含参不等式的解法

1、不等式(3)-含参不等式的解法 当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方 面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型(即是那一种不等式)的影响，其次是字母对这个不等式的 解的大小的影响。 我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式 的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。 (一)几类常见的含参数不等式 一、含参数的一元二次不等式的解法： 例1:解关于的x不等式(m - 1)x? -4x 1辽0(m ：= R) 分析：当m+1=0时,它是一个关于 x的一元一次不等式；当

2、m+1 = 1时，还需对 m+10及m+10来分类 讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：当m0，图象开口向下， 与x轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。当一 1m0,图象开口向上，与 x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。当m=3时，=4 (3 m) =0，图象开口向上，与 x轴只有一 个公共点，不等式的解为方程 4x? -4x=0的根。当m3时，=4 ( 3 m) 0,图象开口向上全部在 x 轴的上方，不等式的解集为.。 11 解：当m=1时,原不等式的解集为x|x_; I4j 当 m-1 时,(m *1)x2 -4x，1 二 0的判别式.：=4(3 m); 贝V当 mc1

3、时，原不等式的解集为 丿x | x Z 23 _m 或x兰2+丫3_口卜 m+1m+1 当-1 wm m+1m+1 当m=3时，原不等式的解集为 $x | X = 1； 当m3时，原不等式的解集为.一。 小结：解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。 利用函数图象必须明确：图象开口方向，判别式确定解的存在范围，两根大小。二次项的取值(如 取0、取正值、取负值)对不等式实际解的影响。 牛刀小试：解关于 x的不等式ax2 -2(a 1)x 4 0,(a 0) 思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完 成。

4、二、含参数的分式不等式的解法： 例2：解关于x的不等式 :X T0 x 一 x -2 分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax 1中的a进行分类讨论求解，还需用到序 轴标根法。 解：原不等式等价于(ax -1)(2)(x 1)0 当a=0时，原不等式等价于(x -2)(x 1) ： 0 解得-1 ： x ： 2，此时原不等式得解集为x| -1 ： x ： 2； 1 当a0时,原不等式等价于(x_丄)(x_2)(x J) .0, a 则：当a =-时，原不等式的解集为Cx|x . -1且x=2?; 2 当0或 a 一1 ：x ：2 当a丄时，原不等式的解集为 2 1 、 x | -

5、1 ： x 或 x 2 a 第2页(共5页) 1 当a0时，原不等式等价于(x_丄)(x_2)(x 1) ：0 , a 则当a = -1时，原不等式的解集为 *|x ：2且x = -V; 当-仁a 0时，原不等式的解集为 x|x ：或-仁：x ：2 ； 当a c1时，原不等式的解集为xlxC或丄cx1和a1分为两类，再在a1 的情况下，又要按两根 厂2与2的大小关系分为a : 0,a二0和0 a 1三种情况。有很多同学找不到分类 a 1 的依据，缺乏分类讨论的意识，通过练习可能会有所启示。具体解答请同学们自己完成。 三、含参数的绝对值不等式的解法： 例3：解关于x的不等式|ax-2|_bx,(

6、a 0,b 0) 分析：解绝对值不等式的思路是去掉绝对值符号，本题要用到同解变形 |f(x)|丄g(x) f (x) g(x)或f(x)亠g(x)，首先将原不等式化为不含绝对值符号的不等式，然后就a、b两 个参数间的大小关系分类讨论求解。 解：|ax-2|丄bx= ax-2_-bx或ax-2_bx= (a b)x2或(a-b)x_2 当a b 0时, (a b)x_2或(a-b)x_2= x - 此时原不等式的解集为 *x| x 兰 2 2 或x _亠 a b a -b 2 当 a =b - 0时，由(a b)x _2得x _ ,而(a - b)x 亠 2无解， a +b 此时原不等式的解集为

7、 2 a b 当 0 : a : b时，(a b)x 岂 2或(a - b)x _ 2 ：= x或x a +b 2 x a -b 此时此时原不等式的解集为 x|xV 综上所述，当a b 0时，原不等式的解集为 2 ；当b _ a . 0时，原不等式的解 x*2- a +b 小结：去掉绝对值符号的方法有定义法: a (a _0) |a|=*Q)平万法：| f(x)|g(x)|= 第5页（共5页） 22 f (x) 2log2 x + p恒成立，求实数x的取值范围。 例10 : 对于（0, 3） 上的一切实数x,不等式（x-2m：2x-1恒成立，求实数 m的取值范围。 分析： 一般的思路是求 x的表达式，利用条件求 m的取值范围。但求 x的表达式时，两边必须除以有 关m的式子，涉及对 m讨论，显得麻烦。 五、数形结合法 / 1 例11：若不等式3x? -Iogaxc0在x壬0, i内恒成立，求实数 a的取值范围。 3丿 六、构建函数、猜想、归纳、证明等其他方法 8、这个世界并