2019湖南省11地市中考数学7大专题分类解析汇编专题5——四边形

1、2019湖南省11地市中考数学7大专题分类解析汇编专题5四边形一、选择题1. （ 2019湖南张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45后得到正方形 OACi，依此方式，绕点 O连续旋转2019次得到正方形B. (1, 0)A.C.（-；,-一）D . ( 0,- 1)13 / 15【答案】A.【解析】解：四边形OABC是正方形，且 OA= 1, 将正方形OABC绕点),A2 (1 , 0) , A3 (O逆时针旋转45后得到正方形 OA1B1C1 ,2发现是8次一循环，所以2019- 8= 252余3 ,，-点A2019的坐标为（二、填空题2.（ 201

2、9湖南娄底）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）.【解析】解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形；故添加条件：/ABC=90或AC=BD .故答案为：/ ABC=90或AC=BD .3.（2019湖南娄底）如图，平行四边形 ABCD的对角线 AC、BD交于点 0,点E是AD 的中点，ABCD的周长为 18,则ADE0 的周长是 .【答案】9.【解析】解：E为AD中点，四边形 ABCD是平行四边形, DE =111AD =BC, D0 = BD, AO=CO ,222 0E =1CD ,2/ BCD的周长为 18

3、, BD + DC+B=18 ,11 DEO 的周长是 DE+OE+DO = ( BC+DC + BD) = X18=922故答案为：9.4. （ 2019湖南邵阳）公元 3世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了“赵爽弦图”.如图，设勾a=6，弦c=10，则小正方形 ABCD的面积是/_21/【答案】4.【解析】解：勾 a= 6，弦c = 10,股=/心_护=8,小正方形的边长=8 - 6 = 2, 小正方形的面积=22 = 4.故答案是：4.5. （2019湖南张家界）如图：正方形ABCD的边长为1,点E, F分别为BC, CD边的中点,【答案】2.【解析】解：连接AF ,/ E,

4、F分别是正方形 ABCD边BC, CD的中点, CF = BE,DF厶在厶ABE和厶BCF中，AR=BC Rt ABE也 Rt BCF ( SAS), / BAE = Z CBF ,又/ BAE+ / BEA = 90 , / CBF + Z BEA= 90 , / BPE = Z APF = 90 ,/ ADF = 90 , / ADF + Z APF = 180 , A、P、F、D四点共圆， Z AFD = Z APD ,An tanZ APD = tanZ AFD = .= 2 ,DF故答案为：2.6. （ 2019湖南常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边

5、形为广义菱形.根据规定判断下面四个结论： 正方形和菱形都是广义菱形； 平行四边 形是广义菱形；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；若M、N的坐标分别为（0, 1）, （0, - 1） , P是二次函数丫=丄x2的图象上在第一象限内的任意一4点，PQ垂直直线y=- 1于点Q,则四边形PMNQ是广义菱形.其中正确的是 .（填序号）【答案】.【解析】解：根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，正确； 平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，错误； 由给出条件无法得到一组对边平行，错误； 设点 P （m,寺m2）,则 Q （m,- 1）,二MP1）匸 片口

6、5 |, PQ=*m2+1，.点P在第一象限，/ m 0, MP =丄-+1 , MP = PQ,又 MN / PQ ,四边形PMNQ是广义菱形.正确；故答案为.三、解答题7. （ 2019湖南郴州）如图，平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接 CE并延长 交BA的延长线于点F，连接AC, DF .求证：四边形 ACDF是平行四边形.【解析】解：四边形 ABCD是平行四边形， AB / CD ,/ FAE =Z CDE ,T E是AD的中点， AE = DE ,又/ FEA = Z CED , FAE CDE （ASA）, CD = FA,又 CD / AF ,四边形ACDF是平行四边

7、形.& （2019湖南岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE = DF , 求证：/ 1=7 2.【答案】见解析.【解析】证明：四边形 ABCD是菱形, AD = CD ,rAE=CD在厶ADF和厶CDE中，* ZXND ,:DP=EE ADF CDE ( SAS), 7 1 = 7 2.9. （ 2019湖南怀化）已知：如图，在 ?ABCD中，AE丄BC, CF丄AD, E, F分别为垂足.(1) 求证： ABE S CDF ;(2) 求证：四边形AECF是矩形.【解析】(1)证明：四边形 ABCD是平行四边形,/ B=Z D, AB = CD , AD / B

8、C,/ AE 丄 BC, CF 丄 AD ,/ AEB = Z AEC=Z CFD = Z AFC = 90,:ZB=ZD在 ABE 和 CDF 中，* Z艇BNCFD , ;AB=CD ABE S CDF (AAS);(2) 证明：T AD / BC,/ EAF = Z AEB= 90,/ EAF = Z AEC=Z AFC = 90,四边形AECF是矩形.10. (2019湖南湘西州)如图，在正方形ABCD中，点E, F分别在边CD , AD上，且AF=CE .(1)求证： ABF S CBE;BEDF的面积.【解答】解：(1)在 ABF和 CBE中fAb=BCat二CE ABF CBE

9、(SAS);(2)由已知可得正方形 ABCD面积为16,1 ABF 面积= CBE 面积=X 4X 1 = 2.2所以四边形BEDF的面积为16 - 2X 2= 12.11. (2019湖南张家界)如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线 AC,延长AB至点E,使BE = AB ,连接DE，分别交BC, AC交于点F, G .(1) 求证：BF = CF ;【解析】(1)证明：四边形 ABCD是平行四边形, AD / CD , AD = BC,BF=HB=1AE血211BF = AD = BC,22BF =CF;(2) 解：四边形ABCD是平行四边形, AD / CD ,FGDG解得，FG =

10、 2.12. (2019湖南株洲)如图所示，已知正方形 OEFG的顶点0为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG .(1) 求证： DOG COE;(2) 若DG丄BD，正方形ABCD的边长为2,线段AD与线段0G相交于点 M , AM = 1 ,2求正方形OEFG的边长.【答案】(1)见解析；(2)2 .,.【解析】解：(1 )正方形 ABCD与正方形 OEFG，对角线AC、BD DO = OC / DB 丄 AC,/ DOA =Z DOC = 90 / GOE= 90/ GOD+ / DOE = Z DOE+ / COE= 90/ GOD = Z COE GO = OE在厶D

11、OG和厶COE中DO=OCZGOEZCOEGD=OE DOG COE (SAS)(2)如图，过点 M作MH丄DO交DO于点H1/ AM = - , DA = 22DM 一 / MDB = 45MH = DH = sin45 ? DM = , DO = cos45?DA仝七4 HO = DO - DH =4 q在Rt MHO中，由勾股定理得MO =W+H02 =盯呼严=乎/ DG 丄 BD , MH 丄 DO MH / DG易证 OHM sODG得 GO = 2-则正方形OEFG的边长为2 口.G13. (2019湖南郴州)如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点(不与 A, B重合)， 把

12、厶ADE沿DE翻折，点A的对应点为延长EA!交直线DC于点F,再把/ BEF折叠，使点B的对应点Bi落在EF上，折痕EH交直线BC于点H .(1) 求证： AiDEBiEH ;(2) 如图2,直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点Aj恰好落在直线 MN上，试判断厶DEF的形状，并说明理由；(3) 如图3,在(2)的条件下，点GDEF内一点，且/ DGF = 150，试探究DG , EG ,FG的数量关系.【答案】(1)见解析；(2) DEF是等边三角形，理由见解析； (3) DG2+GF2 = GE2 .【解析】解：(1)证明：由折叠的性质可知：/DAE =Z DAiE = 90,/ EBH =

13、 Z EBiH =90,/ AED = / AiED, / BEH =/ BiEH ,/ DEA1+ / HEB1 = 90.又/ HEBi+ / EHBi = 90,/ DEAI=Z EHBI, AiDEBiEH ;(2) 结论： DEF是等边三角形；理由如下：直线MN是矩形ABCD的对称轴，点Ai是EF的中点，即 AiE = AiF , AiDE AiDF ( SAS), DE = DF，/ FDAi = Z EDAi,又 ADE也厶 AiDE，/ ADF = 90. /ADE = / EDAi = Z FDAi = 30, / EDF = 60 DEF 是等边三角形；(3) DG , E

14、G, FG 的数量关系是 DG2+GF2 = GE2,理由如下：由(2)可知 DEF是等边三角形；将厶 DGE逆时针旋转60到厶DGF位置， 如解图( i) GF = GE , DG= DG , / GDG= 60 , DGG是等边三角形， GG= DG , / DGG= 60/ DGF = i50, / GGF = 90GG2+GF2= GF2 ,DG2+GF2= GE2 ,14. (2019湖南益阳)如图，在平面直角坐标系 xOy中，矩形ABCD的边AB = 4, BC = 6.若 不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点 A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另 一个顶点D始终在y轴的正

15、半轴上随之上下移动.(1)当/ OAD = 30时，求点 C的坐标；(2 )设AD的中点为M，连接OM、MC,当四边形 OMCD的面积为2L时，求OA的长；2(3) 当点A移动到某一位置时， 点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值， 并求此时cos/ OAD的值.【答案】(3 )当解：(1)如图1,过点C作CE丄y轴于点E,【解析】矩形 ABCD 中，CD 丄 AD ,(1) (2, 3+2丘)；(2) OA = 31;O、M、C三点在同一直线时， OC有最大值8, cos/ OAD/ CDE+ / ADO = 90,又/ OAD+ / ADO = 90 ,/ CDE = Z OAD =

16、30,在 Rt CED 中，CE=1 CD = 2, DE =血护竝2= 2品, 在 Rt OAD 中，/ OAD = 30,OD = _ AD = 3,2点C的坐标为(2, 3+2 . J ;(2)T M为AD的中点， - DM = 3, Sadcm = 6,又S四边形OMCD =SA ODM =-Sa OAD = 9 ,1设 OA= x、OD = y,贝U x2+y2= 36,xy= 9,2-x2+y2= 2xy,即 x= y,将 x= y 代入 x2+y2= 36 得 x2= 18,解得x= 3*7(负值舍去)，-OA = 3：-：;(3) OC的最大值为8,OCw OM + CM =

17、8,当O、M、C三点在同一直线时， OC有最大值8,连接OC,则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON丄AD，垂足为N ,/ CDM =Z ONM = 90,/ CMD = Z OMN ,|M =理，即4=35MN0KON3在 Rt OAN 中，OA = cos/ OAD =-15. (2019湖南岳阳)操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边 AD、BC上,将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C处.点P为直线=,a2 _b2 .EF上一动点(不与E、F重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点 M和N,以PM、PN为邻边构造平行四边形 PMQN

18、 .(1) 如图1,求证：BE = BF ;(2) 特例感知：如图 2,若DE = 5, CF = 2,当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；(3) 类比探究：若 DE = a, CF = b. 如图3,当点P在线段EF的延长线上运动时， 试用含a、b的式子表示 QM与QN之间的 数量关系，并证明； 如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示 QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)【答案】(1 )见解析；(2) 2“门订;(3)QN - QM = y2 -圧，证明见解析；QM - QN13 / 15【解析】（1）证明：如图1中,四边形ABCD是矩形， AD / BC,/ DEF = Z EFB,由翻折可知：/ DEF = Z BEF ,/ BEF = Z EFB, BE = BF.(2)