APOS理论指导下的映射概念教学探究

1、APOS理论指导下的映射概念教学探究概念是人们对客观事物在感性认识的基础上经过比较、分 析、综合、概括、判断、抽象等一系列思维活动，逐步认识到它 的本质属性以后才形成的。 概念是思维的基本单位， 理解概念是 一切数学活动的基础，概念混淆不清就无法进行其他数学活动。 然而受应试教育的影响， 概念的教学往往易被忽视， 许多教师认 为：概念就是一种规定，让学生记住是主要的，“填鸭式”教学 和“启发式”教学没什么区别，讲与不讲效果也差不多。因此， “一个定义， 几项注意”式的概念教学方式比比皆是， 在高中数 学教学实际中表现得更为突出。一、什么是APO9理论任何一个数学教育中的理论或模型都应该致力于对

2、“学生 是如何学数学的”及“什么样的教学计划可以帮助这种学习” 的理解，而不仅仅是陈述一些事实。 1 基于这样的考虑， 1991 年美国数学家、教育家杜宾斯基等人提出了 APOSI论：APO盼 别是由英文 action （操作）、 process （过程）、 object （对象） 和scheme （图示）的第一个字母所组合而成。这种理论认为， 在数学学习中， 如果引导个体经过思维的操作、 过程和对象等几 个阶段后，个体一般就能在建构、 反思的基础上把它们组成图式， 从而理清问题情景、顺利解决问题。 2APOS 理论被引入到我国 的数学教育界， 是为数不多的依据数学学科特点而建立的教学理论。与

3、传统的数学概念相比较，APOS理论教学更能体现“学生主体，教师主导”的建构主义理念，更符合学生的认知特点。1. 第一阶段 操作（或活动）（action ）阶段数学来源于实际， 并应用于实际。 而数学教学活动就是将实 际问题抽象概括为理论问题， 并给予科学的定义即数学概念， 同 时应用于研究和实际。 为更好地理解这些数学概念需要还原操作 或活动，要像数学家一样亲自投入，通过实践活动来获得知识， 如果没有这些物理的操作和心理的活动， 数学概念将成为无源之 水、无本之木。这些操作和活动过程蕴含了数学概念的本质特征， 教师通过创设问题情境， 让学生进行实际体验， 与已获得的知识 进行联系和比较，引发学

4、生的思考，引起思维和认知冲突，这样 便使学生获得了对问题的初步认识。 因此这一阶段的学习实质上 是数学概念过程化。2. 第二阶段 过程（process ）阶段在此阶段杜宾斯基认为学生需要掌握一种特殊的能力： 内化 和压缩。 所谓内化和压缩可以理解为吸收和消化。 在经历了第一 阶段的操作和活动后， 归纳总结这些活动的共同属性， 在头脑中 进行描述和反思， 就会形成一种“程序”。 此阶段中学生将具体 问题抽象化，形成抽象思维，抽象出概念所特有的性质。例如， 学生通过计算认识到函数 y=x3只不过是给定一个不同的 x值就 会得出相应的 y 值，进而理解了函数就是变量 x 和 y 之间的一种 对应关系

5、，这样学生就已经完成了这种阶段过程模式的建构。3. 第三阶段对象（object ）阶段当概念发展到此阶段时， 教师要引导学生对“过程”阶段所 得出的各种属性进一步总结提炼， 使概念的本质属性形成一个整 体，进一步对概念进行严格定义，并进行数学符号化表示。 3 这样“过程”便凝聚成了“对象”。 “对象阶段”使过程更加细 致化， 并将其作为一个新的独立对象进行新的教学活动，通过其引导学生对概念进行进一步的界定，形成规范、准确、简练的概 念定义。例如，将函数的“过程”压缩为一个“整体”，形成函 数的“对象”， 从而明确函数是什么样的对应关系， 形成更加抽 象的函数概念。4. 第四阶段图式（schem

6、e）阶段作为对象的数学概念， 是学生整个认知结构的一个节点， 它 需要与结构中其他知识节点构成的知识网络逐渐建立联系， 形成 新的知识网络，即学生将“对象”与他原有的相关图式进行整 合，产生新的图式结构，从而应用到数学实际中去。这样通过持 续的建构， 学生的思维认知水平上升到更高的层次， 对数学概念 的理解和认知进一步深化。例如，函数概念形成“对象”后，结 合集合、一次函数、二次函数等形成新的知识板块，明确了定义 域、值域、对应法则的定义和函数符号的意义。在此基础上函数 与方程、数列、导数等相关知识可形成一个庞大的知识网络，构 成了广阔的应用背景。APOSI论是一种建构主义的学习理论，它揭示出

7、数学概念的学习是循序渐进的建构过程。 它让学生既体验了概念形成的过 程，又通过对象建构了的新心理图式；既重视概念学习的特点， 又关注了概念之间的逻辑体系。APOS理论解释了数学概念学习的本质，是具有数学学科特色的学习理论。二、“映射”教学设计为例来探讨 APOS理论的应用1. 活动阶段 教师在简单的复习引入之后，提出以下问题： 问题1:判断下列对应关系f是否从集合A到B的函数，并 说明理由。A=x|x是某高校高一年级学生 , B=N f : xx的年龄;A=x|x是三角形 ,B=y|y是圆 ,f : xx的外接圆；A=x|x 0 , 1, 2 , B=N f : x-x 的元素个数。学生动手操

8、作，然后回答。根据函数定义，由于三小题中集合 A 或集合 B 不是非空数集，故都不是函数。2. 过程阶段问题2:问题1中对应关系都不是从集合 A到B的函数，但 在解决过程中有没有发现什么异同之处？学生发现它们不是函数的原因是 A或B不是数集。在教师适 当引导下，进一步发现满足函数定义中的“集合 A中任何一 个元素在集合B中有且仅有一个元素与之对应”条件在中不 满足。至此，映射概念的本质属性得以凸显。3. 对象阶段问题3:上述中的对应关系就是我们今天要学习的问题:映射。你能叙述映射的定义吗？ 学生尝试给映射下定义，教师适时纠正、补充，板书定义。4. 图式阶段问题4:判断下列对应关系f是否从集合A到B的映射，并 说明理由。A=B=N f : Xy=|x -1| :A=x|x 是某一元二次函数, B=x|x 是数集 ，f : xx的值域；A=x|x是圆, B=y|y是三角形,f : xx的内接三角形；A=x|x是四边形, B=y|y是圆,f : xx的外接圆。师生共同讨论，举例从集合A到B的对应关系并说明是否映 射，深化对映射概念的理解。问题5:映射和函数之间有何区别和联系？已知集合A=B=a， b， c ，则满足对任意x A都有ff (x) =x的映射f ： AB有 多少个？此问旨在