2010高三数学一轮复习精品算术平均数与几何均数

1、2010高三数学一轮复习精品（四）：算术平均数与几何均数、基础知识1、算术平均数:如果a,bR ，那么乞_卫叫做这两个正数的算术平均数。22、几何平均数:如果a,bR ，那么ab叫做这两个正数的几何平均数。定理：如果a,bR ，那么a2 b2 _ 2ab （当且仅当a=b时取“=”号）推论：如果a,bR ，那么, ab （当且仅当a=b时取“=”号）2基本不等式:口 a2 +b2 a +b =2则ab 一V 221+1a b当且仅当a=b时取“=”号二、例题选讲题型1、利用基本不等式比较大小例1、P223变式若 a b 1, P = . Ig a lg b, Q = 1 lg a lg b ,

2、R = lg 空-，试比较 P, Q。R 的大小。 2 2解： a b 1,. lg a lg b 01 lg a lg b ； lg a lg b，即 Q P又-ab,lg -blg ab =1 lg a lg b ， . R Q2 2 2即R Q P题型2、利用基本不等式证明不等式例2、考例2已知 a,b,c R，求证a2 b2 一 Jb2 c2 Jc2 a2 _ 2 a b c证明：a2+b2 打a+bY兰2l 2丿|a +b 兰同理二 /b2+c2+c ) ”培c2+a22 ，三式相加得，a2 b2 ； b2c . c2a . 2 a b c练习：P224变式 证明不等式：若 a,bw

3、 R,a G,b 1，则 ajl _b2 +bjl _a2 兰 12 ，2 , 2 222 a lb b 1 - a 彳证：a 1 -bb -a12 2111例3、已知a,b,c为不等正数，且 abc=1，求证：一 ab 、c :：:a b c证一：； a,b,c为不等正数，且 abc=1、a . b c 一b c211证二：；a,b,c为不等正数，且 abc=1111, bc ca ba ca bc babc ac ab =a b c222- abc2 fa2bc ；ab2c = 、a . b 、c所以 a 亠b , c : 1a b c小结：根据不等式结构特点灵活选用基本不等式。练习：P2

4、24变式 已知 a,b R 且 a+b=1求证：i11 i1 1_ 9a b证一：+ 1=4+畀也+12+W=4 + 2 也+1卒+4+1=9 丿l a 人b 丿i a人b丿la b丿_ 1证二：因为 a, b R 且 a+b=1，所以 a b 一 2 ab，二 2ab11 1 1 = a 1 b 1 =ab a b 1=1.2_1.S=1.4 “ga babababab. ab题型3、利用基本不等式求最值51例4、（ 1）已知x ，求函数y =4x2的最大值。44x5（2）已知a,b为实常数，求函数 y二x-a亠ix-b ?的最小值。分析：利用基本不等式求最值要注意一正、二定、三等号相等。解

5、(1) x :：5,. 5_4x 04二 y =4x2+ = _ 5_4x+ 3 兰 一2+3 = 14x - 5 i5 4x 丿当且仅当5 4x，即x=1时”成立5 4x-当 x=1 时 ymax 二 12 2 2 2 2(2) 丁 y = (xa f +(xb ) = 2x 2(a+b)x + a +b时,ymin =2 a-b-2a b22a b 22 a-ba2b22另解：a2 +(x-b) =(x) +(b-x)卜 h 当且仅当 x-a=b-x,即卩x=a -时，ymin二上 2 2结论：满足一正、二定、三相等和定积最大，积定和最小。题型4、基本不等式的综合应用例5、P225考例5已

6、知A、B两地相距200km，一只船从 A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为v km/h(80)，贝U ykv2当v=12时，720 720 二k 122得 k=5设全程燃料费为y,依题意有y = % J00 =1000v =1000 V +8+- L1000 v-8+- +16卜 32000v-8 v8、_ v-8 丿、_ v-8 丿64当v -8，即v=16时取等号v 88v 乞 v0所以当v -16时，v=16时全程燃料费最省当 v : 16时，令 t = v -8v 8任取 8 : Vi : 72 二 V则 0 : v)8 : 8,0 ： v2 : 86464.1 0 (vi -8 v2-8 )ti -t- vi - v2!1W -8 v2 -8即t二v -8 旦在8,v上为减函数，当v 8v=V0 时，y取最小值1000v2v -8综合得：当v _16时,v=16km/h，全程燃料费最省,32000 为元，当 v ： 16 时,V=V0时，全程燃料费最省，为1000v2丿元。另解：当v ： 16时，令t = v - 8 -64v8t =1-64v-828 : v v0 ：162.0 ： v8 : 8,0 ： v8: 64-64(v-8丫：0 t = v -8 -6纟在8, v0】上为减函数v-8以下相同小结