 b3431032 b323b32b4的分析：要使得最优基不变，则需10(3)p7增加变量x7到最终表中,b4b4p70,故需继续迭代找到新的最优解，详见下表

8、:cj3200004cbxbbx1x2x3x4x5x6x72x24/3012/3-1/30003x110/310-1/32/30010x5300-111040x62/300-2/31/301j00-1/3-4/30012x24/3012/3-1/30003x131001/20-1/200x55/3001/31/31-204x71/300-1/31/601/21j000-3/20-1/20 451所有的j 0,故得新的最优解xi 3, x2 -,x5 5,x7 -o 333(4)由于原解不满足xi 3,故不是可行解。将新约束化为等式约束，即x1 x73将新约束加到原表中，列表用对偶单纯形法重新计

9、算cj3200004cbxbbx1x2x3x4x5x6x72x24/3012/3-1/30003x110/310-1/32/30000x5300-111000x62/300-2/31/30100x731000001j00-1/3-4/30002x24/3012/3-1/30003x110/310-1/32/30000x5300-111000x62/300-2/31/30100x7-1/3001/3-2/3001j00-1/3-4/30002x23/2011/2000-1/23x1310000010x55/200-1/20103/20x61/200-1/20011/20x71/200-1/210

10、0-3/2j00-1000-23511由上表知新的取优解x1 3, x2 ,x5 -,x6,x722223、p94, 2.16某厂生产a、b、c三种产品，其所需劳动力、材料等等数据见下 表。要求：消耗定额产品可用量abc资源力动力(h)635450材料(kg)3 14530产品利润(元/件)301040(1)确定获利最大的产品生产计划；(2)产品a的利润在什么范围内变化时，上述最有计划不需改变？(3)如果设计一种新产品d,单件劳动力消耗为8h,材料消耗为2kg,每件获 利30元，问该种产品是否值得生产？(4)如果原材料数量不增，劳动力不足时可从市场雇佣，费用为 1.8元/h,问 该厂要不要雇佣

11、扩大生产？以雇佣多少为宜？解：(1)设a、b、c三种产品各生产x1,x2,x3件，建立模型如下:max z 30x1 10x2 40x3劳动力约束材料约束6x1 3x2 5x3 450;s.t3x1 4x2 5x3 30;xi,x2,x3 0;求解该模型，得最优解x1 10,x2 0, x3 0,最大利润300元。最终表如下:30104000cbxbbx1x2x3x4x50x43900-5-51-230x11014/35/301/3j0-30-100-10设a产品的利润为a,则要使得最优计划不变，需15c12c1 24c1 24c1 042 10-ci0;3一5一3 40c10；4 3-1-5 0 ci0.6 3 1即a的利润高于24元时不需改变生产计戈上(3)设新产品d生产x6件，其资源消耗向量p6(8,2)t