同济大学大一-高等数学期末试题-(精确答案)

1、精品文档13欢在下载a.f (x, y)在p连续fy(x0, y)都存在，则 f (x, y)在p可微课程名称：高等数学试卷类别：a卷考试形式：闭卷考试时间：120 分钟适用层次：适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。a.二、填空题1 .设 x 2ylim f(x, y0)及 lim f(x0,y)都存在 d2 .若zlnxa.jxx0ln xy ln yc. ylnx ln ydxx3.设是圆柱面x2y,则dz等于(ln x .y ln yyln xymy “dyf (x,

2、 y, z)dxdydz2cos 1).ln x .b.i j11xln x y ln yd.2-dx2x及平面z 0, z).a.c.4.lim f (x, y)存在(x,y) (x0,y0)ln x y ln x dyy1所围成的区域，则22 d02 cosdr f (r cos ,rsin ,z)dzb. 2d02 cosrdr5.曲线3, 4)rdran(xn 1条件收敛zb.y2x(3(共15分，每小题10 f(rcos , rsin , z)dzd. 002cosxrdr01f (rcos01f (r cos,r sin,r sin,z)dz,z)dz1)n在x1处收敛，则此级数在

3、 x发散d.敛散性不能确定).22在点(1, 1 y-1 ， 4) c.3分)2xyz 0 ,则 zx (1,1)2)(-1处的一个切线方向向量为(0, 3)d.(3, 0,-1)课程名称：高等数学a (考试性质：期末统考(a卷)题号(型)一二三四核分人得分总分评卷人(共15分，每小题3分)1 .设函数f (x,y)在p(x0,y0)的两个偏导fx(x0,y)一、单 选题e ln x2 .交换i dx f （x, y）dy 的积分次序后，i .3 .设u 2xy z2,则u在点 m （2, 1,1）处的梯度为 .n4 .已知 ex土，则 xex.n o n!5 .函数z x3 y3 3x2 3

4、y2的极小值点是.三、解答题（共54分，每小题6-7分）1.（本小题满分 6分）设z y arctan,求 ,.x x y2.（本小题满分6分）求椭球面2x2 3y2 法线方程.2z 9的平行于平面2x 3y 2z 10的切平面方程，并求切点处的22r 1 r . 3 r3 .（本小题满分7分）求函数z x2 y2在点（1,2）处沿向量l i j方向的方向导数。224 .（本小题满分7分）将f（x）1 ,一展开成x 3的哥级数，并求收敛域。x5.（本小题满分7分）求由方程2x2 2y2z2 8yz z 8 0所确定的隐函数z z（x, y）的极值。6.（本小题满分7分）计算二重积分（x2dy2

5、)d ,d由曲线xq12y，y1，y1及x 2围成.7.（本小题满分7分）利用格林公式计算 : xy2dy x2 ydx ,其中l是圆周x2a2 （按逆时针方向）8.（本小题满分7分）计算 xydxdydz,其中 是由柱面x2y2 1及平面z 1,x qy 0所围成且在第卦限内的区域.四、综合题（共16分，每小题8分）1.（本小题满分8分）设级数un, vn都收敛，证明级数（unn 1 n 1n 1vn）2收敛。2 .f2.（本小题满分8分）设函数f（x, y）在r2内具有一阶连续偏导数，且一 2x,x证明曲线积分（t,1）2xydx（0,0）l 2xydx f (x, y)dy与路径无关.若

6、对任意的 t恒有(1,t)f (x,y)dy (00)2xydx f(x, y)dy,求 f(x, y)的表达式.一、单选题二、填空题（共（共1.-1 2.15分,15分,1 edy v0 ey每小题3分）:每小题3分）f (x, y)dx 3.三、解答题（共54分,每小题1 .解：xz_, y= arctan +2yyxyy(32.解:记切点(xo, yo, zo)1,1,2) (33.解:4.解:因为参考答案及评分标准1.c 2 d 3 c 4b 5 a2kn n 1(1) xn 0 n!5. (2,2)6-7 分)分）分).r则切平面的法向量为n分）,切平面：2x 3yf(1,2) (2

7、,4)f(x) 3n n(1) x分）(3 分),(x 3)2z 9or2（2%,3%,乙）满足:4分），2x03 y0法线方程分别为：切点为:(1, 1,2)或二2或者2分）-,(2),11,1),所以一31x 31t八n 1 ,x 3、n1)=(二)=33(1)nn 1(x3)n ,其中x 6.( 5 分)当x 0时,1 1发散；当x 6时，级数为0 3(1)nn 0n . 1 . n 1n1) (-)(x 3)(0, 6)，(7分)4x5.解：由1 2z 8y4(y 2z)0,得到x02z 0, ( 2分）2z 8y再代入2x2 2y2z2 8yz8 0,得到7z21,由此可知隐函数z（

8、x, y）的驻点为(0,16、2)与 (0,) 分）41 2z 8y在(0,2）点，z6.解：记d1 :(x2d7.(xy2)x8.1,因此8一,因此72 z2y2 z2x2z2 x1 2z 8y,可知在驻点(0,2)与(0,16)有 h70。( 5 分)d2 :y2)d(x di所围区4_1515,1 y1 yy2)d02(x(x2y)2-)dxdy = (x解：如图xydxdydz所以（0, 2）为极小值点，极小值为 z0 ,所以（0,）为极大值点，极大值为(x2d2)dd1 d2. (2 分)1；(6分)分）)dxr3dr203(7分)xy2dyyd xy2)dxdy=2 ttd0rd

9、r4.(7 分)0 z 1,选取柱面坐标系计算冗2r 1,0dz ：rc0srsin rdr ( 4 分)一 二 4,-1 . o .1 3 ./ cos2 2 r 1.=2sin 2 d n r dr =( ) .(7 分)0 2044 08四、综合题(共16分，每小题8分)1.证明：因为 lim un 0,limvn 0, (2 分)nn方便，此时2222 ,故存在n,当n n时，(/ vn)un vn 2/vn 3%,因此 伍vj收敛。(8分)n 12.证明：因为一l 2x,且(2xy)xy2x,故曲线积分l 2xydx f (x, y)dy与路径无关.(4分)因此设f (x,y) x2 g(y),从而(t,i)(0,0) 2xydx f(x, y)dyt1cc 100dx 0t g(y)dy t 0